Proposta de resolução do Exame Nacional de Matemática A 2017 (2 ạ fase) GRUPO I (Versão 1) Assim, 2! 3! 4 = 48 é a resposta pedida.

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1 Proosta de resolução do Eame Naconal de Matemátca A 7 ( ạ fase) GRUPO I (Versão ) P P I I I. 3 3! 3! = 6 = 8 Estem quatro maneras dstntas de os algarsmos ares estarem um a segur ao outro (PPIII ou IPPII ou IIPPI ou IIIPP). Por cada uma destas maneras estem duas maneras de os dos números ares trocarem entre s, e or cada uma destas maneras estem 3! maneras dferentes de os três números ímares (, 3 e 5) trocarem entre s. Assm,! 3! = 8 é a resosta edda. Oção (B). Pela defnção de robabldade condconada sabemos que: P( < X 3) P(X > X 3) =, logo P(X 3) P(X = ) P(X = 3) 6 5 P(X > X 3) = = = P(X = ) P(X = ) P(X = 3) Oção (D) 3. ( ) lm = lm = Æ f() f() Æ f() f() lm lm = Æ Æ f() f() = f () = f () Oção (C) Edções ASA, Matemátca A, 7

2 . Tem-se que (g o f)() = g(f()) =. Por observação do gráfco da função g, sabemos que o únco zero de g é. Assm, g(f()) = f() = Por observação do gráfco da função f, sabemos que estem aenas dos obetos, e 5, tas que a sua magem é gual a. Logo, f() = = = 5 Concluímos então que os zeros da função g o f são e 5. Oção (B) 5. Como g() = f( 5), então: g () = f ( 5) ( 5) = f ( 5) g () = (f ( 5)) = f ( 5) ( 5) = = f ( 5) O gráfco de g obtém-se a artr do gráfco de f segundo uma translação orzontal assocada ao vetor de coordenadas (5, ) seguda de uma refleão de eo O. Donde se conclu que a tabela de snal da função g é a segunte: g Assm, o gráfco de g tem a concavdade voltada ara bao no ntervalo ]5, 5[. Oção (C) 3 6. é um argumento de 5 e é um argumento de z. Então, = é um argumento de 5z. 5 5 Oção (A) 7. ( ) (y ) y ( ) (y ) y defne a regão reresentada na fgura abao (semcírculo de centro (, ) e rao ). y Assm, o erímetro da regão é dado ela soma do dâmetro da crcunferênca com o semerímetro da crcunferênca: =. O Oção (C) Edções ASA, Matemátca A, 7

3 (n ) u 8. Verfca-se que n = = = u n n n Logo, (u n ) é uma rogressão geométrca de razão. n n n =, =, n N. Oção (B) GRUPO II. Tem-se que z = e z z = 3 ( ) z = 3 3 z = ( 3)( ) z = ( )( ) z = 5 z = 5 z = z = Provemos que cs verfca a condção z z = z z : cs ( ) = cs ( ) = = =, que é uma roosção verdadera. A magem geométrca de cs é equdstante das magens geométrcas de z e de z.... O onto A ertence ao lano Oy, logo tem cota gual a zero. Além dsso, A é vértce do quadrado [ABCD] e, como [DC] está contdo no eo Oy e D(,, ), então A tem ordenada gual a quatro. Assm, A(a,, ), com a R. Como A ertence ao lano ACG vem que a 6 = a =. Concluímos, assm, que o vértce A tem abcssa gual a....º rocesso y z = y = z = =. Assm, o onto P(,, ) ertence à reta r e o vetor r (,, ) é um vetor dretor da reta r. Edções ASA, Matemátca A, 7 3

4 Uma equação vetoral da reta r ode ser dada or: (, y, z) = (,, ) k(,, ), k R. Assm, (, y, z) = ( k, k, k), com k R, é um onto genérco da reta r. Procuramos a nterseção da reta r com o lano ACG, sto é, um onto que satsfaça smultaneamente a condção que defne a reta r e a condção que defne o lano ACG. ( k) ( k) k 6 = k 6 = = k Assm, o onto de nterseção da reta r com o lano ACG tem coordenadas I(,, ), ou sea, I(3, 5, )..º rocesso 3 = y y = z y z 6 = 3 = y z = y y y ( y) 6 = 3 = y z = y y 6 = 3 = y z = y y = 5 3 = 3 z = y = 5 O onto de nterseção da reta r com o lano ACG tem coordenadas I(3, 5, )..3. Tem-se que G(, 6, ) e P(, 5, c), com c R e c >. Como V [EFGHP] = (c ) = 3 c = 3 c = 5 Logo, P(, 5, 5). Assm, G O = O G = (, 6, ). G P = P G = (, 5, 5) (, 6, ) = (,, 3) G O = 3 6 = = G P = 9 = Logo, cos(oĝp) = cos (G O ˆ G P ) = G O. G P 6 6 = = =. G O. G P Donde se conclu que OĜP = cos 85º. Edções ASA, Matemátca A, 7

5 Sea A o acontecmento o aluno escoldo é raarga, e sea B o acontecmento o aluno escoldo frequenta o.º ano. Sabe-se que: P( A B) =,8 P(B A) = 3 Então, P( A B) =,8 P(A B) =,8 P(A B) =,8 P(A B) =,8 () P(A B) e P(B A) = = (),8 = P(A) P(A) =,5 3 P(A) 3 3 Concluímos, assm, que P(A) =, O número de casos ossíves é dado or 3 C. O número de casos favoráves é dado or C 8 C, os queremos que saam os números 7 e, o que ode ser feto aenas de uma forma ( C ) e retendemos que os restantes dos números seam suerores a, logo estem 3 = 8 números nessas condções dos quas queremos escoler aenas, o que ode ser feto de 8 C maneras dstntas. Assm, a robabldade edda é gual a C 8 C,. 3 C... Assíntotas vertcas Como f é contínua em R, a reta de equação = é a únca canddata a assíntota vertcal ao gráfco de f. ln ln ( lm f() = lm = ) = = Æ Æ Logo, a reta de equação = é assíntota vertcal ao gráfco de f e é a únca. Assíntotas orzontas Como o domíno de f é lmtado nferormente só faz sentdo rocurar assíntota orzontal quanto Æ. lm Æ ln() f() = lm = Æ 3 lmte notável Logo, a reta de equação y = é assíntota orzontal ao gráfco de f quando Æ. Edções ASA, Matemátca A, 7 5

6 .. Em R : ln() f() > ln() > ln() ln() ln() > ln() > ln() > ln()( ) > ln() Cálculo aular: ln() = = = = ln() Assm, ln() > < <. È C.S. =, Í Î Î Í È 3.3. Sea g a função de domíno R k k, defnda or g() = f(). Então, g () = f () = k ln() = Em R : k ln() g () = = k ln() = 3 ln() = k ln() = k = e k condção unversal em R = k ln() = = k ln() = = Como g admte dervada fnta em R e g tem um etremo relatvo ara =, então e k = k = k =. = k ln() 6 Edções ASA, Matemátca A, 7

7 = cos a 5. sen a = ( sen a) cos a cos a sen a = = sen cos a sen a cos a a cos a O termo ndeendente do desenvolvmento de sen a deende de. é gual a sen a cos a, os não Assm, retendemos determnar os valores de a ertencentes ao ntervalo ], [, tas que sen a cos a =. sen a cos a = sen a cos a = 5 k = a = a = 3 3 ], [ 3 k = a = a = sen(a) = sen(a) = sen(a) = sen 6 5 a = k a = k, k Z a = k a = k, k Z ], [ Como a ], [, então a = e a = Em [, 6]: d(t) = 7 3 t sen(t) = 7 Recorrendo à calculadora gráfca: y = 3 t sen(t) y = 7 d 3 7 y y O 6 t R.: A equação d(t) = 7 aresenta quatro soluções no ntervalo [, 6], ou sea, durante os rmeros ses segundos, a cadera encontra-se or quatro vezes a uma dstânca de 7 dm do muro. Edções ASA, Matemátca A, 7 7

8 6.. Muro Muro Muro Solo 3 Solo, 7,3,68 P,,, Solo 7,3 3 d() = 3 sen = 3 dm d(3,5) = 3 e 3,5 sen(3,5) 7,3 dm 3 7,3 =,68 = (,) (,68) =,, 7,8, = 7, = 8,56 R.: O comrmento da aste é aromadamente gual a 8 dm. 8 Edções ASA, Matemátca A, 7