2 - Derivadas parciais

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1 8 - ervadas parcas Sea por eemplo: Estma-se qe a prodção semanal de ma ábrca sea dada pela nção Q ndades onde representa o número de operáros qalcados e representa o número dos não-qalcados. Atalmente a ábrca conta com 0 operáros qalcados e 40 nãoqalcados. Qal será a varação na prodção semanal resltante da adção de operáro qalcado sendo mantdo constante o número de operáros não-qalcados? Em mtos problemas de natreas dversas envolvendo dversas varáves desea-se calclar a taa de varação em relação a ma varável mantendo constantes as otras. O sea o obetvo consste em dervar a nção em relação a ma determnada varável e manter as otras as. Este processo é conhecdo como dervação parcal. Otra stação: ado o parabolóde e o plano ca vsalação no º octante está na gra chamamos de C a crva resltante da ntersecção dessas speríces sto é sbsttndo : C : ado m ponto P dessa crva por eemplo P como vamos calclar a nclnação da reta tangente à crva C em P? A resposta a esta qestão é aer ma análse consderando a modcação de apenas ma varável. Esse procedmento va nos levar à denção de ma dervada para cada ma das varáves ndependentes qe va nos permtr responder a qestão acma. enção: Seam : A R R e ma nção de das varáves e 0 0 A. Fado 0 podemos consderar a nção g 0. A dervada de g no ponto 0 é denomnada dervada parcal de em relação a no ponto 0 0 denotada por 0 0 denotada por: g g lm 0 se o lmte estr Analogamente denmos a dervada parcal de em relação a no ponto 0 0 por: g g lm se o lmte estr Interpretação Geométrca Para 0 temos qe 0 é ma nção de ma varável co gráco é ma crva C resltante da ntersecção da speríce com o plano 0.

2 9 A nclnação o coecente anglar α da reta tangente a crva C no ponto 0 0 é dada por: tgα 0 0. e manera análoga temos qe a nclnação da reta tangente a crva C resltante da ntersecção de com o plano 0 é tgβ 0 0. Assm temos: A dervada parcal de ª ordem de em relação a como o o o... Analogamente: A dervada parcal de ª ordem de em relação a como o o o... o o No caso do parabolóde e o plano a nclnação da reta tangente a crva C no ponto é dada por. O sea: - e - Logo tg α. Eercícos Calcle as dervadas parcas e nos pontos ndcados: a 7 ; 0 b - ; c 7 ; 0 d 7 7 ;

3 Encontrar as dervadas parcas de ª ordem das segntes nções: 5 a 5 b a b c onde a b c constantes c d m n p q r s onde m n p q r s constantes 0 e g cos h cos7 sen tg k l e e 7 m e cos n 7 o p sen Verqe se a nção ln satsa a eqação: 4 Sea. Encontrar a nclnação da reta tangente a crva C resltante da ntersecção de com no ponto. Faça m esboço. 5 Sea 5 -. Encontrar a nclnação da reta tangente a crva C resltante da ntersecção de com no ponto -. A prodção dára de ma certa ábrca é de QKL 0K / L / ndades onde K representa o captal nvestdo meddo em $ e L é o número de operáros-hora. Sponha qe o captal nvestdo atalmente sea de 900 $ e qe se empregem 000 operáros-hora. Utlando a análse margnal avale o eeto qe m acréscmo de $ provocará na prodção dára admtndo qe o número de operáros permaneça constante. 7 A temperatra do ponto de ma chapa plana é dada por T T em C e em metros a etermne o domíno de T e a temperatra no ponto 4; b etermne a eqação da soterma qe passa pelo ponto 4 e represente-a no plano ; c Se a partr do ponto 4 ma pessoa camnhar em dreção paralela ao eo sentdo postvo a temperatra amentará o dmnrá? Qal a taa de varação da temperatra nesse ponto?

4 8 Vercar se a nção satsa a eqação 0 para 0 0 Respostas a 7 - b - - c 8 4 d 0 0 a b ab bc c d mpq npr e / / -/ / -/ / - -/ -/ -5/ - g cos - sen h cos7 -sen7 cos sen sec tg k e e l e 7 7e 7 m e cos -e sen n o 7 p cos cos cos 7 5 C 5-0 C/m. - ervadas de ordem speror ervadas scessvas As nções dervadas em ª ordem podem sorer nova dervação. Nma nção as dervadas parcas de segnda ordem são: - Em relação a : - Em relação a : - Em relação a e a : - Em relação a e a : e tercera ordem:... Teorema de Schwart: A ordem da dervação não modca a dervada nal

5 .4 Eercícos Calcle as dervadas parcas de ª ordem das nções a 5 7 b a b c c 7 4 sen d e 7 e ln Achar as dervadas de ª ordem da nção 4 Calcle a dervada ndcada a Se ln5 calcle b Se cos calcle 4 Verqe o teorema de Schwart para a nção: 5 etermnar a relação qe este entre a e b para qe a nção e ab satsaça a eqação 9. Resposta da ª: estão na ordem: a 0 7 b a c b c 4 4 sen 8cos 8sen d e 7 4e 7 49 e 7 4 e.5 ervadas dreconas e o vetor gradente Se as dervadas parcas e representam as taas de varação de na dreção dos eos e nas dreções dos versores e. Sponha qe qeramos determnar a taa de varação de no ponto 0 0 na dreção de m vetor ntáro a b como na gra ao lado: Para ae-lo devemos consderar a speríce S com eqação e tomar 0 0. O ponto P pertence a S. O plano vertcal qe passa por P na dreção de ntercepta S nma crva C ver gra abao. A nclnação da reta t tangente a C em P é a taa de varação dervada de na dreção de.

6 Se Q é m otro ponto sobre C e P Q são proeções de P e Q sobre o plano então o vetor P 'Q' é paralelo a e portanto P ' Q' h ha hb Para algm valor do escalar h. Portanto - o ha - o hb logo o ha o hb e 0 0 ha 0 hb o 0 h h h Se tomarmos o lmte qando h 0 obteremos a taa de varação em relação a dstânca na dreção de qe é chamada de dervada dreconal de na dreção de. Assm a dervada dreconal de em 0 0 na dreção do vetor ntáro a b é 0 ha 0 hb o 0 0 lm e esse lmte estr. h 0 h 0 Consderando esta denção se 0 qe é o vetor ntáro sobre o eo e se 0 qe é o vetor ntáro sobre o eo. Em otras palavras as dervadas parcas de com relação a e são casos partclares da dervada dreconal. versor Se é ma nção derencável em e então tem dervada dreconal na dreção de qalqer a b e pode-se mostrar qe a b Se o versor a m ânglo θ com o eo postvo então podemos escrever epressão ca cosθ senθ cosθ senθ e a Eemplo : etermne a dervada dreconal se 4 e é o versor dado pelo π ânglo θ. Qal será? Resolvendo:

7 4 θ senθ cos cos π π sen [ ] 8 8 Portanto [ ] 90 8 Obs.: A dervada dreconal representa a taa de varação de dervada na dreção de. Isto é a nclnação da reta tangente a crva obtda pela ntersecção da speríce 4 e o plano vertcal qe passa por 0 na dreção de. Ânglo de nclnação: o arctg α α Vetor Gradente A dervada dreconal pode ser escrta como m prodto escalar de dos vetores: b a b a O prmero vetor no prodto escalar ocorre não somente no cômpto da dervada dreconal mas também em mtas otras stações. Assm recebe o nome de gradente de e a notação grad o qe lemos del. Assm temos qe: Se é ma nção de das varáves e o gradente de é a nção vetoral denda por: Eemplo : Se sen e então

8 5 e e cos e cos e e Com a notação de gradente podemos reescrever a epressão para a dervada dreconal como qe epressa a dervada dreconal na dreção de como a proeção escalar do vetor gradente sobre. Eemplo : etermne a dervada dreconal da nção 4 no ponto - na dreção do vetor v 5. Solção: Calclando o gradente de no ponto -: Como v não é m vetor ntáro e 9 v o versor de v é v v Sendo temos: Fnções de três varáves Para nções de três varáves podemos denr dervadas dreconas de modo semelhante. Assm temos: c b a E o vetor gradente

9 O smplcando k e assm a dervada dreconal para nções de três varáves pode ser reescrta como Eemplo 4: Se sen a determne o gradente de b determne a dervada dreconal de no ponto 0 na dreção v k Resolvendo: a O gradente de é: b No ponto 0 temos 0 00 O versor de v k é Como sen cos cos 0 k k k k k Sponha como ma nção derencável de das o três varáves. O valor mámo da dervada dreconal é e ocorre qando tem a mesma dreção qe o vetor gradente. Eemplo 5: a Se e determne a taa de varação de no ponto P0 na dreção de P a Q/. b Em qe dreção tem a máma taa de varação? Qal é a taa máma de varação? Resolvendo: a calclando o gradente: e 0 e 4 O versor da dreção PQ 5 é Q é logo a taa de varação de na dreção qe va de P a

10 7 b amenta mas rapdamente na dreção do gradente 0. A máma taa de varação é 0 5 Eercícos: etermne o gradente de no ponto e se-o para calclar a dervada dreconal de em na dreção do vetor a 4. etermne a dervada dreconal de 4 no ponto - na dreção ndcada pelo ânglo π θ. etermne a dervada dreconal de sen no ponto 4 - na dreção ndcada pelo ânglo π θ Se 5 4 P determne o gradente de calcle o gradente no ponto P e determne a taa de varação de em P na dreção do vetor. 4 5 Se ln P- determne o gradente de calcle o gradente no ponto P e 5 5 determne a taa de varação de em P na dreção do vetor. etermne a dervada dreconal da nção no ponto dado na dreção do vetor v. a 4 v 4 b e 0 v c 4 v d v 4 k Respostas: 48/ / a /0 b 4