CAP 03 CÁLCULO VETORIAL

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1 CAP 03 CÁLCULO VETORIAL Estudaremos integração e diferenciação de vetores. COMPRIMENTO, ÁREA E VOLUME DIFERENICIAI Os elementos diferenciais de comprimento, área e volume são úteis em cálculo vetorial. Eles são definidos nos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esférico. O sentido dos vetores dos elementos de área aponta para fora da superfície, na direção de crescimento do vetor. A. COORDENADA CARTEIANA (1) Deslocamento Diferencial (2) Área Diferencial (3) Volume Diferencial Obs.: Mostrar a formação dos elementos B. COORDENADA CILÍNDRICA (1) Deslocamento Diferencial (2) Área Diferencial (3) Volume Diferencial Página 1 de 6

2 C. COORDENADA EFÉRICA (1) Deslocamento Diferencial sin (2) Área Diferencial sin sin (3) Volume Diferencial sin FAZER EXEMPLO 3.1 Página 2 de 6

3 INTEGRAI DE LINHA, DE UPERFÍCIE E DE VOLUME O conceito de integração com que estamos familiariados agora será estendido aos casos em que o integrando envolve um vetor. Integral de Linha A integral de linha! é a integral da componente tangencial de! " ao longo da curva $.! " %!% 1 cos (Falta colocar o vetor!) e o caminho de integração é uma curva fechada, temos: *! Que é denominada a circulação de! em torno de $. Ou seja, o quanto do vetor! percorre a linha L. E.: Dado + =. Determine a circulação de + em torno do caminho abaio: Resolvido pág 70 Integral de uperfície Dado um campo vetorial!, contínuo em uma região contendo uma curva suave, definimos integral de superfície, ou fluo de! através de, como: ψ = A cosθds = A nds = Ad Que é referido como o fluo líquido de A que sai de. Para uma superfície fechada, temos: A d <Faer integral de +no cubo> Página 3 de 6

4 Integral de Volume -. / Integral de volume do escalar. sobre o volume. E.:. 2 densidade qual o volume no cubo unitário com face na origem. O OPERADOR DEL O operador del, escrito 2, é o operador diferencial com caráter vetorial. Em coordenadas cartesianas: 2 ) a ) + a ) + a O operador del é útil para definir: 1. O gradiente de um escalar V, escrito como 2 3 é um vetor; 2. O divergente de um vetor!, escrito como 2! é um escalar; 3. O rotacional de um vetor!, escrito como 2! é um vetor; 4. O laplaciano de um escalar V, escrito como 2 3. Em cilíndricas: Em esféricas: = + φ 1 + φ 1 1 = r + θ + φ r r θ rsenθ φ GRADIENTE DE UM ECALAR O gradiente de um campo escalar V é um vetor que representa a magnitude e a orientação da máima taa espacial de variação de V. Em Cartesianas: gradv = V = V V + V + E.: Faer problemas numéricos e gráficos Página 4 de 6

5 Propriedades: : ;3 <= 23 DIVEGÊNCIA DE UM VETOR A divergência de! em um dado ponto P é o fluo que sai, por unidade de volume, à medida que o volume se redu à ero em torno de P. Identifica fontes e sumidouros. >! 2! lim D! F G = +HI. C 3IHJ6!=2 3 Teorema de Gauss (Teorema da Divergência) *! F =- 2A2 MI;NáO>; 79 / O fluo total de um campo vetorial! que sai de uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de!. Propriedades: 2 R!+2T= 2! R3!T=3 2!+! 23 ROTACIONAL DE UM VETOR E TEOREMA DE TOKE O rotacional de! é um vetor aial, cuja magnitude é a máima circulação de! por unidade de área, à medida que a área tende a ero, e cuja orientação é perpendicular à essa área, quando a mesma está orientada de modo a se obter a máima circulação. IU!= 2!=Vlim D! " G F C W XYZ Página 5 de 6

6 Em Cartesiana: A = A A A Faer eemplo Propriedades: 1. O rotacional de um campo vetorial é um outro campo vetorial; 2. O rotacional de um escalar V, 2 3, não fa sentido; 3. 2 R! 2T 2! R3!T3 2! 23! Teorema de tokes *! " * 2! F MI;NáO 85 A circulação de um campo vetorial! em torno de um caminho fechado L é igual à integral de superfície do rotacional de! sobre a superfície aberta, limitada por L, desde que!e 2! sejam contínuos sobre. LAPLACIANO DE UM ECALAR LITA: 2 3 É o divergente do gradiente de V 2 3=] + + _ ]3 2 3=`3 +3 Eemplos 3.3; 3.4; 3.6; 3.7; 3.8; 3.9; 3.11 Problemas 3.4; 3.5; 3.8; 3.13; _ a Página 6 de 6