Palavras-Chave: Métodos Interativos da Potência e Inverso, Sistemas Lineares, Autovetores e Autovalores.

Transcrição

1 MSc leandre Estáco Féo ssocação Educaconal Dom Bosco - Faculdade de Engenhara de Resende Caa Postal 8.698/87 - CEP Resende - RJ Brasl Professor e Doutorando de Engenhara aefeo@yahoo.com.br Resumo Serão apresentados neste trabalho os Métodos Iteratvos da Potênca e Inverso, que são utlzados para encontrar os autovalores mámo e mínmo, assm como os autovetores respectvos, de uma matrz real e smétrca Paralelamente, será desenvolvdo um programa em Matlab para a mplementação computaconal do método, assm como a resolução de um sstema proposto. O método da Potênca não é um método geral, mas é útl em um grande número de stuações mutas vezes, satsfatóro quando o problema envolve matrzes esparsas grandes; outras, quando outros métodos, desenvolvdos mas recentemente, não podem ser utlzados devdo às lmtações de tamanho de memóra dos computadores (tknson, 978). É, portanto, um método de dfícl mplementação de programas de computador para stuações mas generalzadas; sendo, porém, fácl, quando se trata de classes mas especas de matrzes. Vale ressaltar que o Método da Iteração Inversa utlza um procedmento smlar ao método da Potênca, usado para determnar o autovalor mínmo de uma matrz. Palavras-Chave Métodos Interatvos da Potênca e Inverso, Sstemas Lneares, utovetores e utovalores. INTRODUÇÃO O método da Potênca não é um método geral, mas é útl em um grande número de stuações. Por eemplo, é mutas vezes satsfatóro quando o problema envolve matrzes esparsas grandes, onde outros métodos desenvolvdos mas recentemente, não podem ser usados devdo às lmtações de tamanho de memóra dos computadores (tknson, 978). É, portanto, um método de dfícl mplementação de programas de computador, para stuações mas generalzadas; sendo, porém, fácl, quando se trata de classes mas especas de matrzes. O Método da Iteração Inversa utlza um procedmento smlar ao método da Potênca, usado para determnar o autovalor mínmo de uma matrz. OBJETIVO Entender o desenvolvmento teórco do método da Potênca e também entender o desenvolvmento teórco do método da Iteração Inversa, a fm de construr um programa para mplementação dos mesmos, através do Matlab. DESENVOLVIMENTO do Método da Potênca bordaremos lgeramente o problema da determnação de valores e vetores própros de uma matrz, ou seja, estamos nteressados em achar os valores de λ ( valores própros ) para os quas estem não nulos ( vetores própros ) tas que λ () Isto corresponde a encontrar as soluções da equação polnomal II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 59

2 já que ( λ) λ I () p λ I defne um polnômo denomnado polnômo característco. Se tratar de uma matrz nn, então p é um polnômo de grau n e há n raízes, ou seja, n valores própros, que desgnaremos de λ, λ,..., λ. lguns valores podem ser guas, n correspondendo a raízes múltplas. cada valor própro está assocado um vetor própro, consttundo assm, um subespaço lnear, desgnado subespaço própro. Consderaremos apenas o caso mas favorável, ou seja, o caso em que as matrzes são dagonalzáves. T n T X dag ( λ ) X Xdag ( λ ) Y λ y (3) onde as colunas de X e as lnhas y T de Y T são os autovetores à dreta e à esquerda de normalzado afm de que y T I. s s s Dsto X dag ( λ ) Y λ y e se T n T λ λ λ > n λ r+ λ n n s T λ y pelos termos a epressão no lado dreto s é defntvamente domnada. Este é o resultado fundamental no qual este método é baseado. Relembramos anda que no caso em que as matrzes são smétrcas os seus autovalores são números reas; e que o determnante da matrz é gual ao produto dos seus autovalores, o que nos afrma que a nversbldade de uma matrz não ocorre se tvermos um autovalor nulo (lmeda, 4). Iremos referr aos autovalores λ, λ,..., λ como domnantes e aos autovetores r correspondentes também domnantes. Comumente r e neste caso s é fnalmente domnado s T por λ y. Método das Potêncas aplcação mas smples do método da potênca é o segunte. Deemos u ser um vetor arbtráro e deemos as seqüêncas v s e u s serem defndas pelas equações v u, u v / ma( v ), s+ s s+ s+ s+ onde usamos a notação ma() para representar o elemento de maor módulo do vetor. s s Claramente teremos u u / ma( u ) s e se escrevermos u α, então ndependentemente do fator de normalzação, u s é dado por α λ λ α α ( λ / λ ) s +. (4) n n s s n Se λ > λ λ λ 3 n, então fornece α teremos /ma( ) ma( ) u e v λ s s. Este método permte obter de forma smples uma apromação do autovalor domnante, ou seja, aquele que tem o maor módulo, por um processo teratvo, desde que seja real. II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 6

3 Lembramos que assummos que a matrz é dagonalzável e que este um únco autovalor domnante. Determna-se então uma apromação do autovetor assocado e a partr dessa apromação do autovetor podemos calcular uma apromação do autovalor. O método consste em escolhermos um vetor ncal u, aleatoramente. Tendo como únca egênca que este vetor seja não nulo. EXEMPLO RESOLVIDO Seja e ε <.. Por ser uma matrz é fácl, algebrcamente encontrarmos os autovalores e autovetores. λ ( λ) λ λ 4λ + 3 λ 3 Resolvendo λ Calculemos agora os autovetor assocado ao maor λ, que é 3 + y y 3y y y y Podemos dzer que o vetor assocado é [ ] T. Vamos verfcar agora, através do método da Potênca, se os resultado vão convergr para os valores encontrados algebrcamente. T Como vetor ncal temos{ } [. 9.8]. Normalzando. { }.9 /.9 y.8 / Procedemos, agora o cálculo da equação (4) Fazendo o teste de convergênca { } Normalzando { } > ε II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 6

4 Calculando { } Fazendo o teste de convergênca.8889 / { y }.7778 / { } Normalzando { } Calculando { } Fazendo o teste de convergênca > ε.965 /.965 { y }.93 / { } Cálculo de λ < ε λ O autovalor que nos dá a precsão desejada ( ε <. ) é λ.987 e o autovetor assocado a este autovalor é [.9957], após 3(três) terações. Isto nos dá a efcênca de convergênca do método em questão, pos vemos que os valores realmente se apromam, cada vez mas, dos valores encontrados algebrcamente. CONCLUSÃO O método da Potênca é um método de fácl compreensão e smples mplementação computaconal, nos fornecendo o autovalor mámo, ou seja, o últmo autovalor de uma matrz, e seu respectvo autovetor. Método da Iteração Inversa Este método permte obter de forma smples uma apromação do autovalor mínmo, ou seja, aquele que tem o menor módulo, por um processo teratvo, desde que seja real. Lembramos que assummos que a matrz é dagonalzável e que este um únco autovalor mínmo. Determna-se então uma apromação do autovetor assocado e a partr dessa apromação do autovetor podemos calcular uma apromação do autovalor., aleatoramente. Tendo como O método consste em escolhermos um vetor ncal { } únca egênca que este vetor seja não nulo. II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 6

5 sendo Procedemos, então a normalzação deste vetor, ou seja { λ. } má { } { y} (5) { } pós sso procedemos a multplcação matrcal [ ]{ } { y} (6) Procedemos, então a normalzação do novo vetor { } { y} (7) { } Fazemos [ ]{ } { y}. E assm sucessvamente, achando quantos autovetores forem necessáros. Paramos com os cálculos acma, quando o erro verfcado no teste de convergênca for menor do que o erro pretenddo por nós. O teste de convergênca para este método consste em calcularmos { } + { } { } + < ε Calculamos, fnalmente, o autovalor correspondente λ sn al * { } má + ou O snal da razão acma é o snal da componente com maor módulo. O vetor ncal é aleatóro, embora esta uma probabldade (que podemos consderar nula) de que para certos vetores ncas o método não convrja. Isto apenas acontece quando { } tem componente nula segundo o autovetor mínmo, o que é altamente mprovável. De qualquer forma, e como convém que todo método que o método convrja mas rapdamente é habtualmente aconselhável começar com um vetor ncal que sera autovetor para o maor elemento (em módulo) da matrz formada apenas pela dagonal. EXEMPLO RESOLVIDO Seja e ε <,5. Por ser uma matrz é fácl, algebrcamente encontrarmos os autovalores e autovetores. λ λ (8) (9) Resolvendo ( λ) λ 4λ + 3 II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 63

6 λ 3 λ Calculemos agora os autovetor assocado ao maor λ, que é 3 3 y y + y 3 + y 3y y. Vamos verfcar agora, através do método da Potênca, se os resultado vão convergr para os valores encontrados algebrcamente. Como vetor ncal escolhemos Podemos dzer que o vetor assocado é [ ] T Normalzando { } { } [,9 ;, 8] T,9 /,9,8 /,9,888 { y } Procedemos, agora o cálculo da equação (8) Fazendo o teste de convergênca Normalzando { },888 3,73 6,47 { } { } 3,73,9,759 > ε 3,73 Calculando { } 3,73/ 3,73 6,47 / 3,73,75 { y } Fazendo o teste de convergênca Normalzando { },75,4,48 { } { },4 3,73,8 > ε,4,4 /,4,48 /,4 { y },9 II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 64

7 Calculando { } 3 Fazendo o teste de convergênca Normalzando { } 3,9,6, { } { } 3,6,4,698 > ε,6 3 Calculando { } 4,6 /,6, /,6,6 { y } 3 Fazendo o teste de convergênca Normalzando { } 4,6,,4 { } { } 4,,6,39 > ε, 4 Calculando { } 5, /,,4 /,, { y } 4 Fazendo o teste de convergênca Normalzando { } 5,,7,4 { } { } 5,7,,3 > ε,7 5 Calculando { } 6,7 /,7,4 /,7,7 { y } 5 Fazendo o teste de convergênca,,3,46 { } { } 6 6 Cálculo de λ,3,7,3,47 < ε II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 65

8 λ,3 O autovalor que nos dá a precsão desejada é λ, 3 e o autovetor assocado a este autovalor é [,46]. Isto nos dá a efcênca de convergênca do método em questão, pos vemos que os valores realmente se apromam, cada vez mas, dos valores encontrados algebrcamente. CONCLUSÃO Os métodos da Potênca e da Iteração Inversa são métodos de fácl compreensão e smples mplementação computaconal, nos fornecendo o autovalor mámo e mínmo e seus respectvos autovetores. BIBLIOGRFI TKINSON, Kendall, 978 n Introducton to Numercal nalyss, John Wley & Sons, Iowa, 587p. LMEID, R., Departamento de Matemátca, Unversdade da Bera Interor, http// WILKINSON, J. H., 965 The lgebrac Egenvalue Problem, Clarendon Press - Oford, London, 66p II Smpóso de Ecelênca em Gestão e Tecnologa SEGeT 5 66