AULA Espaços Vectoriais Estruturas Algébricas.

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1 Note bem: a letura destes apontamentos não dspensa de modo algum a letura atenta da bblografa prncpal da cadera Chama-se a atenção para a mportânca do trabalho pessoal a realzar pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bblografa, sem consulta préva das soluções propostas, análse comparatva entre as suas resposta e a respostas propostas, e posteror exposção junto do docente de todas as dúvdas assocadas. TÓPICOS Estruturas algébrcas. Espaço vectoral. Combnação lnear. Independênca lnear. AULA Espaços Vectoras Estruturas Algébrcas. Na generaldade, uma estrutura algébrca é consttuída por um ou mas conjuntos (suportes da estrutura), mundos de uma ou mas operações (les de composção nterna ou externa, operações unáras, etc.) envolvendo elementos daquele(s) conjuntos e satsfazendo certas propredades formas. Caso não exsta ambgudade, pode dentfcar-se um dos conjuntos suporte com a estrutura algébrca. Por exemplo, o corpo ( R, +, ) refere-se, geralmente, apenas como o corpo R (o corpo dos reas). Algumas estruturas algébrcas envolvem mas de um conjunto. Por exemplo, um espaço vectoral tem nerentes dos conjuntos: um conjunto de vectores e outro de escalares (um corpo), uma le de composção nterna (adção vectoral) e outra externa (multplcação de escalar por vector). Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

2 Grupóde Todo par ( A, ) consttuído por um conjunto A e uma operação bnára de A em A (le de composção nterna). Semgrupo Todo o grupóde ( A, ) em que a operação é assocatva. é assocatva a ( b = ( a b) c é comutatva a b = b a Monóde elemento neutro u a: a u = u a = a Todo o semgrupo ( A, ) com elemento neutro (que é únco). Grupo elemento oposto a a : a a = a a = u Grupo Comutatvo (Abelano) Todo o monóde em que todos os elementos têm oposto (que é únco). Todo o grupo ( A, ) em que é comutatva. Anel Todo o terno ( A, +, ) em que( A, + ) é um grupo comutatvo, ( A, ) é um semgrupo e é dstrbutva em relação a, ou seja, + à esquerda e à dreta. ( A, + ) ( A, ) + é assocatva. + é comutatva. neutro 0. oposto (smétrco) para todos os elementos é assocatva. ( a+ b) c = ( a + ( b a ( b + = ( a b) + ( a Corpo Todo o anel ( A, +, ) em que ( A, ) é um monóde e todos os elementos dferentes de 0 são nvertíves., ou seja, ( A, + ) + é assocatva. + é comutatva. neutro 0. oposto (smétrco) para todos os elementos ( A, ) é assocatva. é comutatva. neutro 1. oposto (nverso) para todos os elementos dferentes de 0. ( a+ b) c = ( a + ( b a ( b + = ( a b) + ( a Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

3 10.. Espaço Vectoral. Seja E um conjunto de elementos uv,,, w, chamados vectores, e K um corpo, de elementos αβ,,, γ, chamados escalares. Dz-se que E é um espaço vectoral (ou espaço lnear) sobre o corpo K sse: a. estver defnda em E a operação adção vectoral, +, que a u E e a v E assoca o elemento u + v E, tal que ( E, + ) é um grupo comutatvo, ou seja, uvw,, E : a1. u + v = v + u (+ é assocatva) a. ( u + v) + w = u + ( v + w ) (+ é comutatva) a E :( u + 0) + u = u (elemento neutro de +, desgnado por zero) a4. u 1 u E : u + ( u) (elemento oposto de u para a operação +, desgnado por smétrco de u ) m. estver defnda a operação multplcação de escalar por vector,, que a α K e a u E assoca o elemento α u E (ou, smplesmente αu ), que verfca: m1. α ( u + v) = α u + αv ( é dstrbutva em relação à adção dos elementos de E ) m. ( α + β) u = αu + βu ( é dstrbutva em relação à adção de elementos de K ) m3. α ( βu ) = ( αβ) u (assocatvdade msta) m4. 1 u = u (elemento neutro de à esquerda) A operação bnára + de E em E desgna-se por adção vectoral, e a operação bnára de E K em E desgna-se por multplcação de escalar por vector. Salente-se que um espaço vectoral é fechado relatvamente à adção vectoral. Quando K = R dz-se que E é um espaço vectoral real, e quando K = C dz-se que E é um espaço vectoral complexo. 1. São exemplos de espaços vectoras (ou seja, pode demonstrar-se que verfcam as 8 propredades acma enuncadas) os seguntes conjuntos, com a defnção habtual de adção entre os seus elementos, e de multplcação dos seus elementos por um escalar do corpo K ndcado: O conjunto n R, como temos vndo a consderar até aqu, com K = R. O conjunto dos segmento orentados, que apropradamente desgnámos por vectores, com K = R. O conjunto n C, com K = C (e também com K = R ). O conjunto das funções reas (ou complexas) de varável real num ntervalo I R, com as defnções habtuas de adção de funções e de multplcação de uma função por uma constante α R (ou α C ): ( f + g)( x) = f( x) + g( x) e Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

4 ( α f)( x) = α f( x) ), com K = R (ou K = C ). O vector nulo é a função f 0 tal que f 0 ( x), x I. É mportante pensar em cada uma das funções como um vector, ou seja, smplesmente como um elemento do espaço vectoral. Para apenas duas funções podemos fazer a analoga com os segmentos orentados em R. Sendo um espaço vectoral consttuído por funções, é desgnado por espaço de funções, F = F () I. Tem especal nteresse, como verá nas caderas da especaldade, o espaço de snas que é, exactamente, um espaço de funções que contém nformação sobre um determnado fenómeno físco relevante para as aplcações Combnação Lnear. Seja E um espaço vectoral sobre um corpo K. Dz-se que um vector u E é combnação lnear dos vectores u 1, u,, u n E, se exstrem escalares k1, k,, kn K, desgnados por coefcentes da combnação lnear, tas que u = k1u1 + ku + + knun n = k u. O vector de 4 = 1 R, u = ( 1,, 3, 4) é combnação lnear dos vectores u 1 = (,0, 1,0), u = ( 1,,0,0 ), u 3 = (0, 0, 1,) e u 4 = (,0,0, 1), dado que exstem escalares, k =, k = 1, k = 1, k =, tas que u = k u = 1 Com efeto k1u1 + ku + k3u3 + k4u4 = u1 u + u3 u4 = (, 0, 1, 0) ( 1,, 0, 0) + (0, 0, 1, ) (, 0, 0, 1) = (4, 0,, 0) + (1,, 0, 0) + (0, 0, 1, ) + ( 4, 0, 0, ) = (1,, 3, 4) = u 3. A função real de varável real lnear das funções (vectores) f 1 ( x ) = 1, f ( x) ou, smplesmente, jx 3 fx ( ) = x+ x pode ser descrta como combnação = x, f 3 ( x) fx ( ) f( x) + 1 f( x) + 0 f( x) + f( x) fx ( ) = [ ] = x, e f x x 3 4 ( ) = : 4. A função fx ( ) = e, com x R, é uma função complexa de varável real desgnada por exponencal complexa. A fórmula de Euler estabelece a relação entre a função exponencal complexa e as funções trgonométrcas seno e co-seno : jx e = cos( x) + jsen( x) Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

5 Nas expressões acma e é a base do logartmo natural ( e.7183 ) e assume-se que x é expresso em radanos e não em graus. Fgura 10.1 A função cos( ω 0t) pode ser expressa como combnação j lnear das funções 0t e ω e j 0t e ω 0 jω0t jω0t cos( ω t).5e + 0.5e A função cos( ω 0t) pode ser nterpretada como um vector pertencente ao subespaço das funções contínuas (complexas j de varável real) gerado pelos vectores 0t e ω j e 0t e ω, e, nesse subespaço, pode ser descrto apenas pelas suas coordenadas 0 [ ] cos( ω t) Também a função sen( ω 0t) pode ser expressa como combnação lnear das funções j t j t e ω e ω 0 e 0 jω0t jω0t sen( ω 0t) = 0.5je + 0.5je = [ 0.5j 0.5j] Note que, agora, o espaço vectoral é necessaramente defndo sobre o corpo dos complexos e não sobre o corpo dos reas, uma vez que os escalares da combnação lnear obtda são complexos Independênca lnear. O conjunto de vectores { u u u ndependente sse a equação só possu a solução trval V = 1,,, n E, dz-se lnearmente ku + k u + + k u 1 1 n n k k k n 1 = = = Ou, o que é equvalente, nenhum dos vectores pode ser expresso como combnação lnear dos restantes. Caso contráro, sto é, se a equação possu uma solução não trval, dzemos que os vectores de V são lnearmente dependentes. Equvalentemente, V é lnearmente dependente sse um dos seus elementos é combnação lnear dos restantes. 5. O conjunto de vectores = { u, u, u, u V, com u = (,0, 1,0), = (,0,0, 1 1 u = ( 1,,0,0), u 3 = (0, 0, 1,) e u ), é lnearmente ndependente dado que Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

6 k1u1 + ku + k3u3 + k4u4 k1(, 0, 1, 0) + k( 1,, 0, 0) + k3(0, 0, 1, ) + k4(, 0, 0, 1) ( k1,0, k1,0) + ( k, k,0,0) + (0, 0, k3, k3) + ( k4, 0, 0, k4) (k1 k + k4, k, k1 k3, k3 k4) k1 k + k4 k k1 k3 k3 k4 Resolvendo o sstema podemos verfcar que só exste a solução trval k = k k k = 6. O conjunto de vectores V { 3 x,1 x x, x x dependente, dado que = + + P é lnearmente 3x = (1 x + x ) ( x + x ) 7. O conjunto de vectores = { sen ( x),cos ( x),cos( x) dado que V é lnearmente dependente, cos( x) = cos ( x) sen ( x) 3 8. O conjunto de vectores = { 1, xx,, x P é lnearmente ndependente. Nenhum dos seus vectores pode exprmr-se como combnação lnear dos outros. 9. O conjunto de vectores = { 1 + xx, + x,1+ x vez que mplca que, ou seja, e anda, na forma matrcal,, pelo que, sendo P é lnearmente ndependente, uma 1 3 k (1 + x) + k ( x + x ) + k (1 + x ) k1 k1x kx kx k3 k3x ( k + k ) + ( k + k ) x + ( k + k ) x k1 + k3 k1 + k k + k k k 0 = 0 1 1k ~ Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A

7 , o sstema só possu a solução trval, k 1 = k = k 3, pelo que os vectores 1 + x, x + x, e 1 + x, são lnearmente ndependentes Wronskano. Não exste nenhum método geral para demonstrar que um conjunto de n vectores de um espaço de funções é lnearmente ndependente. No caso dos n vectores n 1 pertencerem a C (o conjunto das funções n 1 vezes contnuamente dferencáves), a ndependênca lnear pode ser demonstrada verfcando que o determnante f1( x) f( x) fn ( x) f 1( x) f ( x) f n ( x) Wx ( ) = det ( n 1) ( n 1) ( n 1) f1 ( x) f ( x) fn ( x), desgnado por Wronskano dos n vectores, é não nulo pelo menos para um valor de x R. 10. Para o conjunto de vectores = { sen( x),cos( x),1 V temos sen( x) cos( x) 1 Wx ( ) = det cos( x) sen( x) 0 sen( x) cos( x) 0 = 1( cos ( x) sen ( x)) = 1 O determnante nunca é nulo (bastara que fosse não nulo para apenas um valor de x ) pelo que V é lnearmente ndependente. 11. Para o conjunto de vectores P = { 1 + xx, + x,1+ x, temos 1+ x x + x 1+ x det x x = (1 + x)(+ 4x 4 x) (x + x x ) 0 = + x x + = 4 O determnante nunca é nulo (bastara que não fosse nulo para apenas um valor de x ), pelo que os vectores são lnearmente ndependentes. Prof. Isabel Matos & José Amaral ALGA A