Resumo e Lista de Exercícios. Física II Fuja do Nabo P
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- José Tomé Chaplin
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1 Resumo e Lista de Exercícios Física II Fuja do Nabo P1 018.
2 Resumo 1. Movimento Harmônico Simples (MHS) Vamos analisar inicialmente a situação em que há um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica k que realiza oscilações em torno de seu ponto de equilíbrio em x = 0, sem a ação de qualquer agente externo ou atrito. Para pequenas perturbações em torno da origem ( A x A), a força que age sobre o corpo é linear e dada pela Lei de Hooke ( kx) e tal força tem caráter restaurador, ou seja, faz o corpo voltar para a posição de equilíbrio. Na imagem, A representa a amplitude das oscilações do movimento, sendo que essa grandeza representa o maior deslocamento possível a partir da posição de equilíbrio. Em geral, o MHS ocorre quando pode-se chegar na equação diferencial descrita nos próximos itens. 1
3 . Cinemática do MHS a. Equação Diferencial do Movimento (ª Lei de Newton) Ainda usando o sistema massa-mola como exemplo, a equação diferencial do movimento pode ser obtida a partir da segunda lei de Newton: ma = kx mx = kx x + ω 1 x = 0 Sendo que ω 1 = A grandeza física ω 1 representa a frequência angular de oscilação, sendo: ω 1 = πf = π T Onde: T (s) = período de oscilação do movimento, ou seja, tempo para completar 1 oscilação. f(hz) = número de ciclos por unidade de tempo que o movimento executa. 1 Hz = 1 ciclo segundo
4 ω H = frequência angular, dada em rad/s. b. Equação Diferencial do Movimento (Conservação de Energia) Pode-se usar a conservação de energia para se chegar na mesma equação diferencial. A ideia vem do fato da variação da energia ao longo do tempo ser nula, por se tratar de um sistema conservativo (E = 0). Dessa forma, a energia mecânica (E) é dada pela cinética (T) somada com a potencial (U): E = T + U A energia Cinética é dada por T = 5NO = 5P O e a Potencial é a elástica U = 4PO. Derivando os dois lados da igualdade no tempo (lembre-se da regra da cadeia): mx de d R dt = + kx S dt mx x + kxx = 0 T 1 V mx x + ω 1 x = 0 Chegando na mesma equação diferencial esperada. c. Soluções Gerais da Equação Diferencial A solução geral da equação diferencial descrita acima é do tipo: x(t) = A cos(ω 1 t + φ) 3
5 Sendo A e φ determinados pelas condições iniciais do movimento harmônico simples. Outra solução pode ser do tipo: x(t) = a cos(ω 1 t) + b sin(ω 1 t) Sendo a e b constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento. d. Determinação das Constantes a partir das Condições Iniciais Das equações x(t) obtidas anteriormente, pode-se chegar nas seguintes relações: x(t) = A cos(ω H t + φ) v(t) = x (t) = ω H A sin(ω H t + φ) a(t) = x (t) = ω H A cos(ω H t + φ) São dados que a posição no instante zero x(t = 0) = x H e a velocidade no instante inicial é v(t = 0) = v H. Assim: φ = arctan T v H ω 1 x H V A = bx H + v H ω 1 4
6 De uma forma análoga, pode-se fazer o mesmo com a segunda solução da equação diferencial, obtendo: x(t) = x 1 cos(ω 1 t) + v 1 ω 1 sin(ω 1 t) Exercício de fixação 1 P1 016 Poli USP Um bloco de massa m está conectado a uma mola de constante elástica K em um plano inclinado que forma um ângulo α em relação à horizontal. No instante t = 0, o bloco é solto da posição x = 0, com velocidade inicial nula. Considerando que a mola está relaxada (nem comprimida, nem esticada) quando x = 0, determine: a. A equação do movimento do bloco ao longo do eixo x mostrado na figura. b. A posição x(t) em função do tempo. Qual a amplitude do movimento e os valores máximos (x 5fP ) e mínimo (x 5gh ) de x? c. A energia cinética em função do tempo. 5
7 3. Energia no MHS Nosso sistema conservativo terá tipos de energia: a energia cinética T e a energia potencial elástica da mola U. A energia mecânica E será a soma dessas duas energias e representará a energia total no sistema. T = mv = mx = ω H ima j sin (ω H t + φ) U = kx = ika j cos (ω H t + φ) E = U + T = ka A energia total no movimento harmônico simples é constante. Isso decorre do fato do sistema ser conservativo. Na imagem, E 5 representa a energia total do sistema, E k representa a energia potencial elástica e E l representa a energia cinética. 6
8 Por conservação de energia, a velocidade máxima ocorrerá quando x = 0, onde a energia potencial elástica é nula, e terá o valor (em módulo): mv 5fP = ka v 5fP = b k m A Como a aceleração x (t) = ω H x(t), temos que o módulo do máximo da aceleração será ω x 5fP (t). Assim a aceleração máxima será: x 5fP (t) = ω H A = m m A O sistema massa-mola é apenas um dos sistemas que executam um movimento harmônico simples. Exercício de fixação P1 016 Poli USP A figura mostra os gráficos da energia cinética K em função da posição x para três osciladores harmônicos do tipo bloco-mola que têm a mesma massa e que descrevem movimentos harmônicos simples. Pode-se dizer que: 7
9 A. A constante elástica do oscilador é maior que a do oscilador 3. B. O período de oscilação associado ao oscilador 1 é menor que aquele dos osciladores e 3. C. O oscilador 3 completa uma oscilação em um tempo menor que os outros dois. D. A constante elástica do oscilador 3 é maior que a dos osciladores 1 e, sendo a constante elástica do oscilador menor que a do oscilador 1. E. Os três osciladores têm a mesma frequência de oscilação. 4. Pêndulo de Torção O pêndulo de torção será formado por um corpo apoiado em um plano ou suspenso por um fio. Ao perturbarmos o corpo, diz-se que o fio reage como um torque restaurador proporcional ao ângulo de torção. Assim: τ = Kφ Onde K é o módulo de torção do fio que depende de seu comprimento, diâmetro e material. Aplicando a equação do movimento, tem-se: 8
10 I d φ dt = Kφ Usando o mesmo procedimento que o utilizado com o sistema massamola, a frequência angular do pêndulo de torção será: ω 1 = 3 t u e φ(t) = A cos(ω 1 t + φ) Exercício de fixação 3 P 014 Poli USP A roda de balanço de um relógio possui um período de 0,5 s, a roda é construída de forma que sua massa fica concentrada em um aro de raio 0,5 cm. Qual é a constante de torção da mola acoplada? Dado I fx1 = mr². A. 4πm² 10 } N/rad B. m 10 } N/rad C. 16π m 10 } N/rad D. m 10 N/rad E. 4πm 10 N/rad 5. Aproximações para Pequenas Oscilações Em alguns casos, alguns sistemas não apresentam força nem energia potencial para realizar um MHS. No entanto, pode-se usar determinadas aproximações para pequenas oscilações em torno de um ponto de 9
11 equilíbrio estável para chegar na equação diferencial característica. Alguma dessas aproximações são: a. Ângulos Pequenos Nesse caso, se o ângulo for tal que θ 1, pode-se usar as seguintes aproximações: sin θ tan θ θ e cos θ 1 O Sendo uma aproximação válida do limite trigonométrico fundamental e da expansão binomial usada para pequenas oscilações de pêndulos. b. Expansão Binomial É comum, para valores de x muito pequenos, desprezar termos de ordem maior do que 1 (exemplo: x², x³, etc). Nesse caso, pode-se usar a expansão binomial: (1 + x) h 1 + nx Para x 1. Exercício de fixação 4 P 014 Poli USP Adaptada Um corpo de massa m está sujeito a um potencial do tipo: U(x) = a x b x 10
12 a. Encontre a posição de equilíbrio. b. Escreva a equação do movimento exata. c. Determine a frequência angular para pequenas oscilações. 6. Pêndulos a. Pêndulo Simples No pêndulo simples, há uma massa m colocada em um fio de comprimento L. A equação diferencial que caracterizará o movimento harmônico simples será obtida através da decomposição das forças no eixo radial e tangencial. Na componente tangencial, a Segunda Lei de Newton é: mg sin θ = m a Como v = L θ,então a = L θ. Sendo assim: mg sin θ = ml θ 11
13 θ + g sin θ = 0 L Essa equação só apresenta um MHS se θ for muito pequeno, pois podemos usar a aproximação que sin θ θ. Logo: θ + g L θ = 0 Cuja solução será do tipo: θ(t) = A cos(ω 1 t + φ), com ω 1 = 3ˆ. b. Energia no Pêndulo Simples A energia no pêndulo simples, assim como no oscilador massa-mola, será dada pela soma da energia cinética com a energia potencial. Nesse caso, essas energias podem ser expressas em termos da função θ(t) da seguinte forma: T = mv = m ŠLθ = ml θ U = mgl (1 cos θ) Para θ pequeno, pode-se escrever que cos θ 1 O : U = mglθ 1
14 c. Pêndulo Físico Trata-se de um pêndulo real onde a massa do corpo não é mais concentrada em um único ponto, como no caso do pêndulo simples. Ela é distribuída ao longo de toda a extensão do pêndulo. Assim, a análise será baseada na utilização do momento de inércia I do corpo em relação ao eixo de rotação em O. O torque é dado por τ = r F e a decomposição da força peso, como na figura, nos fornece um torque resultante igual a: mgd sin θ Logo, tem-se: mgd sin θ = I d θ dt d θ dt + mgd sin θ = 0 I Novamente, utilizando a aproximação sin θ θ, obtém-se: 13
15 Por analogia, pode-se escrever que: d θ dt + Tmgd V θ = 0 I ω = b mgd I Lembre-se: d é a distância do centro de rotação ao centro de massa do pêndulo físico. Exercício de fixação 5 P1 016 Poli USP O pêndulo A mostrado na figura consiste em uma esfera muito pequena de massa M sustentada por uma corda de massa desprezível e comprimento L. O pêndulo B consiste em uma esfera muito pequena de massa e uma barra delgada de massa e comprimento L. Seja τ e τ os tempos que cada pêndulo demora para completar uma oscilação. Para deslocamentos pequenos em relação à posição de equilíbrio, pode-se dizer que: 14
16 A. Os dois pêndulos levam o mesmo tempo para completar uma oscilação, com τ = τ = π3 ˆ. B. O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A para completar uma oscilação, com τ /τ = 3 C. O pêndulo B demora menos tempo que o pêndulo A para completar uma oscilação, com τ /τ =. D. O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A para completar uma oscilação, com τ /τ = 3 } E. O pêndulo B demora mais tempo que o pêndulo A para completar uma oscilação, com τ /τ = 15
17 7. Associação de Molas Quando duas ou mais molas (K, K, K,, K h ) são associadas em série ou eu paralelo, sua constante elástica resultante (K x ) será dada por: Molas em série: 1 K x = 1 K + 1 K K h Molas em paralelo: K x = K + K + K + + K h Exemplo de associação de molas: A mola da esquerda representa associação série enquanto a da direita representa a associação de molas em paralelo: 16
18 8. Oscilações Acopladas As oscilações acopladas correspondem a dinâmicas de movimentos harmônicos simples em que o movimento de uma partícula influencia no movimento da outra. Por exemplo: Nesse caso simplificado, em que há apenas duas partículas unidas por uma mola, pode-se usar o conceito de massa reduzida (μ) para resolver o problema, bastando substituir a massa m do sistema massa-mola pela massa reduzida μ. O valor de μ será dado por: μ = m f m ž m f + m ž Assim, a frequência angular ω no MHS será: ω = b K μ 17
19 Exercício de fixação 6 P 014 Poli USP Adaptada Considere um sistema formado por duas partículas idênticas de massa m ligadas por uma mola de massa desprezível e constante elástica k. Supondo que as partículas se movem em apenas uma direção e a única força atuante no sistema advém da mola, determine a frequência angular ω 1 de oscilação. 18
20 Lista de Exercícios Extra 1. Comparação entre Movimentos Harmônicos Simples P1 016 Poli USP A figura mostra as curvas obtidas em três experimentos diferentes para o deslocamento horizontal em relação à posição de equilíbrio, x(t), de um mesmo sistema bloco-mola que oscila descrevendo um movimento harmônico simples. Pode-se dizer que: A. Em t = t, o módulo da aceleração do bloco no experimento é menor que no experimento 1 e maior que no experimento 3. B. Em t = t, a energia potencial elástica no experimento 1 é maior que a energia potencial elástica nos experimentos e 3, sendo a energia potencial elástica no experimento 3 menor que no experimento. C. Em t = t, o módulo da velocidade do bloco no experimento 1 é maior que nos experimentos e 3. D. A frequência angular do sistema nos três experimentos é diferente. E. Em t = t, a energia cinética do bloco no experimento é maior que no experimento 3. 19
21 . Cinemática P 014 Poli USP Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de período 4 s e amplitude de 5 cm. O módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória cuja elongação é 3 cm vale: A. 16π cm/s B. 8π cm/s C. 4π cm/s D. π cm/s E. 3π cm/s 3. Pêndulos Simples Associados a Molas P1 016 Poli USP Um pêndulo formado por uma esfera de massa m e raio desprezível está suspenso verticalmente a partir do ponto O através de uma haste rígida de massa desprezível e comprimento L. A haste está ligada a duas molas de constante elástica K, de massas desprezíveis, situadas a uma distância OA = d de O como mostrado na figura a. As molas estão relaxadas (isto é, nem esticadas nem comprimidas) quando o pêndulo está na posição vertical. Para iniciar o balanço do pêndulo, você o desloca com as mãos até que a haste forme um pequeno ângulo θ H (θ H 1 ) com a vertical, liberando-o a partir do repouso (figura b). Dica: como o ângulo θ H é pequeno, considere que as molas permanecem essencialmente na horizontal durante todo o movimento. 0
22 a. Utilize o sistema de coordenadas da figura e obtenha a equação que descreve o movimento do pêndulo. b. Para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio do pêndulo, determine a frequência angular de oscilação. c. Obtenha a função θ(t) para pequenas oscilações em relação à posição de equilíbrio. 4. Oscilações para Pequenos Ângulos P 014 Poli USP Corrigida Uma bolinha homogênea de massa m e raio r rola sem deslizar sobre uma calha cilíndrica de raio R >> r, na vizinhança do fundo, ou seja, na aproximação de ângulos pequenos (ver figura abaixo). Dado I = mr². 1
23 a. Faça um esquema das forças que agem sobre a bola e determine a força resultante. b. Escreva U(θ) e T(dθ/dt). c. Mostre que o sistema é um oscilador com frequência angular ω = 3 ˆ. d. Mostre que a função θ(t) = A cos(ωt + φ), onde A e φ são constantes, é solução da equação diferencial. e. Considerando que no instante t = 0 o ângulo é θ 1 e a velocidade é v 1, determine a solução particular para este oscilador em termos de ω, θ 1, v H, e t. f. Escreva as expressões para U(t) e T(t), sendo U a energia potencial e T a energia cinética. g. Mostre que E = T + U é independente do tempo.
24 5. Sistema que Realiza MHS Irodov, I. E. Problems in General Physics, Moscou: Mir Moscou, Exercício 4.8 Adaptado Uma barra uniforme de massa não desprezível é posicionada no centro de duas rodas que giram, conforme figura abaixo. Os eixos das rodas são separados por uma distância l e o coeficiente de atrito cinético entre a barra e as rodas é μ. Inicialmente, o centro de massa da barra se encontrava exatamente no meio entre as duas rodas, ficando em equilíbrio. Um cara chega do nada e dá um leve empurrão na barra, tirando ela do equilíbrio. a. Desenhe o diagrama de forças na barra. b. Demonstre que esse sistema realiza movimento harmônico simples. c. Calcule o período de oscilações desse movimento. 3
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