58 Textos de Apoio de Análise Matemática IV 2003/2004. Tem-se assim uma decomposição da região rectangular R em mk rectângulos

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1 58 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.3 Integral duplo.3.1 efnção Seja um rectângulo fechado de, sto é, [a, b] [c, d] {(x, y) : a x b e c y d}, com a < b e c < d. Consdere-se uma partção do ntervalo [a, b], P 1 {x, x 1,..., x m }, com a x < x 1 < < x m 1 < x m b, e uma partção do ntervalo [c, d], P {y, y 1,..., y k }, com c y < y 1 < < y k 1 < y k d. Tem-se assm uma decomposção da regão rectangular em mk rectângulos W j [x 1, x ] [y j 1, y j ], 1,,..., m, j 1,,..., k, onde os rectângulos W j se ntersectam a quando muto nas respectvas fronteras. Esta decomposção de num número fnto de rectângulos dz-se uma partção de. epresentemos por P esta partção de. A norma (ou dâmetro) de P é a medda do maor dos comprmentos das dagonas de todos os rectângulos W j, 1,,..., m, j 1,,..., k e será representada por P ou δ P. Assm, { } P máx (x x 1 ) + (y j y j 1 ) : 1,..., m, j 1,..., k. Na fgura segunte está representada uma partção de uma regão rectangular em rectângulos. A norma desta partção é a medda do comprmento da dagonal assnalada. Fg..3.1

2 Crstna Caldera 59 Para evtar o uso de dos índces chamaremos 1,,..., n (com n mk) aos mk rectângulos W j, 1,,..., m, j 1,,..., k. Seja f : (x, y) f(x, y) uma função real defnda no rectângulo. Seja P { 1,,..., n } uma partção de em rectângulos. epresente-se por A a área do rectângulo, para 1,,..., n. Uma soma de emann da função f relatvamente à partção P é uma soma do tpo n f(u, v ) A, 1 onde (u, v ) é um ponto arbtráro de, para 1,,..., n. z-se que f é ntegrável sobre se exste um número real I para o qual é váldo o segunte: para todo o ε > exste δ > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ, se tem f(u, v ) A I < ε, para qualquer escolha de (u, v ). (.1) Prova-se que se exste um número real I verfcando (.1) então ele é únco. Chama-se- -lhe ntegral duplo de f sobre e representa-se por f(x, y) da ou f(x, y) dxdy. Observação.3.1 Intutvamente (.1) sgnfca que as somas de emann de f se aproxmam de I quando se consderam partções de de norma cada vez mas pequena. Como saber se uma dada função é ntegrável sobre um dado rectângulo? O uso da defnção para este fm não parece muto vável. Prova-se que se f é contínua num rectângulo fechado então f é ntegrável em. Podemos garantr anda a ntegrabldade, sobre um rectângulo, de determnado tpo de funções, não necessaramente contínuas, o que nos permtrá também defnr a noção de ntegral de uma função sobre regões não necessaramente rectangulares. Consdere-se uma função f : (x, y) f(x, y),

3 6 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 onde é um subconjunto fechado e lmtado de cuja frontera é uma unão fnta de conjuntos defndos por equações da forma x ϕ(y) ou y ψ(x), com ϕ e ψ funções contínuas em ntervalos reas fechados e lmtados. Suponha-se anda que f é contínua em. Seja [a, b] [c, d] um rectângulo fechado de (a < b e c < d), que contém. efna-se uma função em todo o rectângulo por g : { f(x, y) se (x, y) (x, y) se (x, y). Pode provar-se que esta nova função, apesar de não ser contínua em, é ntegrável sobre. z-se então que f é ntegrável sobre e defne-se f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy. Vamos agora consderar dos tpos especas de regões de. Uma regão de fechada e lmtada dz-se vertcalmente smples ou de tpo I se é da forma {(x, y) : a x b e g 1 (x) y g (x)}, com a < b, g 1 e g funções contínuas em [a, b], dstntas e verfcando g 1 (x) g (x), x [a, b]. egão vertcalmente smples Fg..3. Uma regão de fechada e lmtada dz-se horzontalmente smples ou de tpo II se é da forma {(x, y) : c y d e h 1 (y) x h (y)}, com c < d, h 1 e h funções contínuas em [c, d], dstntas e verfcando h 1 (y) h (y), y [c, d].

4 Crstna Caldera 61 egão horzontalmente smples Fg..3.3 Prova-se que se é um subconjunto fechado e lmtado de cuja frontera é uma unão fnta de conjuntos defndos por equações da forma x ϕ(y) ou y ψ(x), com ϕ e ψ funções contínuas em ntervalos reas fechados e lmtados então é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II. Mas, estas regões de tpo I ou II podem ser escolhdas de modo a que, duas a duas, se ntersectem quando muto nas respectvas fronteras. Observação.3. efnmos a noção de ntegral duplo consderando subdvsões da regão de ntegração em rectângulos. eferremos agora brevemente que também se podem consderar outros tpos de subdvsões. Seja uma regão de que é unão de um número fnto de regões cada uma das quas é horzontal ou vertcalmente smples. Chamaremos decomposção de a uma famíla fnta de regões de, 1,,..., n, cada uma das quas é unão de um número fnto de regões vertcal ou horzontalmente smples, e que verfca: 1. 1 n ;. para j, e j ntersectam-se quando muto nas suas fronteras. Chamamos dâmetro desta decomposção à maor das dstâncas entre pontos de que pertençam a um mesmo. Pelo vsto anterormente, para cada, a função constante gual a 1 é ntegrável em. efna-se área de 1 dxdy. Veremos posterormente que esta noção de área concde com a noção ntutva que temos de área de uma regão plana. Seja f uma função real de duas varáves reas defnda em. Prova-se que f é ntegrável em e que f(x, y) dydy I

5 6 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 se e só se para todo o ε > exste δ > tal que, para toda a decomposção de, { }, do tpo vsto e cujo dâmetro seja estrtamente nferor a δ, se tem f(u, v ) área de I < ε, para qualquer escolha de (u, v )..3. Interpretação do ntegral duplo como volume de um sóldo quando f assume apenas valores não negatvos Comecemos por supôr que temos um rectângulo [a, b] [c, d] e que temos uma função f : (x, y) f(x, y), contínua em e tal que f(x, y) para todo o (x, y). Efectue-se uma partção de em rectângulos, P { 1,,..., n } e consdere-se uma soma de emann de f relatvamente à partção P, n f(u, v ) A, 1 onde (u, v ) e A desgna a área de, para 1,,..., n. Seja E o sóldo de 3 que é delmtado pela regão, pelos planos x a, x b, y c, y d e pelo gráfco de f, sto é, E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. A partção P determna a decomposção de E em n sóldos E 1, E,..., E n onde E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}, 1,..., n. Na fgura segunte estão representados a regão, a partção P, o sóldo E e um dos sóldos menores E. Fg..3.4

6 Crstna Caldera 63 Vejamos o que se passa em cada um dos sóldos menores E. Fxe-se {1,,..., n}. f(u, v ) A é gual ao volume do paralelpípedo de base e altura f(u, v ). Quanto mas pequena for a medda do comprmento das dagonas de mas o volume deste paralelpípedo se aproxma do volume do sóldo E. P (u, v, ), Q (u, v, f(u, v )) Fg..3.5 A soma de emann n f(u, v ) A 1 dá o volume da reunão de n paralelpípedos, de bases 1,,..., n e alturas f(u 1, v 1 ), f(u, v ),..., f(u n, v n ), respectvamente. O volume desta reunão de paralelpípedos dá uma aproxmação para o volume do sóldo E, aproxmação essa que será tanto melhor quanto menor for a norma da partção. Este racocíno que acabámos de expôr dá uma dea ntutva de porque é váldo o resultado segunte. Proposção.3.1 Seja uma regão de que é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II e f uma função defnda e contínua em e verfcando anda Então o volume do sóldo f(x, y), (x, y). E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. é V (E) f(x, y) dxdy.

7 64 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.3.3 Algumas propredades dos ntegras duplos Teorema.3.1 Sejam uma regão de que é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II e f e g funções reas ntegráves em. Então 1. f + g é ntegrável em e [f(x, y) + g(x, y)] dxdy f(x, y) dxdy +. Para todo o c, a função c f é ntegrável em e cf(x, y) dxdy c f(x, y) dxdy ; 3. Se f(x, y) g(x, y), para todo o (x, y), f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy ; g(x, y) dxdy ; 4. Se 1 onde 1 e são duas regões de que se ntersectam, quando muto, nas suas fronteras e cada uma delas é unão de um número fnto de regões dos tpos I ou II, então f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy. 1 emonstração : Faremos apenas a demonstração da parte (a) do teorema e no caso da regão de ntegração ser um rectângulo. Consderem-se I 1 f(x, y) dxdy, I g(x, y) dxdy e I I 1 + I. Seja ε >, qualquer. Exste δ 1 > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ 1, se tem f(u, v ) A I 1 < ε/, para qualquer escolha de (u, v ). o mesmo modo, exste δ > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ, se tem g(u, v ) A I < ε/, para qualquer escolha de (u, v ).

8 Crstna Caldera 65 Sejam δ mn{δ 1, δ } e P { } uma qualquer partção de num número fnto de rectângulos verfcando P < δ. Para qualquer escolha de (u, v ) tem-se [f(u, v ) + g(u, v )] A I ( ) ( ) f(u, v ) A I 1 + g(u, v ) A I f(u, v ) A I 1 + g(u, v ) A I < ε/ + ε/ < ε. Então f + g é ntegrável em e [f(x, y) + g(x, y)] dxdy I I 1 + I..3.4 Cálculo de ntegras duplos-ntegras terados Suponha-se que [a, b] [c, d] é uma regão rectangular fechada de e que f é uma função real contínua em. esgne-se por I o ntegral de f sobre. Fxe-se x [a, b]. A função [c, d] y f(x, y) é contínua em [c, d] e portanto é ntegrável em [c, d]. O valor do seu ntegral depende de x. efna-se e consdere-se a função A(x ) d c f(x, y) dy, para x [a, b] A : [a, b] x A(x). Provemos que esta função é ntegrável em [a, b] e que o seu ntegral é I. Seja ε > qualquer. Sendo f ntegrável em exste δ > tal que, para toda a partção, P { }, de num número fnto de rectângulos com P < δ, se tem f(u, v ) A I < ε, (.) para qualquer escolha de (u, v ). Seja c y < y 1 < < y k d uma partção de [c, d] verfcando máx {y j y j 1 : j 1,..., k} < δ.

9 66 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Seja a x < x 1 < < x m b uma partção de [a, b] verfcando máx {x l x l 1 : l 1,..., m} < Para l {1,,..., m} seja u l [x l 1, x l ], arbtráro. δ. A(u l) d c f(u l, y) dy k j1 yj y j 1 f(u l, y) dy. Usando o teorema do valor médo do cálculo ntegral, conclu-se que exstem v 1,l, v,l,..., v k,l tas que v j,l [y j 1, y j ] e yj y j 1 f(u l, y) dy (y j y j 1 )f(u l, v j,l), para j 1,,..., k. Então A(u l) k f(u l, vj,l)(y j y j 1 ). j1 Consdere-se a partção de nos km rectângulos [x l 1, x l ] [y j 1, y j ], l 1,..., m, j 1,..., k. A norma desta partção é { } máx (x l x l 1 ) + (y j 1 y j ) : l 1,..., m, j 1,..., k < δ. esgnem-se por 1,,..., n (com n mk) os rectângulos desta partção e se [x l 1, x l ] [y j 1, y j ] desgne-se por (u, v ) o par (u l, v j,l ). Seja A a área de. e (.) conclu-se que m A(u l)(x l x l 1 ) I l1 < ε. m k f(u l, vj,l)(y j y j 1 )(x l x l 1 ) I l1 j1 n f(u, v ) A I 1 Provou-se assm que b a ( d c ) f(x, y) dy dx b a I A(x) dx (.3) f(x, y) dxdy.

10 Crstna Caldera 67 O ntegral presente no prmero membro da gualdade (.3) dz-se um será também representado por ntegral terado e b a d c f(x, y) dy dx. Se em vez de termos fxado x x tvessemos consderado y constante obtínhamos outro ntegral terado d ( b ) d b f(x, y) dx dy f(x, y) dx dy. Provámos assm parte do resultado: c a Teorema.3. (Teorema de Fubn) Seja f uma função real de duas varáves contínua no rectângulo [a, b] [c, d]. Então f(x, y) dxdy c b d a c d b c a a f(x, y) dy dx f(x, y) dx dy. Vejamos qual o sgnfcado geométrco da prmera gualdade presente no teorema de Fubn, no caso de se ter f(x, y), (x, y). Fxe-se x [a, b] e consdere-se a curva C que se obtém ntersectando a superfíce {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)} com o plano x x. esgne-se por E(x ) a regão plana stuada no plano x x e que é delmtada pela curva C e pelas rectas { { { x x x x x x, e. z y c y d Isto é, E(x ) é a regão a tracejado na fgura segunte. Fg..3.6

11 68 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 A(x ) d c f(x, y) dy é então a medda da área de E(x ). Isto é váldo para todo o x [a, b]. Então, ntutvamente, vemos que b d a c f(x, y) dy dx é a soma das áreas de todas as regões planas da forma E(u) {(x, y, z) 3 : x u, c y d e z f(u, y)}, u [a, b]. Mas a soma dessas áreas é o volume do sóldo E delmtado pela regão, pelos planos x a, x b, y c, y d e pela superfíce de equação z f(x, y). Ora acontece que o volume de E é f(x, y) dxdy. O teorema de Fubn generalza-se para regões vertcal ou horzontalmente smples. Teorema Seja f uma função defnda e contínua numa regão vertcalmente smples {(x, y) : a x b e g 1 (x) y g (x)}, sendo a < b, g 1 e g funções contínuas em [a, b], dstntas e verfcando g 1 (x) g (x), para todo o x em [a, b]. Então ( b ) g (x) f(x, y) dxdy f(x, y) dy dx. a g 1 (x). Seja f uma função defnda e contínua numa regão horzontalmente smples {(x, y) : c y d e h 1 (y) x h (y)}, sendo c < d, h 1 e h funções contínuas em [c, d], dstntas e verfcando h 1 (y) h (y), para todo o y em [c, d]. Então ( d ) h (y) f(x, y) dxdy f(x, y) dx dy. c h 1 (y) Exemplo.3.1 Calculemos xy dxdy, sendo {(x, y) : x + y 9 e y 3 x}. Comecemos por representar a regão.

12 Crstna Caldera 69 Verfca-se faclmente que Fg..3.7 { (x, y) : y 3 e } 9 y x 3 y. Então é horzontalmente smples e xy dxdy [ y 4 ( 3 y xy dx 9 y ) dy [ ] x 3 y y dy 9 y ( ) 9 6y + y 9 + y y (y 3 3y ) dy 4 y ] 3 dy Exemplo.3. Calculemos x dxdy, sendo {(x, y) : y x, x + y 4 e xy }.

13 7 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Fg..3.8 Neste caso não é vertcalmente smples nem horzontalmente smples. Mas 1, sendo 1 {(x, y) : y e 4 y x y} e {(x, y) : x e x y 4 x }. 1 é horzontalmente smples, é vertcalmente smples, e estas duas regões ntersectamse apenas na sua frontera. Assm, x dxdy x dxdy + x dxdy, 1 ( ) y ( ) 4 x x dx dy + x dy dx 4 y x ( y 4 ) y ( ) dy + x 4 x x dx [ ] y 3 3 y + [ 13 ] (4 x ) 3/ x Exercícos 1. Calcule f(x, y) da, sendo: (a) f(x, y) x + y e [, 1] x [, 1]; (b) f(x, y) { 1 x y se x + y 1 se x + y > 1 e [, 1] x [, 1];

14 Crstna Caldera 71 (c) f(x, y) x y 1 e a regão de defnda por y x e x y ; (d) f(x, y) sn x e a regão de defnda por y sn x, πy x e x ; (e) f(x, y) x y e o subconjunto do 1 ō quadrante de determnado por y 1 x, y x ; y x, y x (f) f(x, y) x + y e {(x, y) : x 1, y 1}; (g) f(x, y) 1 a x e {(x, y) : (x a) + (y a) a, x a, y a}; (h) f(x, y) y x e [ 1, 1] [, ].. Inverta a ordem de ntegração e calcule, nos casos relevantes, os seguntes ntegras: (a) (b) (c) (d) (e) 1 x 9 3 e y dy dx; y sn(x 3 ) dx dy; e log x y dy dx; x 1 y sn y cos(x ) dy dx; y 4 x 4 x f(x, y) dy dx; (f) r rx x dx f(x, y) dy; x (g) (h) 1 x π sn x f(x, y) dy dx + 3 sn( x ) f(x, y) dy dx. 1 3 x f(x, y) dy dx;

15 7 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4.3.6 Integras duplos em coordenadas polares Seja O um ponto fxo do plano e consdere-se um sem-exo com orgem em O. z-se que O é o pólo e que o sem-exo é o exo polar. Seja P um ponto do plano dstnto do pólo O e consderem-se a dstânca, r, de P a O e o ângulo, θ, orentado no sentdo ant-horáro e meddo em radanos que o exo polar faz com OP. Fg..3.9 Sendo r OP, com P O, tem-se r >. Impondo que π < θ π o par (r, θ) assm defndo é únco e representa o ponto P. z-se que (r, θ) são as coordenadas polares de P O. Todo o par da forma (, θ), com θ ] π, π] é uma representação do pólo O. Uma vez mposta a restrção θ ] π, π] todos os pontos do plano, com excepção do pólo O, têm uma e uma só representação em coordenadas polares. Suponha-se que no plano se consdera também, além do pólo O e do exo polar, um referencal ortonormado XOY em que a orgem concde com o pólo e o sem-exo postvo ȮX concde com o exo polar. Se um ponto P do plano tem coordenadas cartesanas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), então { x r cos θ y r sn θ. Fg..3.1 Um rectângulo polar é uma regão do plano que em coordenadas polares é da forma {(r, θ) : a r b e α θ β}, (.4) sendo b > a e π < α < β π.

16 Crstna Caldera 73 Fg A área de um sector crcular de rao r e ângulo ao centro θ (em radanos) é r θ. A área do sector S é r θ. Fg..3.1 Então a área do rectângulo polar defndo em (.4) é 1 b (β α) 1 a (β α) 1 (b a )(β α). Seja f uma função defnda e contínua no rectângulo polar dado por (.4). é uma regão fechada e lmtada de que é unão de um número fnto de regões vertcal ou horzontalmente smples. e acordo com o vsto na secção.3 f é ntegrável em. Pretendemos calcular I f(x, y) dxdy.

17 74 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Efectuemos uma partção do ntervalo [a, b] e uma partção do ntervalo [α, β]: a r < r 1 < < r k 1 < r k b ; α θ < θ 1 < < θ m 1 < θ m β. Estas duas partções determnam uma partção P 1 do rectângulo [a, b] [α, β] em n km rectângulos, [r j 1, r j ] [θ l 1, θ l ], j 1,,..., k, l 1,,..., m. esgnem-se estes n km rectângulos por 1,,..., n. Para 1,,..., n seja (r, θ ) o ponto médo de. Então, para 1,,..., n, [ r r, r + r ] [ θ θ, θ + θ ], onde r desgna a ampltude do ntervalo que é a projecção ortogonal de sobre o exo dos XX e θ desgna a ampltude do ntervalo que é a projecção ortogonal de sobre o exo dos Y Y. A área de cada é r θ, a norma de P 1 é { P 1 máx ( θ ) + ( r ) : 1,,..., n} e P 1, quando ( r, θ ) (, ), 1,,..., n. As duas partções efectuadas em [a, b] e [α, β] determnam também uma decomposção P do rectângulo polar em n rectângulos polares. Fg Para 1,,..., n desgne-se por o rectângulo polar que em coordenadas polares é { (r, θ) : r r r r + r e θ θ θ θ + θ }. As coordenadas polares do ponto médo de são então (r, θ ).

18 Crstna Caldera 75 Fg As coordenadas cartesanas de (r, θ ) são { x r cos θ y r sn θ. A área de é A 1 [ ( r + r ) ( r r ) ] θ r r θ. O dâmetro ou norma de P é a medda do comprmento da maor das dagonas dos rectângulos polares 1,,..., n. esgne-se por P. Efectuando alguns cálculos obtém-se que P máx { 4(r ) sn ( θ ) ( ) θ + ( r ) cos : 1,,..., n Observe-se que, atendendo a que o conjunto {r : 1,,..., n} é lmtado, porque é lmtado, P, quando ( r, θ ) (, ), 1,,..., n. Consdere-se a soma de emann para f, assocada à decomposção P, que se obtém escolhendo o ponto médo em cada rectângulo polar, }. n f(x, y ) A 1 n f(r cos θ, r sn θ ) r r θ. (.5) 1 Consdere-se a função g : [a, b] [α, β] (r, θ) rf(r cos θ, r sn θ).

19 76 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 e (.5) obtém-se que n f(x, y ) A 1 n g(r, θ ) r θ (.6) e o segundo membro desta equação é uma soma de emann da função g relatvamente à partção P 1 de [a, b] [α, β] nos n rectângulos 1,..., n e onde em cada rectângulo se escolheu o ponto médo. A função g é contínua em [a, b] [α, β] e portanto é ntegrável. Seja I g(r, θ) drdθ. [a,b] [α,β] Vamos provar que I I. Seja ε > qualquer. Efectuando partções de [a, b] e [α, β] em sub-ntervalos de ampltudes sufcentemente pequenas, sto é, consderando todos os r e todos os θ sufcentemente pequenos, as normas de P 1 e P são sufcentemente pequenas para que (observação.3. e defnção de ntegral num rectângulo) f(x, y ) A I < ε/ e 1 g(r, θ ) r θ I < ε/. Então de (.6) obtém-se ( ) ( I I g(r, θ ) r θ I + f(x, y ) A + I) g(r, θ ) r θ I + f(x, y ) A I < ε. Uma vez que sto é váldo para todo o ε > conclu-se que I I, sto é, que f(x, y) dxdy g(r, θ) drdθ [a,b] [α,β] f(r cos θ, r sn θ) r drdθ [a,b] [α,β] b ( β a β α ) r f(r cos θ, sn θ) dθ dr α ( b ) r f(r cos θ, sn θ) dr dθ. Seja uma regão do plano que em coordenadas polares é da forma {(r, θ) : α θ β e h 1 (θ) r h (θ)}, a

20 Crstna Caldera 77 com π < α < β π, h 1 e h funções contínuas e dstntas em [α, β] e verfcando h 1 (θ) h (θ), θ [α, β]. z-se que é uma regão polar de tpo I. egão polar de tpo I Fg Se em coordenadas polares é da forma {(r, θ) : a r b e g 1 (r) θ g (r)}, onde a < b, g 1 e g funções contínuas e dstntas em [a, b] e verfcando g 1 (r) g (r), r [a, b], dz-se que é uma regão polar de tpo II. egão polar de tpo II Fg..3.16

21 78 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 No resultado segunte está descrta a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas polares no caso da regão de ntegração ser uma regão polar de tpo I ou de tpo II. Proposção.3. () Sejam {(r, θ) : α θ β e h 1 (θ) r h (θ)} uma regão polar de tpo I e f uma função contínua em. Então ( β ) h (θ) f(x, y) dxdy rf(r cos θ, r sn θ) dr α h 1 (θ) () Sejam {(r, θ) : a r b e g 1 (r) θ g (r)} uma regão polar de tpo II e f uma função contínua em. Então ( b ) g (r) f(x, y) dxdy rf(r cos θ, r sn θ) dθ a g 1 (r) dθ. dr. Exemplo.3.3 Calcular o volume do sóldo E lmtado superormente pela superfíce de equação z x + y e nferormente pela regão {(x, y) : 1 x + y 4 e x }. Em coordenadas polares, Fg {(r, θ) : 1 r e π θ π }.

22 Crstna Caldera 79 Então Volume de E π (x + y ) dxdy ( π ) r(r cos θ + r sn θ) dθ [ r 4 π 4 15π 4. π ( π π r 3 [θ] π π r 3 dr ] 1 r 3 dθ dr ) dr dr.3.7 Mudança de varável no ntegral duplo-caso geral Consdere-se fxado um referencal ortonormado em, XOY. Suponha-se que se pretende ntegrar uma função sobre {(x, y) : x 1 y 1 + x e 1 x y x}. Fg Claro que o podemos fazer consderando como a unão de três regões vertcalmente smples. Mas se consderarmos as novas varáves ndependentes u e v dadas por u x + y e v x y, em relação ao novo referencal ortonormado UOV a regão de ntegração passa a ser o rectângulo [1, ] [ 1, 1]. Ao fazermos uma mudança de varáves, sto é ao mudarmos o referencal a expressão da função a ntegrar também passa a ser outra. Se

23 8 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 esta mudança de varáves não complcar excessvamente a função a ntegrar haverá então nteresse em fazê-la. Veremos de seguda como se pode fazer a mudança de varáves no ntegral duplo. Consdere-se fxado um referencal ortonormado em. Seja uma regão do plano XOY que é unão de um número fnto de regões vertcal ou horzontalmente smples e f : (x, y) f(x, y) uma função contínua. Consdere-se a mudança de varáves dada por { x g(u, v) y h(u, v). Seja e suponha-se que função {(u, v) : (g(u, v), h(u, v)) } (u, v) (g(u, v), h(u, v)) é de classe C 1 num aberto de contendo. Suponha-se anda que a mudança de varáves é bjectva, ou seja, que a função é bjectva. ϕ : (u, v) (g(u, v), h(u, v)) Teorema.3.4 Nas condções anterores, se det(j ϕ (u, v)) para todo o (u, v), então f(x, y) dxdy f(g(u, v), h(u, v)) det(j ϕ (u, v)) dudv. Exemplo.3.4 Consderemos a regão defnda no níco da secção, e calculemos {(x, y) : x 1 y 1 + x e 1 x y x} efectuando a mudança de varáves { u x + y v x y A função vectoral (y x ) dxdy, { x u+v y u v ϕ : [1, ] [ 1, 1] (u, v) ( u+v, ) u v.

24 Crstna Caldera 81 é bjectva e a função é de classe C 1 em. Por outro lado, (u, v) ( u+v, ) u v det(j ϕ (u, v)) para todo o (u, v) [1, ] [ 1, 1]. Então (y x ) dxdy [1,] [ 1,1] [1,] [ 1,1] ] [ v u du 1, ( uv) det(j ϕ (u, v)) dudv 1 uv dudv O cálculo deste ntegral consderando como unão de 3 regões vertcalmente smples é consderavelmente mas trabalhoso. Vejamos que a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas polares vsta na secção anteror é um caso partcular da mudança de varáves descrta agora. Seja uma regão do plano XOY fechada, lmtada, que é unão fnta de regões, cada uma de um dos tpos I ou II, e que não contém a orgem. Seja f uma função contínua em. Faça-se a mudança de varáves { x g(r, θ), y h(r, θ) onde g e h são as funções de classe C 1 em defndas por g(r, θ) r cos θ e h(r, θ) r sn θ. Consdere-se {(r, θ) : r >, θ ] π, π] e (r cos θ, r sn θ) }. Como se vu, para todo o ponto do plano XOY, com excepção da orgem, as coordenadas polares são unvocamente determnadas. Então a aplcação du ϕ : (r, θ) (r cos θ, r sn θ) é bjectva. Por outro lado, det(j ϕ (r, θ)) cos θ sn θ r sn θ r cos θ r >,

25 8 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 para todo o (r, θ). Então f(x, y) dxdy f(r cos θ, r sn θ) r drdθ, como havíamos vsto na secção anteror. O facto de termos excluído a possbldade de a orgem pertencer à regão de ntegração não é grave. O que se passa num únco ponto não afecta o valor do ntegral duplo e portanto podemos efectuar a mudança de coordenadas cartesanas para coordenadas polares mesmo se a orgem pertencer à regão de ntegração..3.8 Exercícos 1. Calcule os seguntes ntegras passando a coordenadas polares: (a) x dxdy onde {(x, y) : y x, x, x + y 9 e x + y 4}; (b) dxdy onde {(x, y) : 1 x + y 4}; (c) (d) (e) (f) (g) 4 x 1 1 x (x + y ) 3 dy dx; e x + y dy dx; xy (x + y ) x y dxdy sendo a regão do 1 quadrante de lmtada por y, y 3 3 x, x + y 1 4 e x y 1 ; dxdy arctg ( y x ) dxdy onde {(x, y) : x + y x, x + y 4 e y 3x}; onde {(x, y) : x + y y e y x }.. Calcule os seguntes ntegras efectuando a mudança de varável ndcada: { x u + v (a) dxdy fazendo y u v, e com (b) {(x, y) : y, x e x + y 1}; (x + y) dxdy fazendo u x + y e v x y, e sendo {(x, y) : y, x e x + y 1} ;

26 Crstna Caldera 83 (c) xy dxdy fazendo x u v e y uv, e sendo {(x, y) : x + y 1}. 3. Usando uma mudança de varável adequada calcule: (a) e y x y+x dxdy onde é o trângulo lmtado pelas rectas x, y e (b) x + y ; (x y) sn (x + y) dxdy onde é o polígono de vértces nos pontos de coordenadas (π, ), (π, π), (π, π), (, π). 4. Usando a transformação { x + y u y uv mostre que 1 1 x e y 1 x+y dy dx (e 1). 5. Usando mudanças de coordenadas convenentes, calcule, xy dxdy onde {(x, y) : (x + y 4 x y ) (4x + y 4 x y )}..3.9 Aplcações do ntegral duplo Cálculo de volumes Vmos na proposção.3.1 que se é uma regão de que é unão de um número fnto de regões de que são, cada uma delas, de um dos tpos I ou II e f uma função defnda e contínua em e verfcando anda então o volume do sóldo f(x, y), (x, y), E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)} é Se f for tal que V (E) f(x, y) dxdy. f(x, y), (x, y),

27 84 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 então o volume do sóldo {(x, y, z) 3 : (x, y) e f(x, y) z } é f(x, y) dxdy. O resultado da proposção.3.1 pode anda ser usado para calcular volumes de sóldos da forma E {(x, y, z) 3 : (x, y) e g(x, y) z f(x, y)}, onde f e g são funções contínuas em, dstntas e verfcando Consderem-se os sóldos g(x, y) f(x, y), (x, y). E 1 {(x, y, z) 3 : (x, y) e z g(x, y)} e E {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. Fg Então o volume de E é V (E) V (E ) V (E 1 ) f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy [f(x, y) g(x, y)] dxdy. Exemplo.3.5 Calculemos o volume do sóldo E {(x, y, z) 3 : z 3/ e x + y + (z 1) 1}.

28 Crstna Caldera 85 Fg..3. { x + y + (z 1) 1 z 3 A projecção de E sobre XOY é { x + y 3 4 z 3. { (x, y) : x + y 3 }. 4 Então o volume de E é V (E) Mudando para coordenadas polares, [ x y 3 ] dxdy. V (E) π π π π π π π π 4. 3/ 3/ ( r 3 ) r dr dθ ( 1 r 1 ) r dr dθ [ 1 4 r 1 3 (1 r ) 3/ ] 3 dθ

29 86 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Exercícos 1. Usando ntegras duplos, calcule o volume dos seguntes subconjuntos de 3 : (a) { x + y 1 z x + y ; (f) { x + y z x + y + z 3 ; (b) x + y z x y ; (c) x 4 + y 1 1 z 1 3x 4y ; (g) y x x y z 3 ; (h) x a + y b + z 1 com a, b, c ; c (d) { x + y z z 1 ; () { (z 16) x + y x + y 4 ; (e) { x + y + z 4 x + y x ; (j) { z (x + y ) y + z.. Seja E {(x, y, z) 3 : x + z 1, x + z y e y }. etermne o volume de E usando ntegras duplos. Cálculo de áreas de superfíces ( ā Frequênca, A. Mat. II - 5/6/98) Para podermos dar uma dea de porque é que se podem calcular áreas de superfíces usando ntegras duplos precsamos de defnr o que se entende por produto vectoral de dos vectores de 3. Sejam u (u 1, u, u 3 ) e v (v 1, v, v 3 ) vectores de 3. O produto vectoral ou produto externo de u por v é o vector u v (u v 3 u 3 v, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v u v 1 ). O produto vectoral de dos vectores pode ser calculado através do determnante smbólco (não se trata de um determnante porque um determnante é um número e u v é um vector) u v î ĵ ˆk u 1 u u 3 v 1 v v 3

30 Crstna Caldera 87 î u u 3 v v 3 ĵ u 1 u 3 v 1 v 3 + ˆk u 1 u v 1 v (u v 3 u 3 v )î + (u 3 v 1 u 1 v 3 )ĵ + (u 1 v u v 1 )ˆk. Proposção.3.3 Sejam u, v dos vectores de 3 e seja θ [, π] o ângulo entre eles. Então u v u v sn θ. emonstração : u v (u v 3 u 3 v ) + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + (u 1 v u v 1 ) u v 3 + u 3v + u 3v 1 + u 1v 3 + u 1v + u v 1 u u 3 v v 3 u 1 u 3 v 1 v 3 u 1 u v 1 v (u 1 + u + u 3)(v 1 + v + v 3) u 1v 1 u v u 3v 3 u u 3 v v 3 u 1 u 3 v 1 v 3 u 1 u v 1 v u v (u 1 v 1 + u v + u 3 v 3 ) u v u, v u v u v cos θ u v (1 cos θ) u v sn θ. Uma vez que θ [, π], sn θ, obtendo-se u v u v sn θ. esta proposção conclu-se que a norma de u v é gual à área do paralelograma de lados u e v. u v área de P Fg..3.1 a proposção anteror conclu-se anda que u v se e só se u e v são lnearmente ndependentes. Por outro lado, u v, u (u v 3 u 3 v )u 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )u + (u 1 v u v 1 )u 3

31 88 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 e analogamente u v, v. Assm, se u e v são lnearmente ndependentes, o vector u v é perpendcular ao plano que contém a orgem e é paralelo a u e v. O sentdo de u v é dado pela regra do saca-rolhas - fgura.3.. Fg..3. Proposção.3.4 Seja uma regão do plano XOY que é unão de um número fnto de regões, cada uma delas de um dos tpos I ou II. Seja f : (x, y) f(x, y) uma função de classe C 1 em e consdere-se a porção de superfíce Então a área de S é dada por A(S) S {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. 1 + (f x (x, y)) + (f y (x, y)) dxdy. Antes de apresentarmos uma dea geométrca da demonstração vejamos um coroláro mportante e a sua demonstração. Coroláro.3.1 Seja uma regão do plano XOY que é unão de um número fnto de regões, cada uma delas de um dos tpos I ou II. Então a área de é dada por A() dxdy. emonstração: Consderando a função obtém-se a porção de superfíce f : (x, y) 1 S {(x, y, z) 3 : (x, y) e z 1}.

32 Crstna Caldera 89 Fg..3.3 A porção de superfíce S obtém-se efectuando uma translação de e portanto A() A(S) dxdy dxdy. Vejamos então agora uma dea geométrca da demonstração da proposção para o caso da regão de ntegração ser um rectângulo. Consdere-se uma partção de em rectângulos 1,,..., n. Para {1,,..., n} seja S a porção de S cuja projecção ortogonal sobre XOY é. Isto é, S {(x, y, z) 3 : (x, y) e z f(x, y)}. A área de S é gual à soma das áreas de S 1, S,..., S n. consderem-se e S. Fxe-se {1,,..., n} e Fg..3.4 Suponha-se que [a, b ] [c, d ] e desgnem-se por x e y as meddas dos lados de. Isto é, x b a e y d c. Consdere-se o ponto de S, P (a, c, f(a, c )) e seja π o plano tangente a S em P (exste tal plano tangente porque S é a superfíce de nível de valor zero de uma função g(x, y, z) z f(x, y) e o gradente desta função em P é não nulo). esgne-se por T o paralelogramo contdo em π e cuja projecção ortogonal sobre XOY é o rectângulo. A função f é dferencável em P porque é de classe C 1. Então, para com dagonas sufcentemente pequenas, a área de T dá uma boa aproxmação para a área de S.

33 9 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 Fg..3.5 A área de T é gual a u v. A recta que passa em P e tem a drecção do vector u é a recta do plano y c que é tangente, em P, à curva C que é a ntersecção de S com o plano y c. Assm C é a curva defnda por { z f(x, c ) y c e a referda recta tangente é dada por { z fx (a, c )(x a ) + f(a, c ) y c. (.7) epresentemos a stuação no plano y c : Fg..3.6 Usando (.7) conclu-se que o ponto Q tem coordenadas (b, c, f x (a, c )(b a ) + f(a, c )) (b, c, f x (a, c ) x + f(a, c )).

34 Crstna Caldera 91 Então u Q P (b a,, f x (a, c ) x ) ( x,, f x (a, c ) x ). e modo análogo verfca-se que v (, y, f y (a, c ) y ) e portanto u v î ĵ ˆk x f x (a, c ) x y f y (a, c ) y ( x )( y )f x (a, c )î ( x )( y )f y (a, c )ĵ + ( x )( y )ˆk ( x )( y ) ( f x (a, c ), f y (a, c ), 1). Assm a área de S é aproxmadamente gual a e a soma u v ( x )( y ) 1 + (f x (a, c )) + (f y (a, c )) n ( x )( y ) 1 + (f x (a, c )) + (f y (a, c )) (.8) 1 dá uma aproxmação para a área de S, que será tanto melhor quanto menores forem as dagonas dos rectângulos, sto é, quanto menor for a norma da partção { 1,,..., n }. Mas (.8) é uma soma de emann para a função relatvamente à partção { 1,,..., n }. Assm, ntutvamente, vemos que (x, y) 1 + (f x (x, y)) + (f y (x, y)), A(S) 1 + (f x (x, y)) + (f y (x, y)) dxdy. Exemplo.3.6 Calculemos a área da porção de parabolóde S {(x, y, z) 3 : x + y 1 e z 3 x y }.

35 9 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 e acordo com a proposção anteror, sendo e usando coordenadas polares, A(S) Fg..3.7 {(x, y) : x + y 1} π 1 π π π 1 + ( x) + ( y) dxdy 1 + 4x + 4y dxdy r 1 + 4r dr dθ [ 1 1 (1 + 4r ) 3/ π 6 (5 5 1). ] 1 dθ Exercícos 1. etermne, usando ntegras duplos, as áreas dos domínos planos defndos por: (a) {(x, y) : y 6x x e y x x}; (b) {(x, y) : y e x, y e x e x }; (c) {(x, y) : x ay, x by, y αx e y βx}, onde a b e α β; (d) {(x, y) : x + y 1, x + y 4, x e y x};

36 Crstna Caldera 93 (e) {(x, y) : x + y 16, (x + ) + y 4 e y }; (f) {(x, y) : x + y x, y 3x e y x}; (g) {(x, y) : x + y 1, y x e y }; (h) {(x, y) : x 4 + y 1, x 4 + y 9 1, y x, x e y }; () {(x, y) : y 4x e y x 4}; (j) {(x, y) : x + 4y 5 e xy 1}.. Usando ntegras duplos, calcule a área da regão plana defnda por {(x, y) : x + y 1, (x 1) + y 1 e y }. (1 ā Frequênca, A. Mat. II - 17//98) 3. Calcule as áreas das seguntes superfíces : (a) Porção do plano de equação 6x + 3y + z 1 stuada no prmero octante; (b) Porção do parabolóde de equação x + y z stuada no nteror da superfíce clíndrca x + y 1; (c) Superfíce esférca; (d) Porção da superfíce cónca de equação x + y z stuada no nteror da superfíce clíndrca de equação x + y 1; (e) S {(x, y, z) 3 : x + y + z 4 e x + y z }; (f) S {(x, y, z) 3 : x + y 4 e z 3}. Massa, centro de massa e momentos duma fgura plana Seja uma regão plana. Suponhamos dstrbuída na regão uma determnada quantdade de matéra. Seja (x, y) um ponto de e seja S uma subregão de que contém (x, y). esgne-se por A a sua área e por m a massa da matéra dstrbuída em S. Se m exstr, o lmte lm dependerá, em geral do ponto (x, y). Assm, a este lmte, se A A exstr, chama-se densdade da matéra no ponto (x, y). Se para todo o (x, y) exstr o referdo lmte, à função ρ : +, tal que ρ(x, y) é a densdade da matéra no ponto (x, y) chama-se função densdade da dstrbução de matéra em causa. Suponha-se agora que temos uma regão plana rectangular [a, b] [c, d] e que temos uma dada dstrbução de matéra em, com função densdade contínua ρ. Efectuemos

37 94 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 uma partção do rectângulo num número fnto de de rectângulos, P { }. Consdere-se uma soma de emann para ρ assocada a esta partção, ρ(u, v ) A, onde, para cada, (u, v ) e A representa a área de. Fxe-se. Se a função ρ fosse constante em, a massa da matéra contda em sera gual a ρ(u, v ) A. Então ρ(u, v ) A dá uma aproxmação para a massa da matéra contda em, aproxmação essa que será tanto melhor quanto menor for a medda das dagonas de. Assm, ρ(u, v ) A dá uma aproxmação para a massa da matéra contda em, aproxmação essa que será tanto melhor quanto menor for a norma da partção P. Então, ntutvamente vemos que ρ(x, y) dxdy é gual à massa de matéra dstrbuída em. Os momentos de um ponto materal com massa m e stuado no plano XOY, P (x, y), em relação aos exos OX e OY são, respectvamente, my e mx. O momento de um sstema materal consttuído por um número fnto de pontos em relação a um dado exo é a soma dos momentos, em relação a esse exo, dos pontos que consttuem o sstema. Para cada rectângulo da partção de, e supondo que a massa está toda concentrada no ponto (u, v ), o momento de em relação a OX é Assm a soma de emann v ρ(u, v ) A. v ρ(u, v ) A dá uma aproxmação para o momento de relatvamente a OX. Então o momento, relatvamente a OX, de uma dstrbução de matéra sobre a regão rectangular, com função densdade contínua ρ, é dado por M x y ρ(x, y) dxdy. e modo análogo, o momento, relatvamente a OY é M y x ρ(x, y) dxdy.

38 Crstna Caldera 95 O centro de massa ou barcentro de um sstema materal consttuído por n pontos do plano XOY, P 1, P,..., P n, tendo o ponto P (x, y ) uma massa m, é o ponto (x, y ) em que n 1 x x m m e n 1 y y m, m onde m m é a massa total do sstema. Se suposermos que em cada rectângulo, da partção P de, a massa está toda concentrada no ponto (u, v ), as coordenadas do centro de massa de são x c u ρ(u, v ) A m e y c v ρ(u, v ) A. m Assm, ntutvamente, e atendendo a que m ρ(x, y) dxdy, o centro de massa de é o ponto (x c, y c ), onde x ρ(x, y) dxdy x c ρ(x, y) dxdy e y ρ(x, y) dxdy y c. ρ(x, y) dxdy O que acabámos de ver generalza-se para regões planas não necessaramente rectangulares. Seja uma regão fechada plana que é unão de um número fnto de regões vertcalmente smples ou horzontalmente smples. Suponhamos dstrbuída na regão uma determnada quantdade de matéra, com função densdade contínua ρ. Para esta dstrbução de matéra tem-se: A massa total m é dada por m ρ(x, y) dxdy. Os momentos em relação a OX e a OY são, respectvamente M x y ρ(x, y) dxdy e M y x ρ(x, y) dxdy.

39 96 Textos de Apoo de Análse Matemátca IV 3/4 As coordenadas do centro de massa são x ρ(x, y) dxdy x c ρ(x, y) dxdy M y m e y y ρ(x, y) dxdy c ρ(x, y) dxdy M x m. Exemplo.3.7 etermnar a massa total e o centro de massa de uma dstrbução de matéra com função densdade ρ(x, y) x + y, sobre o rectângulo polar que em coordenadas polares é { (r, θ) : r 1 e π 6 θ π }. 3 Usando coordenadas polares, conclu-se que a massa total é m x + y dxdy π 3 1 π 6 π 18. As coordenadas do centro de massa são x c 18 π Exercícos 18 π π 3 π 6 1 r dr dθ x ρ(x, y) dxdy 9( 3 1) 4π y c 18 π 18 π π 3 1 π 6 r 3 cos θ dr dθ ; y ρ(x, y) dxdy 9( 3 1) 4π r 3 sn θ dr dθ 1. Utlzando ntegras duplos, determne a massa, m, os momentos M x e M y e o centro de massa C (x c, y c ), de uma lâmna T, cuja densdade em cada ponto P (x, y) de T é dada por ρ(x, y), quando:. (a) T é um trângulo rectângulo sósceles, cujos catetos medem a, e ρ(x, y) é drectamente proporconal ao quadrado da dstânca de (x, y) ao vértce do ângulo recto; (b) T {(x, y) : x y 1 x } e ρ(x, y) x + y;