Variação ao acaso. É toda variação devida a fatores não controláveis, denominadas erro.
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- Artur Esteves Mendonça
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1 Aplcação Por exemplo, se prepararmos uma área expermental com todo cudado possível e fzermos, manualmente, o planto de 100 sementes seleconadas de um mlho híbrdo, cudando para que as sementes fquem na mesma posção e profunddade e vamos medr as alturas das plantas, depos de 5 meses, que emergram desse planto. 1
2 Os dados abaxo são referentes à altura de 100 plantas de mlho, como descrtas anterormente m ^ = 196,51 s = 3,9455 Iremos verfcar que dfclmente teremos plantas de mesma altura. Essa varação caracterza o que chamamos de varação ao acaso, varação aleatóra ou erro Varação ao acaso É toda varação devda a fatores não controláves, denomnadas erro.
3 Para melhor entendmento do erro, temos que recorrer à noção de modelo estatístco. Para usarmos a nformação da varação do acaso, há que se quantfcá-la. Ora, na estatístca uma das meddas de dspersão e que portanto, quantfca a varabldade é a varânca. Temos outras estatístcas quantfcadoras de varabldade, mas todas usando a varânca: Desvo padrão; Varânca da méda; Erro padrão da méda; Coefcente de varação (CV); Intervalo de confança para a méda; além de outras. OBS: Na estatístca expermental trabalhamos com estmatvas (valor que caracterza a amostra, obtdo por meo de algum estmador). 3
4 O modelo matemátco Quando, em nosso expermento de planto de mlho, fzemos a medção das alturas dos pés de mlho essas observações podem ser representadas por um modelo matemátco: y m, com = 1,,..., n. e onde y é a altura da planta ; m é uma constante nerente a todas as n observações (geralmente é a méda geral); e é o erro ou desvo da observação em relação a méda geral. Exemplo: Sejam os seguntes exemplos sobre altura de pés de mlho em cm: Amostra 1: 03; 08; 198; 00; 0; 19; 197 Amostra : 03; 198; 199; 00; 01; 0; 197 A méda m ^ será: Amostra 1: 00 Amostra : 00 Logo, os desvo e são: Amostra 1: 3; 8; ; 0; ; 8; 3 Amostra : 3; ; 1; 0; 1; ; 3 4
5 Assm, podemos calcular a varação do acaso: s 5 cm 1, 67 s 4, cm 67 Como maor varabldade mplca em maor estmatva de varânca, concluímos que a varabldade é maor na amostra 1. O desvo padrão é a raz quadrada da varânca. Logo, em nossas amostras: s s 5,67cm 5, 07cm 1 1 s 4,67cm, 16cm A mportânca da estmatva da varânca na estatístca expermental é que ela entra na análse de varânca com o nome de Quadrado Médo (QM). Então, numa análse de varânca, o QM do resíduo (QMRes) é a varânca (s ) obtda para a varação de acaso. 5
6 A varânca da méda A varânca da méda serve para nos nformar sobre a precsão com que fo estmada a méda. É calculada pela expressão: Vˆ ( mˆ ) s n Vˆ ( m ˆ ) é a estmatva da varânca da estmatva da méda; s é a estmatva da varânca; n é o número de observações. Exemplo: Em nossas amostras, temos: 1 ˆ s 5,67 V1 ( mˆ ) 3, 67cm n 7 ˆ s 4,67 V ( mˆ ) 0, 67cm n 7 6
7 O erro padrão da méda É a raz quadrada da varânca da méda: s( mˆ ) s n Exemplo: Em nossas amostras, temos: 5,67 s1( mˆ ) 3,67cm 1, 91cm 7 Importante: s ( mˆ ) 0,67cm 0, 8cm É usual, na estatístca expermental apresentarem-se estmatvas de médas segudas de seus erro padrão. Então: na amostra 1, temos 00 1,91 cm, e na amostra, temos 00 0,8 cm 7
8 Delneamentos 8
9 Os Delneamentos Expermentas são as formas de dstrbução dos tratamentos na área expermental, com sso crtéros centífcos e estatístcos são defndos, com o objetvo de determnar a nfluênca de dversas varáves nos resultados de um dado sstema ou processo. Prncpas delneamentos: Delneamento Interamente Casualzado (DIC) Delneamento Casualzado em Blocos (DBC) Delneamento em Quadrado Latno (DQL) Os delneamentos podem ser: Balanceados: mesmo número de parcelas para cada tratamento. Não balanceados: número dferente de parcelas para cada tratamento. 9
10 Delneamento Interamente Casualzado Prof. a Dr. a Smone Danela Sartoro de Mederos DTASeR-Ar 10
11 Delneamento Interamente Casualzado (DIC) O DIC é o delneamento mas smples. Os outros delneamentos expermentas, por exemplo: blocos casualzados e quadrado latno, se orgnam do DIC pelo uso de restrção na casualzação. No DIC a dstrbução dos tratamentos às undades expermentas é feta nteramente ao acaso. O DIC utlza apenas os prncípos báscos da repetção e da casualzação. Como não faz restrções na casualzação, o uso do DIC pressupõe que as undades expermentas estão sob condções homogêneas (tanto a área como o materal expermental). Exemplo: Estas condções homogêneas geralmente são obtdas em locas com ambentes controlados tas como laboratóros, estufas e casas de vegetação. 11
12 Croqu (DIC) Croqu: É um desenho da área expermental com os tratamentos 1) 1 fator: 4 níves (T 1, T, T 3 e T 4 ) já dstrbuídos. ) Número de repetções: 5 3) Total de parcelas: 0 5) Área para a aplcação dos tratamentos: totalmente homogênea DIC 6) Numere as parcelas: Parcela 1 Parcela Parcela 3 Parcela 4 Parcela 5 Parcela 6 Parcela 7 Parcela 8 Parcela 9 Parcela 10 Parcela 11 Parcela 1 Parcela 13 Parcela 14 Parcela 15 Parcela 16 Parcela 17 Parcela 18 Parcela 19 Parcela 0 7) Realze o sorteo dos tratamentos: T4, T3, T1, T4, T1, T1, T, T4, T, T, T, T3, T1, T3, T4, T3, T4, T, T1, T3. 8) Croqu do expermento: y j T 4 T 3 T 1 T 4 T 1 T 1 T T 4 T T T T 3 T 1 T 3 T 4 T 3 T 4 T T 1 T 3 1
13 Quadro dos dados (DIC) Consdere um expermento nstalado no DIC com I tratamentos e J repetções. A coleta de dados da pesqusa pode ser resumda, num quadro do tpo a segur: n. o de undades expermentas: n I J Tratamentos Repetções 1... I 1 y 11 y 1... y 1 Total geral: G I J 1 j1 y j I 1 T y y 1 y... y Total para o tratamento : T J j1 y j y J y 1j y j... y j Totas T 1 T... T I Méda geral do expermento: mˆ G IJ Méda para o tratamento : mˆ T J 13
14 Modelo estatístco (DIC) Exste um modelo estatístco específco para cada tpo de delneamento. O modelo estatístco dentfca quas são as fontes de varação dos valores de uma varável resposta em estudo. Para os dados orundos de um expermento nstalado segundo o DIC, o segunte modelo estatístco deve ser utlzado nas análses estatístcas: em que, y j é o valor observado para a varável resposta obtdo para o -ésmo tratamento em sua j-ésma repetção; m méda de todos os valores possíves da varável resposta; t é o efeto do -ésmo tratamento t m e j é o erro expermental assocado ao valor observado y j e j m y j y j m m t e j O erro expermental ocorre em todos os expermentos, porque não é possível controlar o efeto de fontes de varações que ocorrem de forma aleatóra e desconhecda. Este erro é o responsável pela varação observada entre as observações obtdas nas repetções para cada tratamento. 14
15 Natureza do modelo estatístco Há três possíves modelos estatístcos, quanto à natureza dos efetos: a) Modelo de efetos Fxos: todos os efetos, exceto o erro expermental, são fxos. b) Modelo de efetos Aleatóros: todos os efetos são aleatóros, exceto a méda. c) Modelo de efetos Mstos: temos efetos aleatóros e efetos fxos. OBS: O erro é sempre aleatóro e a méda é fxa. Efeto fxo lda com conjuntos fxos de elementos (locas, anos, cultvares) que não consttuem amostras aleatóras das correspondentes populações. Um efeto será aleatóro se a entdade teste consttur uma amostra (n) aleatóra tomada de uma população (N). As conclusões são váldas tão somente para os conjuntos estudados e, portanto, não podem ser extrapoladas para populações As nferêncas obtdas com as amostras são váldas para a população e podem ser extrapoladas para ela. 15
16 As hpóteses a serem testadas - DIC As hpóteses para o teste F da análse de varânca ao nível α de sgnfcânca para tratamentos são as seguntes: H 0 : m 1 = m =... = m I = 0 (o que equvale a dzer que todos os possíves contrastes entre as médas dos tratamentos, são estatstcamente nulos). H a :! m u m k, u k, u, k = 1,,..., I (o que equvale a dzer que exste pelo menos um contraste entre as médas dos tratamentos, estatstcamente dferentes de zero). 16
17 Análse de Varânca (ANalyss Of Varance - ANOVA) 17
18 Análse de Varânca (ANOVA) A Análse de varânca consste em decompor a varação total das observações do expermento em partes que podem ser atrbuídas a causas controladas (conhecdas) e em partes a causas não controladas e/ou não controláves (desconhecdas), o erro ou resíduo. VAR. TOTAL = VAR. CONTROLADA + VAR (NÃO CONTROLADA + NÃO CONTROLÁVEIS) O erro ou resíduo pode ocorrer em função do materal que se está trabalhando ou em função do ambente em que o expermento é conduzdo. Outra fonte de erro pode ser a manera como o expermento é conduzdo pelo expermentador. 18
19 Análse de Varânca (ANOVA) No entanto, para que esta técnca seja empregada é necessáro que sejam satsfetas as seguntes pressuposções: 1) Os efetos do modelo estatístco devem ser adtvos; ) Os erros expermentas devem ser ndependentes; 3) Os erros expermentas devem ser normalmente dstrbuídos; 4) Os erros expermentas tem varâncas guas. 5) Não exsta outlers (dados dscrepantes). 19
20 Obtendo o quadro da ANOVA para a análse O quadro da ANOVA é um algortmo para a realzação de um teste de hpóteses sobre os efetos dos tratamentos constantes em um expermento. 0
21 Partndo do modelo estatístco, pode-se decompor a varação entre os valores observados nas dferentes causas de varabldade. Demonstração: Consdere o modelo estatístco para um expermento nstalado segundo o DIC, onde todos os tratamentos possuem o mesmo número de repetções J: y j m t e j t m m e j y j m y j m ( m m) ( yj m ) y j mˆ ( mˆ mˆ ) ( y j mˆ ) ˆ ) ( mˆ mˆ ) ( y mˆ ) ( yj m j I J 1 j1 ( y j mˆ ) I J ( mˆ mˆ ) ( yj mˆ ) 1 j1 I J 1 j1 ( y j mˆ ) I J 1 j1 ( mˆ mˆ ) I J 1 j1 ( y j mˆ ) I J 1 j1 duplos produtos SQTotal SQTrat SQRes 0 1
22 Logo, uma forma mas smplfcada a gualdade anteror temos: SQTotal = SQTrat + SQRes Por meo das fórmulas obtdas anterormente, pode-se obter os valores para as respectvas somas de quadrados (SQ). No entanto, essas fórmulas demandam mutos cálculos. Fórmulas de mas fácl aplcação podem ser obtdas, sendo estas: SQTotal I J I J ( yj mˆ ) 1 j1 1 j1 y j C, sendo C I J 1 j1 IJ y j G IJ SQTrat I J I ( mˆ mˆ ) 1 j1 1 T J C Se o número de repetções vara de acordo com o tratamento: SQTrat I 1 I J y j T 1 j1 r n em que, n é o n. o de undades expermentas: n 1 r é n. o de undades expermentas do tratamento. I r A SQRes é obtda por dferença: SQRes = SQTotal SQTrat
23 O quadro da ANOVA - DIC O quadro da ANOVA para a análse de um expermento nstalado segundo o DIC, com gual número de repetções para todos os tratamentos é do segunte tpo: Fonte de Varação (FV) graus de lberdade (gl) Soma de Quadrados (SQ) Quadrado Médo (QM) F calc F tab SQTrat QMTrat Tratamento I 1 SQTrat QMTrat F [(I 1); I(J 1)] I 1 QM Re s SQ Re s Resíduo I(J 1) SQRes QM Re s - - I( J 1) Total IJ 1 SQTotal
24 As hpóteses da ANOVA - DIC As hpóteses para o teste F da análse de varânca ao nível α de sgnfcânca para tratamentos são as seguntes: H 0 : m 1 = m =... = m I (o que equvale a dzer que todos os possíves contrastes entre as médas dos tratamentos, são estatstcamente nulos). H a :! m u m k, u k, u,k = 1,,..., I (o que equvale a dzer que exste pelo menos um contraste entre as médas dos tratamentos, estatstcamente dferentes de zero). A regra de decsão para o teste F será: Se o valor do F calc F tab, então rejeta-se H 0 e conclu-se que a méda dos tratamentos tem efeto dferencado ao nível de sgnfcânca em que fo realzado o teste; Se o valor de F calc < F tab, então aceta-se H 0 e conclu-se que as médas dos tratamentos têm efetos guas ao nível de sgnfcânca em que fo realzado o teste. 4
25 Exemplo: Para comparar a produtvdade de quatro varedades de mlho (kg/m ), um agrônomo tomou 0 parcelas smlares e dstrbuu, nteramente ao acaso, cada uma das 4 varedades (A, B, C, D) em 5 parcelas expermentas. A partr dos dados expermentas fornecdos abaxo, é possível conclur que exste dferença sgnfcatva entre as varedades com relação a produtvdade, utlzando o nível de sgnfcânca de 5%? Varedade Repetções A B C D Varável resposta (Y): produção de mlho (kg/m ) Fator: varedades de mlho Tratamento: A, B, C, D Repetção: J = 5 Delneamento: DIC Objetvo: Estudar se há dferença entre as 4 varedades de mlho segundo a sua produção Totas T 1 T T 3 T 4 G 5
26 Os dados: Varedade Repetções A B C D Tabulação: TRAT REPET PRODUCAO A 1 5 A 6 A 3 0 A 4 3 A 5 1 B 1 31 B 5 B 3 8 B 4 7 B 5 4 C 1 C 6 C 3 8 C 4 5 C 5 9 D 1 33 D 9 D 3 31 D 4 34 D 5 8 6
27 Vantagens do DIC Desvantagens do DIC Em relação aos outros: a) É bastante flexível, pos o número de tratamentos e de repetções depende apenas do número de parcelas dsponíves. b) A análse estatístca é smples, mesmo quando o número de repetções por nível de tratamento é varável. c) É o delneamento expermental que apresenta o maor valor para o número de graus de lberdade assocado ao resíduo. a) Exge homogenedade total das condções expermentas, tanto do materal como do ambente. OBS: Não é fácl consegur e manter total homogenedade das condções durante a toda a realzação do expermento; b) Todas as varações exceto a devda a tratamentos, são consderadas como sendo varações que ocorrem ao acaso. Isto pode acarretar em uma estmatva muto alta para o erro expermental. 7
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