Dinâmica do Movimento de Rotação

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1 Dnâmca do Movmento de Rotação - ntrodução Neste Capítulo vamos defnr uma nova grandeza físca, o torque, que descreve a ação gratóra ou o efeto de rotação de uma força. Verfcaremos que o torque efetvo que atua sobre um corpo rígdo determna sua aceleração angular, do mesmo modo que a força resultante sobre um corpo determna sua aceleração lnear. força massa aceleração torque nérca rotaconal aceleração angular Exstem dos camnhos que podem ser tomados para dervar as equações da dnâmcas rotaconal. ) A força que atua em cada partícula do corpo é consderada e os torques atuantes em cada partículas são somadas para se encontra o torque total no corpo; para se aplcar este método, precsamos saber como as forças externas são transmtdas desde seus pontos de aplcação até a localzação de cada partícula. ) Basea-se na conservação da energa, em partcular no teorema trabalhoenerga W K. Energa Cnétca de Rotação e nérca Rotaconal Fg. Um corpo rígdo gra em torno de um exo fxo. Cada partícula do corpo possu a mesma velocdade angular ω, mas a velocdade tangencal v vara com a dstânca r da partícula ao exo de rotação. Assm, m e m possuem a mesma velocdade angular ω, mas v > v porque r > r. Fg.

2 A energa cnétca total K do corpo grante é a soma das energa cnétcas de todas as partículas que compõem o corpo e pode ser escrta como K mr ω + m r ω + m r ω + ( mr ) ω 33 A grandeza entre parênteses na expressão acma chama-se nérca rotaconal do corpo em relação ao exo de rotação consderado e é representado pela símbolo : Undade no S: kg.m mr Assm, a energa cnétca total do corpo rígdo grante pode ser escrta na forma: K ω K mv análoga Rotaconal Cálculo do momento de nérca translaconal Exemplo : Quatro partícula de massa m estão lgadas por hastes, sem massa aprecável, e forma um retângulo de lados a e b (ver fgura ao lado). O sstema gra em torno do exo que está no plano da fgura e passa pelo seu centro. Ache o momento de nérca em relação a este exo. Solução: 4 mr mr + m r + m r + m r m 3 m 4 m m ma + ma + ma + ma 4ma OBS: A dstânca b não tem mportânca no cálculo do momento de nérca, pos não está relaconada à dstânca de qualquer partícula ao exo de rotação.

3 Cálculo do Momento de nérca (contnuação): Dstrbução dscreta de massa mr r dm ρr dv Dstrbução contínua de massa Se o corpo for homogêneo, a ntegral, envolvda na expressão do momento de nérca, reduz-se a um fator geométrco, gual para todos os corpos de mesma forma e tamanho. ρ r dv V Exemplo : Barra sólda unforme que gra em torno de um exo que passa por uma das suas extremdades. L M M L r dm x dx x dx 0 L L 0 M ML x ML L L 3 3 L Exemplo 3: Dsco unforme em torno do exo que passa pelo seu centro e é perpendcular ao seu plano. M M M dm da πrdr πrdr A A π R Portanto, 4 π M R 3 M R r dm r dr 0 π R R 4 MR

4 Exemplo 4: Um clndro de densdade unforme em torno do seu exo Um clndro pode ser formado por uma plha de dscos, cada um com massa m. Então, o momento de nérca fca dado por mr (para um dsco) De modo que, R m MR Exemplo 5: Esfera de densdade unforme em torno de um dâmetro Uma esfera pode ser formada por uma plha de dscos crculares perpendculares ao dâmetro consderado. O rao de um dsco elementar é: r R z M M M π π( ) V V V dm dv r dz R z dz O momento de nérca de cada dsco elementar M M ( ) π( ) π( ) V V d r dm R z R z dz R z dz O momento de nérca total é M R M R 4 4 d π ( R z ) dz ( R R z z ) dz V π + 0 V M 8 R 3 M 8 R π MR 3 V 5 4π R 5 5 é

5 Teorema dos Exos Paralelos O teorema dos exos paralelos afrma que: + Mh cm onde M é a massa total do corpo, e h a dstânca entre os exo. Podemos provar este teorema medante o resultado, K M v + ω cm cm A velocdade do CM em relação a qualquer ponto do exo de rotação é: vcm hω Podemos escrever a energa cnétca total do corpo rígdo como, ω Mh ω + cmω cm + Mh Exemplo 6: Achar o momento de nérca de uma barra de densdade unforme em relação ao exo y que passa pelo centro de massa (ver fgura). K ω Solução: Pelo teorema dos exos paralelos, temos + Mh Mh y cm cm y ML M( L) ML ML cm Calculado no exemplo. cm ML

6 nérca rotaconal de város sóldos em torno de exos seleconados

7 TORQUE SOBRE UMA PARTÍCULA Seja uma força F atuante em uma partícula, stuada no ponto P, cuja posção em relação a orgem O do referencal nercal é dada pelo vetor r. Com estes dos vetores defnmos um plano (no caso da fgura abaxo o plano xy) que contenha os vetores F e r. O torque atuante sobre a partícula em relação à orgem O é defnda por: τ r F O torque é uma grandeza vetoral, cujo módulo é dado por: τ rfsenθ onde θ é o ângulo entre os vetores r e F. Undade de Torque no S: O torque possu dmensões de força multplcada por dstânca, ou seja: [ M][ L] [ T] N m (OBS: Embora N m J, não expressamos o torque em joules) Fg. Regra da mão dreta

8 DNÂMCA ROTACONAL DE UM CORPO RÍGDO A segunda Le de Newton para a rotação A segunda Le de Newton toma uma forma pecular quando aplcada aos movmentos que envolvem rotação. Se fzermos a decomposção da força aplcada a uma partícula segundo as suas componentes perpendcular e paralela ao vetor posção dessa partícula, teremos: F F ma F ma ma Mas, quando consderamos o torque assocado a essa força, temos: τ rf mra mr( rα) ( mr ) α Logo, o torque fca na forma: τ α onde é o momento de nérca da partícula consderada. Trabalho, Potênca, e o Teorema do trabalho - Energa Cnétca Para calcular o trabalho nfntesmal dw executado por uma força F temos que dw F ds Fcosθds F ds F rdθ mas τ rf. Fcamos com d W τdθ ntegrando (*), temos: (*) W θ f τ d θ θ

9 τ α θ f θ f θ f dω W τdθ αdθ dθ θ θ θ f W ω ω d ω f W K ω ω ω Lembrando que: Potênca: dw τdθ dθ P τ P τω MOVMENTO COMBNADOS DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO Quando temos movmento de translação e rotação smultaneamente (ver fgura ao lado) a energa cnétca do corpo rígdo é escrta na forma: K M v + ω cm cm Momento Angular de uma Partícula Consdere uma partícula de massa m e momento lnear p mv na posção r de um referencal nercal. Defnmos o momento angular da partícula em relação à orgem O por: l r p τ dl Para um sstema de n partículas temos: L l l l l n n τ ext dl Momento angular e velocdade angular L ω

10 COMPARAÇÃO ENTRE AS EQUAÇÕES DA DNÂMCA LNEAR E ROTACONAL Deslocamento lnear Velocdade lnear Aceleração lnear Massa (nérca translaconal) Força Movmento Lnear x dx v dv a m Movmento em torno de um exo fxo Deslocamento angular Velocdade angular Aceleração angular nérca angular ω F ma Torque τ α θ α dθ dω Trabalho W Trabalho Fdx W τ d θ Energa Cnétca K mv Energa Cnétca K ω Potênca P Fv Potênca P τω Momento Lnear p mv Momento Lnear L ω