Cinemática rotacional e momento de inércia

Transcrição

1 Cinemática rotacional e momento de inércia 1

2 Cinemática rotacional Consideremos uma partícula girando no sentido anti-horário em torno de um eixo fixo perpendicular ao plano da página passando através do ponto O. Comprimento de arco percorrido será: s = rθ Essa equação nos permite escrever: θ = s/r

3 Nas expressões anteriores o ângulo θ deve ser expresso em radianos: Um radiano é o ângulo subtendido por um comprimento de arco igual ao raio. Um ângulo q em radianos é a razão entre o comprimento do arco s e do raio r. Portanto, um ângulo de 360 corresponde, em radiano, a πr/ r, ou seja, π rad. 1 rad = 360 / (π) =

4 Deslocamento angular Quando a partícula se moveu de A para B num intervalo de tempo t, sua posição angular variou de θ=θ f θ i, que é o seu deslocamento angular. Atenção: nem θ e nem θ estão restritos ao intervalo entre 0 e π rad. Por exemplo, se a partícula partiu de θ i = 0 e deu duas voltas completas, θ = 4π rad. O número de revoluções (voltas) que a partícula realiza em um certo intervalo de tempo pode ser encontrado dividindo θ nesse intervalo por π. 4

5 Velocidade angular Definimos a velocidade angular média como: Unidades: rad/s (ou s -1 ), ou ainda revoluções por unidade de tempo (revoluções por minuto, por exemplo). Naturalmente, a velocidade angular instantânea ω é calculada como: ω > 0 se θ estiver aumentando (sentido anti-horário). ω < 0 se θ estiver diminuindo (sentido horário). 5

6 Aceleração angular Podemos também definir uma aceleração angular média: cuja unidade é rad/s (ou s - ). Essa grandeza pode ser positiva, negativa (ou nula). Por analogia, a aceleração angular instantânea será : Se α e ω possuem o mesmo sinal, ω aumentará no tempo (em módulo). Se α e ω possuem sinais opostos, ω diminuirá no tempo (em módulo). 6

7 onde ds é a distância percorrida pela partícula ao longo do círculo no 7 intervalo infinitesimal dt. Velocidade tangencial Consideremos um corpo em rotação em torno de um eixo fixo. Sabemos que a velocidade v de qualquer ponto do corpo é sempre tangente a trajetória. No contexto de rotação, qualquer vetor tangente a trajetória será chamado tangencial. Assim, definimos a velocidade escalar tangencial, como

8 Da definição de comprimento de arco teremos: Portanto, a velocidade tangencial se relaciona a velocidade angular através de: 8

9 Aceleração tangencial Definimos a aceleração escalar tangencial, como Lembrando que a aceleração angular é vemos que 9

10 Movimento circular com aceleração constante Usando um raciocínio similar ao utilizado na aula de cinemática em 1D, é fácil demonstrar que as variáveis angulares obedecem relações análogas às equações lineares: 10

11 Comparação entre o movimento retilíneo e o movimento de rotação Movimento$re7líneo$ Deslocamento* linear* Δx Movimento$de$rotação$ Deslocamento* angular* Δθ Velocidade* escalar* Aceleração* * Equações*da* aceleração* constante* * * dx v = dt dv a = = dt v = v 0 + at d x dt x = x 0 + v 0 t + 1 at v = v 0 + aδx Velocidade*angular* Aceleração*angular* Equações*da* aceleração* angular*constante* * dθ ω = dt dω α = = dt ω = ω 0 +αt d dt θ θ =θ 0 +ω 0 t + 1 αt ω = ω 0 + αδθ 11

12 Exemplo 1 Uma roda gira com uma aceleração angular constante de 3,50 rad/s. Se a velocidade angular da roda é de rad/s em t = 0: (a) Qual é o ângulo percorrido pela roda entre t = 0 e t = s? (b) Qual é a velocidade angular da roda em t = s? (a)* t t f i i 1 1 rad/s s rad/s s rad 11, 0 rad / rad/ rev 5 rev 0, 00, 00 3,50, , 1, 7 (b)* t, 00 rad/s 3,50 rad /s, 00 s 9, 00 rad/ s f i 1

13 Energia Ciné:ca Rotacional Um objeto em rotação sobre o algum eixo com velocidade angular, ω, tem energia cinética rotacional mesmo que não tenha nenhuma energia cinética de translação. Cada partícula tem energia cinética de: k i = 1 m v i i Uma vez que a velocidade tangencial depende da distância, r, do eixo de rotação, nós podemos substituir: v i = ω r i 13

14 A energia cinética rotacional total de um objeto rígido é a soma de todas as energias das partículas 1 K R = K i = m i r i ω K R = 1 " $ # onde I é chamado de momento de inércia. i i Existe uma analogia entre energia cinética associada com movimentação linear (K=½mv ) e a energia cinética associada com a movimentação rotacional (K R =½Iω ). i % m i r i 'ω = 1 & Iω 14

15 Energia cinética rotacional não é um tipo novo de energia; a forma é diferente porque é aplicada a um objeto em rotação. A unidade de energia cinética de rotação é Joules (J). 15

16 Momento de inércia A definição de momento de inércia é I = i m r i i A dimensão do momento de inércia é ML e no Sistema Internacional de unidades é kg.m O momento de inércia não depende apenas da massa do corpo rígido, mas também de como a massa está distribuída ao redor do eixo de rotação. No movimento rotacional ele exerce o mesmo papel que a massa no movimento translacional. O momento de inércia é uma medida da resistência à variação na velocidade angular de um sistema. 16

17 Considere a molécula diatômica de oxigênio O, que está girando no plano xy ao redor do eixo z passando por seu centro, perpendicular ao seu comprimento. A massa de cada átomo de oxigênio é de,66 x 10-6 kg, e na temperatura ambiente, a separação média entre os dois átomos de oxigênio é de d = 1,1 x m. (a) Calcule o momento de inércia da molécula ao redor do eixo z. (b) Uma velocidade angular típica de uma molécula é 4,60 x 10 1 rad/s. Se a molécula de oxigênio está girando com essa velocidade angular ao redor do eixo z, qual é a sua energia cinética rotacional? (a)!!a!molécula!é!modelada!como!um!corpo!rígido,!considerando!as!duas!partículas!em!rotação. Como!a!distância!de!cada!partícula!ao!eixo!z!é!d /,$o$momento$de$inércia$do$redor$do$eixo$é: I = m i r = m! d $ i # " & % i! + m d $ # & " % = md ( )( 1, !m), !kg = =1, !kg m (b)!k R = 1 Iω = 1 ( 1, !kg m )( 4, !rad/s) =, !J 17

18 s 18

19 19

20 0

21 Momento de inércia de distribuições contínuas de massa Momento$de$inércia$de$distribuições$conCnuas$de$massa$$$ Momento$de$inércia$de$distribuições$conCnuas$de$massa$$$ Momento$de$inércia$de$distribuições$conCnuas$de$massa$$$ ION OFOFMOMENTS ATION OFINERTIA INERTIA CULATION OFMOMENTS MOMENTSOFOF INERTIA No caso de partículas pontuais: No(caso(de(parCculas(pontuais:(( No(caso(de(parCculas(pontuais:(( No(caso(de(parCculas(pontuais:(( oment of inertia of an extended rigid object by imagining the moment ofinertia ofan an extended extended rigid object by imagining moment of inertia of rigid object by imagining r I m r I m ed into many small volume elements, each hashas mass!m. many small volume each ofofwhich has mass!m.!m. I m r i i elements, to many small elements, each ofwhich which mass i i volume i i!m i I # nition andtake take the limit this sum as!m : i$ rii and i take # $ r!m thethe limit ofofthis sum as!m :0.: 0.InIn $ ni# limit of this sum as!m 0. In i r ii!m i i and i i No(caso(de(uma(distribuição( No caso de distribuição No(caso(de(uma(distribuição( m becomes an uma integral over the whole object: dm r No(caso(de(uma(distribuição( O mes an integral over the whole object: concnua(de(massa:( comes an integral over the whole object: O O contínua de massa: concnua(de(massa:( concnua(de(massa:(! I #I #limlim$ r$ r!m!m #! #r!dm r dm ri!mi # r dm $!m :0 i I # lim i i i i i!m i!m :0i :0 i i onde(dm(é(uma(massa(infinitesimal( dm r rrdmdm (10.17) (10.17) (10.17) easier to calculate moments of inertia in terms of the volume of onde dm é uma massa infinitesimal onde(dm(é(uma(massa(infinitesimal( onde(dm(é(uma(massa(infinitesimal(! her than their mass, and we inertia can easilyinmake thatofchange by usingof λ dl em 1dim or calculate moments of terms the volume to calculate moments of inertia in terms of the volume of # m/v, where " #is the density of the object and V is its volume. We!dm nhan their mass, and we can easily make thatthat change by by using = σ ds em dim! " their mass, and we can easily make change λ dl em 1dim λ dl em 1dim ssion in its differential form " # dm/dv because the volumes weusing # #density where " is"the of the object and V isv its volume. WeWe #is the V, where density of the object and is its volume. ρ dv em 3dim are very small. Solving for dm # " dv and substituting the result dm = "σ ds$em dim! λ dl em 1dim # dm = "σ ds em dim # $ ρ dv em 3dim! λ dl em 1dim # dm = "σ ds em dim # $ ρ dv em 3dim λ dl em1dim dm= σ ds em dim ρ dv em 3dim! λ dl em 1dim # dm = "σ ds em dim # $ ρ dv em 3dim dm = "σ dsform em dim its its differential " #" dm/dv because thethe volumes we we in differential form # dm/dv because volumes # ρ #dv em 3dim y small. dm # "#dv andand substituting thethe result ρ dvfor emfor 3dim very small. dm " dv substituting result1 $Solving $Solving

22 Momento de Inércia de um aro fino e uniforme Uma vez que este é um arco delgado, todos os elementos de massa estão a mesma distância a partir do centro y dm I = r dm = R dm O R x I = MR

23 Momento de Inércia de um bastão rígido e uniforme A área em destaque tem massa: dm = λ dx Então o Momento de Inércia é: I = r dm = x M L/ L/ L I = 1 1 ML dx 3

24 Momento de Inércia de um cilindro sólido e uniforme Dividimos o cilindro em camadas concêntricas, com raio r, largura dr e comprimento L. Para uma casca cilíndrica, temos Logo, 4

25 A densidade pode ser escrita como: Portanto, 5

26 Momento de inércia de alguns corpos homogêneos 6

27 EXEMPLO Logo, a casca esférica tem energia rotacional maior. 7

28 Teorema dos eixos paralelos Consideremos dois eixos paralelos separados por uma distância h. Um deles passa pelo centro de massa de um corpo de massa M. O outro eixo passa por um ponto O qualquer. Os momentos de inércia do corpo em relação a esses eixos se relacionam por meio de: I = I CM + Mh 8

29 EXEMPLO: Momento de Inércia de uma esfera maciça e homogênea em relação a um eixo tangente a sua superfície I = I CM + Md = 5 MR + MR = 7 5 MR EXEMPLO: barra homogênea de massa M e comprimento L. O momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano da barra e que passa pelo centro de massa é I = 1/1 M L. Calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa pela extremidade da barra. I = I CM + Mh = 1! 1 ML + M # L " $ & % = 1 3 ML 9