f R e P o D. Vimos que (Po x

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1 Universidade Salvador UNIFACS Crsos de Engenharia Cálclo IV Proa: Ilka Reboças Freire Cálclo Vetorial Teto 0: Derivada Direcional e Gradiente. A Derivada Direcional Consideremos a nção escalar : D R R e P o D. Vimos qe (Po ) e (Po ) correspondem às taas de variação de qando a partir de P o há m deslocamento nas direções positivas de OX e OY respectivamente. Vamos generalizar esse conceito determinando as taas de variação de qando a partir de P o há m deslocamento nma direção qalqer. Seja z = () ma nção com derivadas parciais contínas e seja = ( ) m vetor nitário qe az m ânglo com o eio OX. Vamos analisar como varia qando há m deslocamento na direção e sentido de. Sejam P() e P ( + + ) D( ) e PP o vetor de mesma direção e sentido de sendo qe P está a ma distância de P. + P P + Deinimos a derivada direcional de na direção do vetor como sendo se eistir o limite (P ) (P) (P) = lim. Δ0 Δ Podemos mostrar qe a deinição da derivada direcional dada através do limite acima é eqivalente a qe apresentamos a segir

2 Seja z = () com derivadas parciais contínas em () e seja = ( ) m vetor nitário. Indicamos por ( o D ) e denominamos por derivada direcional de no ponto () na direção do vetor a nção ( ) ( ) ( ) Observações: O vetor é m vetor nitário logo podemos escrevê-lo como = ( cos sen ) sendo o ânglo qe az com o eio O Podemos também considerar = ( cos cos) onde é o complementar de e cos e cos são os cossenos diretores de. Neste caso escrevemos ( ) ( ) cos α ( )senα ( ) cos α ( ) cosβ Interpretação Física A derivada direcional dá a taa de variação do valor da nção z = () em relação à distância no plano medida na direção e sentido do vetor

3 Observações: ) As derivadas parciais são casos particlares da derivada direcional: Se = (0) temos qe 0 Se = (0) temos qe 0 ) Podemos estender a deinição de derivada direcional para nções de três variáveis: Se w = ( z) e = ( ) é m vetor nitário então z o Se e são os ânglos diretores de então γ cos z cosβ cos α Eemplos: ) Dada a nção () = + 4 e o vetor nitário na direção de /6 encontre a derivada direcional na direção de. Solção: = (cos(/6) sen(/6)) = ; 4 6 e ) ( 4) (6 senα cos α ) Calcle ) ( sendo (z) = + + z e = k j i Temos qe logo o versor de é o = 4 6z 4 4 z () = 4

4 4 A Derivada Direcional e o Gradiente Deinimos a derivada direcional de na direção do vetor nitário = ( ) como sendo. Podemos dar ma notação vetorial para a derivada direcional observando qe ela pode ser escrita como o prodto escalar entre os vetores e o seja = ( ). Seja z = () ma nção de das variáveis tal qe as sas derivadas parciais eistem. Deinimos o gradiente de no ponto () e indicamos por ( lê-se del o nabla ) o vetor () = ( ) ( ) Usamos também a notação grad Analogamente se w = (z) é ma nção de três variáveis (z) = ( z) ( z) ( z) z Observação: Qando para cada ponto do domínio de está deinido o vetor gradiente dizemos qe no domínio de está deinido m campo vetorial de gradientes. Eemplos: ) Se z = () = determine (). Solção: = e = ( ) = ( ) () = ( 0 ) ) Se (z) = +z determine ( z ) Solção: = ; = ( + z) e ( z ) = ( + z ) z O resltado a segir relaciona a derivada direcional e o gradiente:

5 5 Seja D o domínio de ma nção z = () para o qal está deinido m campo de gradiente. Então a derivada direcional de na direção de é a medida algébrica da projeção do vetor sobre D] Seja ( ) o vetor nitário. Temos qe a medida algébrica da projeção de sobre é igal a = ( ) Interpretação Geométrica: =. cosθ.cosθ OP onde é o ânglo ormado entre e O P Propriedades do Gradiente ) ( ) tem valor máimo se e têm o mesmo sentido. Este valor máimo é igal a. Logo tem o sentido em qe cresce mais rapidamente. De ato:. cos θ.cosθ onde é o ânglo ormado entre e. Se e têm o mesmo sentido = 0 cos = e ) ( ) tem valor mínimo se e têm sentidos opostos. Este valor mínimo é igal a. Logo tem o sentido em qe decresce mais rapidamente De ato: e têm sentido opostos = 80 cos = e

6 6 ) ( ) = 0 qando é ortogonal a De ato: Neste caso temos qe = 90 cos = 0 e portanto ( ) = 0 4) A derivada direcional de na direção de m vetor tangente a ma crva de nível é zero isto é ao longo de ma crva de nível a taa de variação da nção é zero. O eqivalentemente o gradiente é ortogonal à reta tangente à ma crva de nível Assim se s é o vetor direção da reta tangente a ma crva de nível temos qe s = 0 s = 0. Logo podemos considerar s = Observação: Todos os resltados vistos para o caso bidimensional valem para o caso tridimensional Eemplos: ) Calcle () sendo () == + 5 e s = ( ) s Solção: Vamos encontrar inicialmente o versor de s : s 4 9. O versor de s é portanto o s =. Além disso 4 e 0 = s 0 s = ( 40) ( ) = () = s ) A temperatra T de ma placa circlar aqecida em qalqer dos ses pontos () é dada por 64 T( ) estando a origem do sistema no centro da placa. Determine a taa de variação de T no ponto ( ) na direção de = /

7 7 Solção: ; cos π / senπ / T ( 8 ) T 64 8 () 49 e T ( 8 ) T ( 8 ) ( 8 ) ) Seja ( z) z. Encontre: a) ( 4 ) b) O valor máimo da derivada direcional ( 4 ) Solção: a) ( ) ( 4 ) = ( 8 ) z b) O valor máimo da derivada direcional ocorre na direção e sentido de e tem valor igal a (8) ) Dada a nção () = + encontre: a) Um vetor normal à reta tangente à crva C: + = no ponto P o ( ) b) O valor mínimo de no ponto P o. Solção: a) A crva C é a crva de nível z = portanto o vetor normal corresponde ao gradiente em P o. z z Assim z ( 4 + ) e z( ) = (7) b) O valor mínimo é igal a z (7)

8 8 5) O potencial elétrico em m ponto qalqer do plano XY é em volts dado por V( ) e cos. Encontre: a) A taa de variação do potencial no ponto (0 /4) na direção do vetor s =(cos/6) i + (sen/6) j b) O sentido em qe V cresce mais rapidamente a partir do ponto ( 0 /4) e a taa de crescimento. c) O sentido e o valor da taa de variação mínima de V em (0 /4) d) Em qe direção a partir de ( 0. /4) V permanece constante. Solção: V a) o V.s ; o s cos π / 6senπ / 6 s e V e cos e sen ; s V V(0 /4) = (0 ). Logo. 0 s b) O sentido em qe V cresce mais rapidamente é o sentido do gradiente V = (0 ) e a taa é igal a V 0 4. c) O sentido é V = ( 0 ) e o valor é V d) V permanece constante na direção ortogonal a V o seja na direção do vetor ( 0) Reerências Bibliográicas:. O Cálclo com Geometria Analítica Swokowski vol. Cálclo Um novo horizonte Anton vol. Cálclo C Diva Fleming