Operadores Diferenciais Aplicações Rebello 2014

Transcrição

1 Operadores Diferenciais Aplicações Rebello 2014 Os operadores diferenciais representam um conjunto de ferramentas indispensáveis na engenharia não só na parte de avaliar e classificar um campo vetorial ou escalar mas também de quantificar alguma propriedade representada pelos mesmos. Então, vamos verificar algumas aplicações relacionadas aos operadores: Derivada Direcional É uma aplicação quase imediata do gradiente de um campo escalar. Na nossa caminhada no âmbito da matemática, aprendemos a derivar na direção x na direção y, muitas vezes até sem nos darmos conta disso, por pensarmos numa questão mais algébrica. Agora, chegou a hora de generalizarmos essa ideia, considerando uma direção qualquer. Vamos imaginar uma superfície plana que apresenta um campo de temperaturas (campo escalar) dado por T(x, y), representado graficamente pelas curvas de nível no plano x-y na figura abaixo. Podemos enriquecer a nossa representação com auxílio de um eixo perpendicular ao plano xy, criando assim uma superfície erguida a partir de cada ponto P(x,y), de forma a mostrar o perfil do campo térmico definido por T(x, y). Digamos que agora, precisamos determinar a taxa de variação térmica, no ponto P, em relação à distância na orientação indicada pela reta S.

2 Veja que o vetor f(x, y) está sobre o plano e sempre perpendicular as curvas de nível. A taxa de variação térmica em função do espaço na orientação S, damos o nome de Derivada direcional. Conforme mostra a figura anterior, ela é obtida pela projeção do vetor gradiente na direção de interesse, neste caso, orientação S. Isso pode ser quantificado por: D Us T ou ds = T. u S { produto escalar } Obs.: A diferencial ds está relacionada ao comprimento na direção s. Embora o valor da derivada direcional esteja representado no plano x-y. A interpretação mais adequada, pode ser verificada no desenho a seguir, que representa um corte, do desenho anterior, na direção do segmento de reta S. Obs.: O vetor unitário u S pode ser obtido de várias maneiras: por um vetor dado, por um ângulo (caso 2D), por dois pontos, por um vetor tangente a uma curva.

3 Vamos a um exemplo: Considere o campo térmico dado por T(x, y, z), em cujo espaço circula uma partícula com trajetória r(t). Determine a temperatura e a taxa de variação térmica, em relação ao espaço, sofrida pela partícula no instante t=2s. T(x, y, z) = x2 y e xy + 2z + 25 ( C) r(t) = [ 6 5 cos(3t), 5 5 sen(3t), 10 e t 2 ] ( m ) O primeiro passo é determinar o ponto no espaço para t = 2s r(2) = [6 5 cos(6), 5 5 sen(6), 10 e 1 ] r(2) = [1,199 ; 6,397 ; 3,679 ] (m) Agora, podemos determinar a temperatura em P usando os valores conhecidos. T(P) = (1,199)2 (6,397) e (1,199)(6,397) + 2 (3,679) + 25 Para determinar a derivada direcional, precisamos de duas informações: # O gradiente de T no ponto P ; # O vetor unitário na direção enfrentada pela partícula no instante t = 2s. Vamos ao gradiente: T = [ xy 2 10 y e xy, x x e xy, 1 2z ] Assim, no ponto P = (1,199 ; 6,397 ; 3,679), temos: T (P) = [ 3,805 ; 0,354 ; 0,369 ] ( C ) m

4 Quanto ao vetor unitário, podemos usar como referência, o vetor velocidade dr dt, que é tangente a trajetória e com certeza indica a orientação tomada pela partícula no instante considerado. Dessa forma, precisamos derivar a função r(t): v(t) = dr dt t = [ 15 sen(3t), 15 cos(3t), 5 e 2 ] Para t =2 vem: v(2) = [ 15 sen(6), 15 cos(6), 5 e 1 ] Logo: v(2) = [ 4,191 ; 14,403, 1,839 ] ( m s ) Agora, podemos obter o vetor unitário u S pela normalização da velocidade v(2): [ 4,191 ; 14,403, 1,839 ] u S (2) = 228,3928 u S (2) = [ 0,277 ; 0,953, 0,122 ] Obs.: Veja que o vetor u S, nada mais é, do que o vetor tangente unitário u T, um dos versores de Serret-Frenet já estudado. Portanto, já podemos compor a derivada direcional: ds = T. u S = [ 3,805 ; 0,354 ; 0,369 ]. [ 0,277 ; 0,953 ; 0,122 ] ds = 1,054 0,337 0,045 ds Por fim: ds = 1,436 ( C/m ) { Resfriando em relação ao espaço }

5 Obs.: Uma análise interessante, do ponto de vista técnico, seria a relação: = T. v ( C. m dt m s ) Ela nos traduz a taxa de variação térmica em relação ao tempo. Então agora vamos fazer o produto escalar usando o vetor velocidade diretamente. dt = [ 3,805 ; 0,354 ; 0,369 ]. [ 4,191 ; 14,403 ; 1,839 ] dt = 21,73 ( C s ) { Resfriando em relação ao tempo } Porém, não é traduzida como Derivada Direcional

6 Equações de Reta Normal e Plano Tangente a uma superfície por um ponto dado. Já sabemos, que uma propriedade do gradiente de uma função escalar f(x, y, z), é de ser ortogonal (normal) a superfície de nível f(x, y, z) = k. Esta propriedade será o elemento chave para os desenvolvimentos a seguir. Na figura abaixo vemos uma superfície, evidenciando o ponto PO, por onde passam uma reta normal S e um plano tangente. Reta Normal a Superfície No início de funções vetoriais, tivemos contato com a função vetorial da reta. r(t) = r o + v t, onde: r o é um vetor conhecido v representa o vetor de orientação Para produzir a equação da reta fazemos a adaptação simples: r o = OP o v = f (P o ) Veja que, o segredo é usar o vetor gradiente como orientação. Portanto podemos construir a equação vetorial da reta normal S fazendo:

7 Plano Tangente à Superfície Para deduzir a equação do plano, foi suprimida a superfície f(x, y, z) = k, de modo dar mais clareza no gráfico a seguir. Sabemos que, o vetor gradiente f (P o ) é normal a superfície e consequentemente ao plano tangente. Considerando o ponto de tangencia conhecido P o ( x O, y O, z O ) e o ponto genérico P ( x, y, z), ambos pertencente ao plano, podemos afirmar que: O vetor P O P = [ x x O, y y O, z z O ] é perpendicular ao vetor gradiente f (P o ). E portanto a equação é válida para qualquer P ( x, y, z) pertencente ao plano. f (P o ). P O P = 0 { Produto escalar } Ou seja:

8 Um exemplo torna-se necessário para mostrar a simplicidade da parte operacional. Seja a superfície superfície no ponto T( 2, 3, 7). z = 8 1 ( 4 x2 + y2 y). Determine a reta normal e o plano tangente a 3 Para que o gradiente tenha direção ortogonal, é necessário que a superfície seja de nível. Portanto, precisamos adaptar a equação dada. 4 z = 32 x 2 y2 + y 3 x2 + y2 3 y + 4 z = 32 Agora sim, temos a superfície de nível para a função: f(x, y, z) = x 2 + y2 y + 4 z. 3 Podemos então determinar seu gradiente: f = [ 2x, 2 3 y 1, 4 ] f (T) = [ 4, 1, 4 ] Para reta normal, temos que r O = T O = [ 2, 3, 7 ] Portanto, podemos construir a equação da reta : r(t) = [ 2, 3, 7 ] + [ 4, 1, 4 ]. t Finalmente: r(t) = [ 2 + 4t, 3 + t, 7 + 4t ] { reta normal } Para o plano tangente, apoiados na equação, podemos concluir: [ 4, 1, 4 ]. [ x 2, y 3, z 7 ] = 0 4(x 2) + 1(y 3) + 4( z 7) = 0 Concluindo: 4x + y + 4z 39 = 0 { plano tangente }