Física. Física Módulo 1 Vetores, escalares e movimento em 2-D

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1 Físca Módulo 1 Vetores, escalares e movmento em 2-D

2 Vetores, Escalares... O que são? Para que servem? Por que aprender?

3 Escalar Defnção: Escalar Grandea sem dreção assocada. Eemplos: Massa de uma bola, 0.25 g. Tempo para a massa se mover uma dstânca Temperatura (lda no termômetro) Energa de um corpo. Carga elétrca. lgumas grandeas escalares são sempre postvas (massa). Outras podem ter os dos snas.

4 Defnndo um Vetor... lgumas grandeas não podem ser descrtas por escalares. velocdade, por eemplo, é uma grandea físca em que a dreção do movmento é tão mportante quanto seu valor (magntude). s quantdades descrtas por uma magntude (sempre postva) e uma dreção (sentdo mplícto) são chamadas de VETORES.

5 Defnndo sua posção em um mapa Você está no ponto do mapa. Deve andar 20 passos na dreção nordeste, até o ponto T. Isto é um vetor! O vetor deslocamento. T * Este vetor é representado por (negrto) ou por. Magntude de é ; ou *

6 Soma de Vetores soma dos deslocamentos e é dada por um deslocamento R R R R Note que Propredade comutatva...

7 Soma de Vetores Como somar mas de um vetor? C Note que S C S ( ) C ( C) S S C R S R S R C C

8 Subtração de Vetores subtração dos vetores e R - (-) R - Um vetor cua resultante é 0 (ero) é chamado vetor nulo (- ) 0 Multplcação por escalar - C C 2 C - 0.5

9 Decompondo um vetor O vetor pode ser decomposto em uma soma da forma Se defnmos vetores untáros e podemos escrever onde e são escalares defndos como as componentes do vetor. Os vetores untáros também são conhecdos como versores e podem ser representados por ˆ e ˆ. Logo, ˆ ˆ X

10 Decompondo um vetor em coordenadas cartesanas θ X Sabendo que senθ / O vetor pode ser decomposto em uma soma da forma cosθ / cosθ senθ

11 Representação polar s componentes e do vetor. são as chamadas coordenadas cartesanas Podemos anda defnr um outro conunto de coordenadas para descrever um vetor no plano. Estas são as coordenadas polares, dadas pelo módulo do vetor 2 2 e pelo seu ângulo polar como θ tan 1 θ

12 Soma de vetores usando suas componentes Queremos somar os vetores e C Isto é somar as suas componentes C C ( ) ( ) ou C ( ) ( ) C C C

13 Produto escalar O produto escalar de dos vetores e é o resultado do produto do comprmento (também chamado de norma ou módulo) de pela proeção escalar de em.. cosθ Geometrcamente, proeta-se na dreção de e multplca-se por. Então, ( cosθ) ou ( cosθ) θ cosθ Note que.. Importante: O produto escalar nos fornece um número, não um vetor.

14 em termos das componentes cartesanas (em 3 dmensões). Produto escalar ) ( ) ( Devdo à dstrbutvdade do produto escalar, podemos escrevê-lo em termos das suas componentes cartesanas como... 1 e... 0 Mas como teremos

15 Produto vetoral Defnção; C, cuo módulo é dado por C C sn θ e que tem ) a sua dreção perpendcular ao plano formado por e ; ) o seu módulo gual à área do paralelogramo formado por e. ) e obedece a regra da mão dreta θ θ Note que o produto vetoral não é comutatvo - - C

16 Produto vetoral Devdo à dstrbutvdade do produto vetoral, podemos escrevê-lo em termos das suas componentes cartesanas como ) ( ) ( 0,, Mas como e teremos ) ( ) ( ) (

17 Produto vetoral Outra forma de se escrever o produto vetoral de dos vetores e é através do determnante da matr formada pelos untáros, e e pelas componentes cartesanas dos vetores e ao longo das suas lnhas ( ) ( ) ( )

18 Vetores dependentes do tempo Na naturea há números eemplos de grandeas vetoras que varam no tempo! No momento estamos nteressados nos seguntes eemplos; Posção e deslocamento de um corpo em movmento (b ou tr-dmensonal) Velocdade e aceleração deste corpo ou partícula

19 Posção e deslocamento traetóra é o camnho percorrdo por um obeto (planeta, cometa, foguete, carro..). Qualquer ponto da traetóra pode ser descrto pelo vetor posção que denotamos por r(t). O deslocamento r entre os pontos r P e r Q é dado por r r Q r P Note que r não depende da orgem e que o vetor deslocamento não nos dá nenhuma nformação sobre a traetóra.

20 Posção e deslocamento O vetor posção, num plano 2-D ( e, por eemplo) é defndo em termos das suas coordenadas cartesanas por r(t) (t) (t) No caso espacal, 3-D, temos r(t) (t) (t) (t)

21 O Vetor Deslocamento Um eemplo smples... Um carro anda 3 m para leste e depos 4 m para o norte. Qual o deslocamento resultante e qual sua dreção? Como os deslocamentos formam um trângulo retângulo, podemos encontrar o deslocamento utlando o Teorema de Ptágoras... C (3 m) 2 (4 m) 2 25 m 2 2 C 25m 5m N 3 m 4m Encontramos o módulo do vetor resultante gora precsamos encontrar sua dreção. Se θ for o ângulo entre o eo leste e o deslocamento, temos que 4 m tgθ 1,33 1 o θ tg 1,33 53,1 3m O deslocamento resultante é de 5 m drgdo a 53,1 o ao norte da dreção leste. θ E

22 O Vetor Deslocamento Um eemplo smples... Uma pessoa anda 3 m para leste e depos 4 m numa dreção ao norte do leste. Qual o deslocamento resultante? 3 m 0 (4 m) cos 60 0 (4 m)(0,5) 2 m (4 m) sen 60 0 (4 m)(0,866) 3,46 m C 3 m 2 m 5 m C 0 m 3,46 m 3,46 m C C C (5m) (3, 46m) 37m C 37m 6,1m C 3, 46 m tgθ 0,692 C 5m θ tg 0,692 34,7 1 o

23 O Vetor Velocdade Quando estamos em um carro e este marca 50m/h no velocímetro este valor é o módulo da velocdade naquele nstante. No entanto, este valor não ndca a dreção do movmento. Se a partícula estver num ponto (,), o vetor posção é com orgem em 0 O vetor deslocamento é a varação do vetor posção r r r 2 1 raão entre o vetor deslocamento e o ntervalo de tempo t é o vetor velocdade méda: v m r r t 0 r 1 P 1 em t 1 P 2 em t 2 r s r2

24 O Vetor Velocdade velocdade méda pode ser escrta em termos de suas componentes r( t t) r( t) r vm t t t t velocdade nstantânea é o lmte do vetor v m quando t tende a ero r( t t) r( t) dr v lm t 0 t dt Neste lmte, podemos escrever d d v ι dt dt ou v v v O r 1 r P 2 P P 1 2 r P 2 r r2

25 O Vetor Velocdade Outro eemplo smples... componente da velocdade na dreção é dada por: componente da velocdade na dreção é dada por: ssm, o módulo do vetor velocdade méda é E a dreção da velocdade méda é obtda tomando

26 O Vetor celeração O vetor aceleração méda é defndo como a raão entre a varação do vetor velocdade nstantânea v e o ntervalo de tempo t. v( t t) v( t) v v v am t t t t O vetor aceleração nstantânea, por sua ve, é defndo como o lmte do vetor aceleração méda quando o ntervalo de tempo t tende a ero. a v( t t) v( t) dv lm t 0 t dt

27 O Vetor celeração Lembrando que v d ( t) r dt, podemos escrever a dv d dr t d r t 2 dt dt dt dt 2 ( ) ( ) Podemos anda escrever o vetor aceleração em termos de suas componentes d v( t) dv dv a dt dt dt a ou a a

28 Componentes da aceleração Componentes cartesanas Componentes tangencal e perpendcular

29 O problema nverso Conhecda a aceleração, podemos ntegrá-la e a (t) obter a velocdade, que se ntegrada nos fornece a posção v( t) v0 r ( t) r0 t t t 0 t 0 a( t ) v( t ) dt dt Este processo deve ser efetuado para cada componente cartesana do vetor consderado

30 O Vetor celeração É mportante observar que o vetor velocdade pode varar em módulo, em dreção, ou em ambos. Se o vetor velocdade varar, de qualquer forma, a partícula sofrerá uma aceleração. Isto sgnfca que uma partícula pode estar em movmento com velocdade de módulo constante (valor constante) e anda assm estar acelerada, se a dreção do vetor velocdade estver se alterando. Um caso especal dessa stuação é o do movmento crcular, que veremos mas a frente.

31 O Vetor celeração Um eemplo smples... Um carro está vaando a 60 m/h para leste. Entra numa curva e, 5s depos, está vaando para o norte, a 60 m/h. char a aceleração méda do carro. N fgura ao lado mostra os vetores velocdade ncal v1 e velocdade fnal v2. varação em v é dada por v 2 aceleração é dada por O módulo da aceleração méda é v 1 Dados: v 1 60 m/h v 2 60 m/h E Observe que o carro sofre uma aceleração mesmo tendo v constante.

32 Para o prómo encontro... tenção: Estudem os eemplos dados nesta aula. Refaçam-os no caderno. Estudem, estudem, estudem...