ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA

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1 CAPÍTUO ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA. INTODUÇÃO A máquna de ndução trfásca com rotor bobnado é smétrca. Apresenta estruturas magnétcas clíndrcas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos, tanto do rotor quanto do estator são guas entre s e gualmente defasados. A máquna de ndução com rotor em gaola também é smétrca, pelas mesmas razões expostas. Porém o número de fases do rotor é superor a três. De fato, cada barra da gaola consttu uma fase. Neste capítulo será modelada apenas a máquna trfásca, porém sem perda de generaldade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases e conseqüentemente para o rotor em gaola... Um desenho lustratvo da máquna smétrca trfásca está representado na Fg. - v v v v v - - v Fg.. epresentação da máquna smétrca trfásca.

2 6 CAPÍTUO. ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA. HIPÓTEE DE ETUDO E CONVENÇÕE Para que se possa representar matematcamente a máquna em estudo, serão fetas algumas hpóteses smplfcatvas, sem as quas a formulação, se não se tornasse mpossível, tornar-se-a extremamente complexa. A) Hpóteses de estudo e conseqüêncas: (a) Os três enrolamentos estatórcos são guas entre s. (b) Os três enrolamentos rotórcos são guas entre s. (c) Os ângulos elétrcos entre os enrolamentos são guas, tanto no estator quanto no rotor. (d) O entreferro é consderado constante. (e) O crcuto magnétco é consderado deal. A saturação não exste. (f) A dstrbução da densdade de fluxo magnétco no entreferro é radal e senodal. (g) A máquna será consderada bpolar. (h) Não serão consderadas as perdas magnétcas. que: Como conseqüênca das hpóteses de estudo adotadas, podemos estabelecer (a) Os fluxos podem ser superpostos. Assm: total (.) sendo o fluxo produzdo pelo enrolamento do rotor e o fluxo produzdo pelo enrolamento do estator. Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

3 TEOIA FUNDAENTA DO OTO DE INDUÇÃO 7 (b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem ndutâncas própras constantes. Assm:,,,, e são constantes. (c) como conseqüênca da gualdade dos enrolamentos tem-se: (d) como conseqüênca do defasamento gual entre os enrolamentos tem-se: onde: ndutânca mútua entre dos enrolamentos do estator ndutânca mútua entre dos enrolamentos do rotor (e) as ndutâncas mútuas entre os enrolamentos estatórcos e rotórcos são funções senodas do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotor estão representados smbolcamente na Fg..: Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

4 8 CAPÍTUO. ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA θ θ Fg.. epresentação smbólca dos enrolamentos do estator e do rotor. cosθ cos cos cos cosθ cos cos cos cosθ ( θ π / ) ( θ 4π / ) ( θ 4π / ) ( θ π / ) ( θ π / ) ( θ 4π / ) (.) (.) (.4) B) Convenções: A máquna será tratada como um receptor e as equações das tensões terão a forma representada pela expressão (.5) v a d dt a aa (.5) onde representa o fluxo total que envolve o enrolamento a. Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

5 TEOIA FUNDAENTA DO OTO DE INDUÇÃO 9 Prof. Ivo Barb, Dr. Ing. EQUAÇÕE DO FUXO Adotando a superposção, os fluxos estatórcos serão descrtos pelas expressões (.6), (.7) e (.8). (.6) (.7) (.8) epresentando-se as equações (.6), (.7) e (.8) matrcalmente, obtém-se a equação (.9): (.9) Generalzando-se para os enrolamentos rotórcos e compactando-se a representação obtém-se as expressões (.0): θ θ (.0) onde: (.) (.)

6 0 CAPÍTUO. ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA cos θ cos( θ π/ ) cos( θ 4 π/ ) ( θ π ) ( θ π ) θ ( θ ) cos θ 4 π/ cosθ cos θ π/ (.) cos / cos 4 / cos t θ θ (.4) As matrzes (.) e (.) são chamadas de matrzes crculantes smétrcas..4 EQUAÇÕE DA TENÕE Na medda que for possível será mantda a representação matrcal no desenvolvmento deste capítulo. Das les da físca, podemos escrever as expressões das tensões como estão representadas nas expressões (.5) e (.6): v d dt (.5) v d dt (.6) onde: (.7) (.8) 0 0 A segur serão desenvolvdas as expressões dos fluxos: Prof. Ivo Barb, Dr. Ing. d ( ) d dt dt (.9)

7 TEOIA FUNDAENTA DO OTO DE INDUÇÃO ( ) d ( ) d d dt dt dt d d d d ( θ ) dt dt dt dt (.0) (.) mas d θ θ dθ dt dt (.) Assm, a dervada do fluxo do estator é representada pela expressão (.). d d d θ dθ ( θ ) dt dt dt dt (.) A dervada do fluxo do rotor, obtda de manera análoga, é representada pela expressão (.4): d d d θ dθ ( θ ) dt dt dt dt (.4) evando-se as expressões das dervadas dos fluxos (.) e (.4) nas expressões (.5) e (.6), obtém-se as expressões das tensões, (.5) e (.6): d d θ dθ v ( θ ) (.5) dt dt dt d d θ dθ v ( θ ) (.6) dt dt dt.5 EQUAÇÃO DO TOQUE Como fo estabelecdo no capítulo, o torque de exctação, quando se trata de dos enrolamentos, é determnado pela expressão (.7): Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

8 CAPÍTUO. ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA T d dt (.7) Na máquna smétrca trfásca há três enrolamentos no estator e três no rotor. Adconando os torques produzdos pelos ses enrolamentos, obtém-se a expressão (.8): T (.8) epresentando-se na forma matrcal, obtém-se a expressão (.9): T [ ] (.9) eja: θ (.0) (.) (.) A expressão do torque será então representada pela expressão (.). Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

9 TEOIA FUNDAENTA DO OTO DE INDUÇÃO T t ( ) (.) Transpondo-se a expressão (.), obtém-se a expressão (.4): T t ( ) (.4) Adconando-se as expressões (.) e (.4) e dvdndo-se por dos obtém-se a expressão (.5). ( ) t t T (.5) A expressão (.5) pode ser reescrta segundo a expressão (.6). t t 0 T ( ) 0 θ (.6) As matrzes e são formadas por termos ndependentes da posção angular θ. Por sto: 0 (.7) Pode-se consequentemente estabelecer que: 0 0 θ θ (.8) eja: ( ) t t t (.9) (.40) Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

10 4 CAPÍTUO. ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA θ (.4) Assm o torque será representado pela expressão (.4): t T (.4).6 EQUAÇÕE FINAI DA ÁQUINA eunndo-se as expressões das tensões e do torque, (.5) e (.6) e (.4) respectvamente, obtém-se o modelo completo da máquna, representado pelas expressões (.4), (.44) e (.45). d d θ dθ v ( θ ) (.4) dt dt dt d d θ dθ v ( θ ) (.44) dt dt dt t T (.45) As equações elétrcas podem ser reescrtas segundo a expressão (.46): v 0 0 d 0 0 dt v 0 d 0 dθ 0 dt 0 θ θ dt (.46) As expressões (.46) podem ser reescrtas de uma forma mas compacta, segundo a expressão (.47): d dθ v ( θ ) (.47) dt dt Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

11 TEOIA FUNDAENTA DO OTO DE INDUÇÃO 5 Pos: 0 0 (.48) θ θ (.49) eunndo-se as expressões (.47) e (.4) obtém-se o modelo da máquna smétrca na sua forma mas compacta, representada pelas expressões (.50): v p θ t T (.50).7 OUTA TÉCNICA PAA OBTENÇÃO DA EXPEÃO DO TOQUE Consderemos a expressão das tensões (.5): v ( θ ) p θ (.5) Pré-multplcando-se todos os termos da equação pelo vetor corrente transposto obtém-se a equação (.5): mas: Por outro lado: ( θ ) p θ (.5) t t t t v d d θ θ ( θ ) (.5) t t t t p θ dt dt Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

12 6 CAPÍTUO. ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA t t d d ( θ ) (.54) dt dt Assm: d θ θ p θ (.55) dt t t t ubsttundo-se a expressão (.55) em (.5), obtém-se a expressão (.56): p ( θ ) θ (.56) t t t t v O últmo termo da expressão (.56) representa a parcela de potênca elétrca absorvda pela máquna e convertda em potênca mecânca. Assm: P m t θ (.57) portanto: t T (.58) Fca assm estabelecda a equação do torque, com o emprego de um método dferente daquele empregado no tem.5. Os dversos termos das expressões (.47) podem ser nterpretados fscamente. Assm: (a) epresenta as quedas de tensão nas resstêncas dos enrolamentos da máquna. (b) ( θ )p epresenta as tensões geradas nos enrolamentos, causadas pela varação das correntes. ão tensões varaconas. (c) θ ão as tensões geradas nos enrolamentos, quando há deslocamento relatvo entre eles. ão denomnadas tensões rotaconas. Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

13 TEOIA FUNDAENTA DO OTO DE INDUÇÃO 7 Quando θ 0, ou seja, quando o rotor estver em repouso, o modelo passa a ser representado pela expressão (.59): p v θ (.59) que representa um transformador..8 CONCUÕE As equações (.50) são não lneares e de dfícl solução. Em geral, não são empregadas no estudo do comportamento da máquna. Por sto, foram desenvolvdas técncas baseadas em transformações lneares, com o objetvo de estabelecer modelos mas smples a partr do modelo orgnal estabelecdo neste capítulo. Tas técncas serão estudadas nos capítulos seguntes. Em alguns trabalhos, destnados a determnar o comportamento da máquna de ndução assocada a certos tpos de conversores estátcos, o modelo representado pelas equações (.50) foram empregados. Tal tpo de estudo porém é muto partcular e só pode ser realzado com o emprego de computadores. Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.

14 8 CAPÍTUO. ETUDO DA ÁQUINA IÉTICA TIFÁICA.9 EXECÍCIO POPOTO ) eja uma máquna smétrca trfásca, almentada em corrente no estator e no rotor. As correntes estatórcas e rotórcas são dadas pelas expressões seguntes: I cos ω tθ I cos ω tθ π / I cos ω tθ 4 π / I cos ω tθ I cos ω tθ π / I cos ω tθ 4 π / O rotor gra com velocdade ω m em relação ao estator. erá consderada uma máquna de ndução de dos pólos. Assm: ω ω ω m Pede-se a expressão fnal do torque desenvolvdo pela máquna. Prof. Ivo Barb, Dr. Ing.