Teoria Elementar da Probabilidade

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1 10 Teora Elementar da Probabldade MODELOS MATEMÁTICOS DETERMINÍSTICOS PROBABILÍSTICOS PROCESSO (FENÓMENO) ALEATÓRIO - Quando o acaso nterfere na ocorrênca de um ou mas dos resultados nos quas tal processo se pode traduzr. Face à conjugação de um determnado número de condções, um resultado aleatóro pode ou não ocorrer. Exemplo 1: Lançamento ao ar de uma moeda equlbrada. Os resultados " SAI CARA " (F) ou " SAI COROA " (C) são aleatóros. Cada resultado aleatóro é a consequênca de númeras causas fortutas. Exemplo 2 : Lançamento de um dado e observação do resultado apresentado na face superor.

2 11 ASPECTOS PERTINENTES À CARACTERIZAÇÃO DE UMA EPERIÊNCIA ALEATÓRIA a) Cada experênca poderá ser repetda ndefndamente sob condções essencalmente nalteradas. b) Muto embora não sejamos capazes de afrmar que resultado partcular ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possíves resultados da experênca. c) Quando a experênca for executada repetdamente, os resultados ndvduas parecerão ocorrer de uma forma acdental. Contudo, quando a experênca for repetda um grande número de vezes, aparecerá uma regulardade. EPERIÊNCIAS ALEATÓRIAS, ESPAÇOS AMOSTRAIS E ACONTECIMENTOS EPERIÊNCIA ALEATÓRIA - Desgna uma stuação à qual estejam assocados, de forma não controlada, dos ou mas resultados possíves. Exemplos : Lançamento de uma moeda F-C ao ar uma vez ( resultados possíves : " SAI CARA " (F) ou " SAI COROA " (C) ).

3 12 Lançamento de uma moeda F-C ao ar tantas vezes quantas as necessáras até sar F ( conjunto nfnto numerável de resultados possíves : 1,2,3,...) O atraso de um comboo ( com uma nfndade de resultados possíves : [0, + [ ). ESPAÇO AMOSTRAL - Conjunto de todos os resultados possíves de uma experênca aleatóra. Exemplos : Consderando as experêncas aleatóras defndas anterormente temos: Espaço amostral : S = { F, C } Espaço amostral : S = {1, 2, 3, } Espaço amostral : S = {t : t 0 } Os espaços amostras podem ser dscretos ou contínuos, consoante os seus elementos sejam numeráves ou não. Os espaços dscretos podem ser fntos ou nfntos. O espaço amostral assocado a uma experênca aleatóra depende da forma como a experênca é avalada sto é, depende daqulo que estamos a observar. Exemplo : Consdere-se a experênca consttuída pelo lançamento ao ar da moeda F-C três vezes consecutvas.

4 13 Se o resultado for avalado pelo número de F obtdos (nº de vezes em que " SAI CARA"), o espaço amostral é consttuído pelo conjunto {0, 1, 2, 3}. Se o resultado for avalado pela sequênca de F e C então o espaço amostral é consttuído por oto resultados possíves. 1º lança/ 2º lança/ 3º lança/ F S FFF F C FFC C F FCF F C FCC C F CFF F C CFC C F CCF Árvore de resultados (utlzada na representação de resultados de experêncas sequencas) C CCC Dagrama de Venn Acontecmento - Conjunto de elementos de um espaço amostral, sto é, conjunto de resultados possíves assocados à realzação de uma experênca aleatóra. Acontecmento smples/composto Acontecmento certo/mpossível

5 14 CCF FFF A 1 FCC FCF A 2 CFC FFC CFF CCC A 1 - " Saída de duas caras " (acontecmento composto) A 2 - " Saída de três coroas " (acontecmento smples) Como os acontecmentos são conjuntos, podemos aplcarlhes as operações de reunão, ntersecção e complementardade, defnndo novos acontecmentos. S A B A B A B - acontecmento que ocorrerá sse A ou B (ou ambos) ocorrerem S A B A B A B - acontecmento que ocorrerá sse A e B ocorrerem S A A A - acontecmento complementar de A em S, ocorrerá sse A não ocorrer Dos acontecmentos dzem-se mutuamente exclusvos se não puderem ocorrer smultaneamente, sto é se A B =

6 15 Conceto de probabldade Defnção clássca Se uma experênca aleatóra tver N resultados mutuamente exclusvos e gualmente prováves e se um acontecmento A contver N A desses resultados ( N A N), então a probabldade do acontecmento A é dada por : NA numero de casos favoraves P ( A) = N numero de casos possves Defnção geométrca Permte ultrapassar uma lmtação da defnção clássca de probabldade e que resulta do pressuposto de que o número de resultados possíves assocados a cada experênca aleatóra é fnto. Então vem que: P ( A) = med A med S representando "med" uma medda de dmensão de uma qualquer regão ncluída num espaço amostral contínuo S de uma experênca aleatóra. Defnção frequencsta No decurso de N repetções de uma experênca aleatóra, um acontecmento A ocorre N A vezes (0 N A N). A frequênca relatva de ocorrênca desse acontecmento é: NA fa = N

7 16 Defne-se probabldade de A como o lmte de f A quando o número de repetções tende para nfnto: P( A) = lm f = lm N A N N N A Defnção axomátca Basea-se em propredades resultantes das defnções anterores e assenta nos três axomas seguntes: 0 P(A) 1 P(S) = 1 P (A B) = P(A) + P(B) se A e B mutuamente exclusvos Propredades: P(A) + P(A) = 1 P( ) = 0 P (A B) = P(A) + P(B) P(A B) para A e B quasquer A B P(A) P(B) Métodos de enumeração Regra da multplcação n 2 n 1 n 1.n 2 n 2 procedmento 1 procedmento 2

8 17 Regra da adção procedm. 1 procedm. 2 n 1 n 2 n 1 + n 2 Arranjos e Permutações Consderem-se n elementos dstntos. Pretende-se contar o número de maneras de escolher k elementos (0 k n) de entre esses n, consderando a sua ordem. Exstem: Se k = n vem: A n k = n n n! ( n k) A = n! = P n! Combnações Consderem-se novamente n elementos dstntos.o número de maneras de escolher k elementos (0 k n) de entre esses n, sem consder a sua ordem é: n C n k = k = n! k! n k! ( ) Permutações com alguns elementos repetdos Consderem-se novamente n elementos pertencentes a k espéces dstntas.o número de permutações possíves desses n elementos é dado por: n! n1! n2! n k! em que n + n + + n = n 1 2. k

9 18 Probabldade condconada e acontecmentos ndependentes Probabldade condconada, P( A B ) - probabldade de ocorrênca de um acontecmento A quando se admte que ocorreu um acontecmento B : ou P( A B) = ( B) P( B) P A P( A B) = P( A B) P( B) (com P(B) > 0) P(A) - probabldade a pror P(A B) - probabldade a posteror Dos acontecmentos dzem-se ndependentes sse: ( ) = ( ) ( ) P A B P A P B e portanto de um modo equvalente: ou ( ) P( A) P A B = (com P(B) > 0) ( ) P( B) P BA = (com P(A) > 0) Teorema de Bayes B 1 A B 3 B 5 B 2 B 4

10 19 ( ) P( B A) P B A P A B = = n P( A) = 1 ( ) P( B ) P( A B ) P( B ) em que B 1, B 2,, B n consttuem uma partção do espaço amostral S, sto é: B B =, j j n = 1 B = ( ) S P B > 0, O resultado : n ( ) = ( ) ( ) P A P A B P B =1 é o enuncado do teorema da probabldade total e obtémse a partr da decomposção de A em acontecmentos mutuamente exclusvos, sto é: ( ) ( ) ( ) A = A B1 A B2 A B n Varáves aleatóras Seja ε uma experênca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experênca. Uma função, que assoce a cada elemento s ε S um número real (s), é uma varável aleatóra. Sobre um mesmo espaço amostral podem ser defndas dferentes funções (varáves aleatóras). Contrado mn o da aplcaçao dscreto v. a. dscreta contnuo v. a. contnua

11 20 É possível defnr varáves aleatóras mstas que correspondem à combnação dos concetos de varáves aleatóras dscretas e contínuas. O contradomíno da função corresponde ao domíno da varável aleatóra,r x, que de certo modo, poderemos consderar como um outro espaço amostral assocado à varável aleatóra e representando a característca numérca que nos nteressa. S A B s (s) R x Seja B um acontecmento no contradomíno R x. Nesse caso defne-se P(B) como: P(B) = P(A) em que A = { s ε S : (s) ε B } Notação: - varável aleatóra x - valor que a varável aleatóra assume Varáves aleatóras dscretas A varável aleatóra dz-se dscreta se o número de valores possíves para sto é, R x, for fnto ou nfnto numerável. Então { x 1, x 2, x 3, }.

12 21 Função de probabldade p (x) = P ( = x ) p ( x) ( ) p x se x = x = 0 se x x Propredades p (x ) 0, n = 1 p ( x) = 1 Função de dstrbução (ou de probabldade acumulada) ( ) = ( ) = ( ) F x P x p xk x k x Propredades F ( x ) é monótona crescente F (- ) = 0 F (+ ) = 1 P ( a < b) = F ( b ) - F ( a ) Nota: p (x j ) = F (x j ) - F (x j-1 ) Varáves aleatóras contínuas A varável aleatóra dz-se contínua se R, contradomíno de, for um ntervalo ou conjunto de ntervalos reas.

13 22 Função densdade de probabldade ( ) ( ) ( ) f x : P a b = f x dx Propredades f (x) 0, x R + f ( x ) dx = 1 Nota: f (x) dx = probabldade de [x, x + dx] P( = x) = 0 a b Função de dstrbução (ou de probabldade acumulada) ( ) ( ) ( ) F x = P x = f u du Propredades F (x) é monótona crescente : F (- ) = 0 x 2 > x 1 F (x 2 ) F (x 1 ) F (+ ) = 1 P ( a b ) = F ( b ) - F ( a ) F (x) 0, x d F ( x ) = f d x ( x ) x

14 23 CARACTERIZAÇÃO ADICIONAL DAS V. ALEATÓRIAS As dstrbuções de probabldade podem ser caracterzadas recorrendo a parâmetros que, de uma forma sntétca, dão nformação relevante sobre as propredades dessas dstrbuções. Os parâmetros habtualmente utlzados são o valor esperado e a varânca. Para analsar a relação entre duas varáves aleatóras recorremos também à covarânca e ao coefcente de correlação lnear. VALOR ESPERADO Varáves aleatóras dscretas Seja uma varável aleatóra dscreta, com valores possíves x 1, x 2,..., x n,.... Seja p ( x ) = P ( = x ), =1,2,..., n,.... O valor esperado de ( esperança matemátca de, expectânca de ou valor médo de ) é defndo do segunte modo: E ( ) x p ( x ) = =1

15 24 Se tomar apenas um número fnto (n) de valores então: ( ) = x p ( x ) n E. Esta expressão pode = 1 ser nterpretada como uma méda ponderada dos valores possíves de. Se todos os n valores possíves de forem gualmente prováves então E() é a méda artmétca smples dos valores que a varável aleatóra assume. O valor obtdo para E() pode não pertencer ao conjunto de valores efectvamente assumdos por. Do ponto de vsta físco E() pode nterpretar-se como a abcssa do centro de gravdade de uma dstrbução dscreta de massa untára sobre uma lnha recta. Se o número de valores possíves para for nfnto numerável, então o valor esperado E() exstrá se e só se a sére p ( x ) x for absolutamente =1 convergente, sto é, se p ( x ) < Notação usada: µ = E() x. =1

16 25 Varáves aleatóras contínuas Seja uma varável aleatóra contínua com função densdade de probabldade f ( x ). O valor esperado de é defndo como: E + ( ) = x f ( x ) dx O valor esperado E() só exstrá, se o ntegral for absolutamente convergente, sto é se: + x f ( x ) dx < Se ( x ) f só estver defnda como dferente de zero num dado ntervalo [ a, b ] então: E b ( ) = x f ( x ) dx a

17 26 PROPRIEDADES DO VALOR ESPERADO Seja uma varável aleatóra (dscreta ou contínua), a, b e c constantes e g() e h() duas funções reas de cujo valor médo exste. Então: ) E ( c) = c ) E ( µ ) = 0 ) E ( c ) = c E ( ) v) E [ g ( ) + h ( ) ] = E[ g ( ) ] + E[ h ( ) ] v)se g ( x ) h ( x ) para todo o x, então E[ g ( ) ] E[ h ( ) ] v) E ( a + b ) = a + b E ( ) v) V ( ) 0 v) V ( ) = 0 = µ. Nestas condções P ( µ ) = 1 é uma varável pseudo-aleatóra. x) V ( a b ) = b 2 V ( ) + ; σ a b = b σ x) V ( ) = E ( ) [ E ( ) ] = E ( ) E ( ) + = e x) Se é uma varável aleatóra tal que ( ) = µ V 2 ( ) σ = então a varável aleatóra parâmetros E ( Z) = 0 e ( Z) 1 V =. E e µ Z = tem σ As propredades ) e v) podem resumr-se dzendo que o operador E é lnear.

18 27 FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS Seja uma varável aleatóra dscreta ou contínua. Se exstr um número postvo h tal que se possa defnr a função: t G t = E e ( ) ( ) para t < h, então essa função desgna-se por função geradora de momentos da v.a.. Pode demonstrar-se que se esta função exstr, então é únca, contínua e dferencável em torno de t = 0. Esta função determna completamente a dstrbução de probabldades de, efectvamente: e pelo que: e G G ' d t t ( t ) = E ( e ) = E ( e ) '' d t d ' 2 t ( t ) = G ( t ) = E ( e ) d t ( 0) E ( ) G ' = '' 2 ( 0) E ( ) G = Assm teremos de um modo geral: ( ) r r d r ( 0) G ( t ) E ( ) G = r t = 0 =, r 1 d t

19 28 A INEQUAÇÃO DE MARKOV E CHEBISHEV Se conhecermos a dstrbução de probabldade de uma v.a., podemos calcular E() e Var(). Contudo o nverso não é verdadero. Isto é, o conhecmento de E() e Var() não permte reconsttur a dstrbução de probabldade de. Porém é possível estabelecer um lmte para a probabldade de varar num determnado ntervalo, de acordo com o teorema segunte e respectvos coroláros. TEOREMA: Seja uma v.a. (dscreta ou contínua) e h(x) uma função desta varável aleatóra, tal que h(x) é não E h x exstr, então: negatva. Se [ ( ) ] [ h ( x) C ] E [ h ( x) ] P, C > 0 DESIGUALDADE DE MARKOV: Caso seja uma v.a. não negatva, fazendo h(x) =, vem que: [ C ] C ( ) E C P, C > 0 h x = µ DESIGUALDADE DE CHEBISHEV: Sendo ( ) ( ) 2 e C 2 2 = k σ ( k > 0), temos que: P ou de modo equvalente: P [ µ k σ ] 1 2 [ µ < k σ ] > k k

20 29 A desgualdade de Chebyshev pode também aparecer sob a segunte forma: P [ µ C ] 2 σ C A partr desta desgualdade podemos conclur que, se a V() for pequena, a maor parte da dstrbução de probabldade de estará concentrada na vznhança de E(). O segunte teorema resulta também da nequação de Chebshev: TEOREMA: Admtamos que V()=0. Então: [ = µ ] 1 P = 2 = Esta mesma conclusão é obtda se E()=0 e E ( ) 0 2 = uma vez que neste caso V ( ) E ( ) 0 =.