Rotações de corpos rígidos

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1 Rotações de corpos rígidos Alexandre Furlan Fundamentos de Mecânica - FIS065 Turmas E1 E2 E3 29 de outubro de 2018 Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

2 Objetivos 1 Rotação de corpos rígidos 2 Rotações com aceleração angular constante 3 Conexão ente variáveis angulares e variáveis lineares 4 Energia cinética na rotação 5 Momento de Inércia Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

3 Rotação de corpos rígidos Vamos da início ao estudo do movimento de roatção objetos conhecidos como corpos rígidos um corpo rígido é definido como um conjunto finito, de N partículas de massas m i e posições r i (i = 1,..., N), tal que a distância r ij entre duas partículas i e j, r ij = r j r i é constante no tempo. Nehum corpo é perfeitamente rígido. Bolas de sinuca se deformam na colisão. As deformações são tão pequenas que podem ser desprezadas. Um corpo rígido sob translação todos os pontos do corpo sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo. Estudar a translação de um CR se resume a estudar o movimento de qualquer partícula do CR - mas vamos escolher o CM Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

4 Todos os pontos do CR tem o mesmo deslocamento angular θ. Se conhecermos a posição angular em função do tempo θ(t), somos capazes de obter qualquer propriedade cinemática. Dados dois ângulos de referência θ 1eθ 2 tal que θ = θ 2 θ 1, convencionamos : θ > 0 (anti-horário) θ < 0 horário De forma análoga ao MR: ω = θ1 θ2 t 2 t 1 = θ t lim θ t 0 t = dθ dt todos os pontos do corpo rígido se movem com a mesma ω e sua unidade é rad/s ou rot/s. De forma análoga ao MR: ᾱ = ω1 ω2 t 2 t 1 = ω t lim ω t 0 t = dω dt sua unidade é rad/s 2 ou rot/s 2. Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

5 Rotações com aceleração angular constante As equações de movimento, mantém a mesma estrutura. v = v 0 + at ω = ω + αt y = y y 0 + v ot ± 1 2 at2 θ = θ θ 0 = ω ot ± 1 2 αt2 v 2 = v a x ω 2 = ω α θ Cuidado! O vetor velocidade angular não está na mesma direção do movimento dos corpos que compõem o corpo rígido. Um vetor, define um eixo de rotação! δs = δθ r δs é um vetor perperdicular ao plano formado pelos vetores δθ e s. v = ω r Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

6 Conexão ente variáveis angulares e variáveis lineares Vimos : Todas as partículas realizam o mesmo deslocamento angular, logo todas tem a mesma velocidade angular. Isso não é verdade para a velocidade linear :Quanto mais afastado do centro maior a velocidade linear Veja : s = θr (s = comprimento do arco) ds = r dθ ds mas = v e ds = v e portanto v = ωr dt dt dt dt Derivando novamente dv = r dω dv mas = a e dω = α e portanto a = αr dt dt dt dt Esta componente da aceleção é também chamada de aceleração tangencial a t = αr. A componente radial fica : a t = v 2 /r mas v = ωr logo a r = ω 2 r (você já sabia disso!) Ou seja a acelarção é um vetor com duas componentes : a = a rˆr + a t ˆθ r y a t a r P Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

7 Energia cinética na rotação E energia cinética é soma das contribuições individuais : mas v r = ωr logo: K = 1 2 m1v m1v mn v2 N = 1 2 K = 1 vi 2 = i=1 N m ivi 2 i=1 ( mi ωr 2) 1 ( ) i = miri 2 ω 2 2 Observe que ω é o mesmo para todas as partículas i mir2 i como a massa está distribuída em torno do eixo de rotação inércia rotacional ou momento de inércia I = N i=1 = mir2 i sua unidade é kgm 2 ou portanto K = 1 2 Iω2 K = 1 2 Mv2 CM M inércia translacional inércia rotacional/momento de inércia M, e como as partículas estão dispostas em torno do eixo de rotação. Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

8 Alguns exemplos : Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

9 Para uma distribuição contínua teremos : i mir2 i r 2 dm. Momento de inércia de uma esfera maciça di = 1 2 y2 dm = 1 2 y2 ρdv mas dv = πy 2 dz R I = 1 ρπ y 4 dz mas y = R 2 2 z 2 R I = 1 2 ρπ R R ( R 2 z 2) 2 dz = 8 15 ρπr5 Para terminar o problema precisamos saber quem é ρ. Isso é fácil! ρ = M/V mas o volume da esfera é conhecido V = 4 3 πr3 [ ] I = 8 M 15 4 πr 5 = 2 3 πr3 5 MR2 Você pode usar o mesmo procedimento para calcular I de outros sistemas. Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10

10 Próxima aula Teorema dos eixos paralelos Torque Trabalho, Potência e o teorema W K na forma rotacional Alexandre Furlan (Aula 18) Fundamentos de Mecânica 29 de outubro de / 10