Dinâ micâ de Mâ quinâs e Vibrâçõ es II

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1 Dinâ micâ de Mâ quinâs e Vibrâçõ es II Aula 1 Revisão e princípios básicos: O objetivo desta aula é recapitular conceitos básicos utilizados em Dinâmica e Vibrações. MCU Movimento circular uniforme 1. O que é frequência? Número de ciclos que se repetem em uma unidade de tempo. Ex. Voltas por segundo, vezes por semana, remédio durante o dia O que é período? Quando observamos um fenômeno que se repete após certo tempo classificamos como período o tempo que leva para ocorrer um único ciclo deste fenômeno. Exemplo: Um seno. Em português claro, o período é o inverso de frequência!!! 3. Quais unidades de medição de frequência são comumente utilizadas na mecânica? Cite exemplos de aplicação e quais unidades fundamentais que compõe estas unidades. A mais importante é o Hertz(Hz). Mede quantas vezes por segundo um dado fenômeno se repete. Outra unidade muito utilizada é o rpm(rotações por minuto) que determina quantas voltas um dado elemento realiza sobre um eixo durante um minuto. 4. O que é radianos? Radianos é uma medida de ângulo, similar ao grau ( ). Determina-se o radiano dividindo-se o espaço movimentado sobre uma circunferência pelo raio da mesma. Curiosidade: Movimentando-se metade da distância possível sobre uma circunferência teremos andado sempre 3, radianos (ou pi radianos!!!). 5. Qual a diferença entre velocidade angular e velocidade escalar? A velocidade mede a variação do espaço por unidade de tempo. Na escalar, estamos medindo a variação da distância percorrida por um ponto material em um dado espaço de tempo (m/s no SI). Na velocidade angular, medimos a variação do ângulo de um ponto material que se encontra em movimento circular uniforme por unidade de tempo (rd/s). RELAÇÕES FUNDAMENTÁIS

2 Exercícios Aceleração centrípeta Em um movimento circular uniforme, tem-se uma aceleração que atua sobre a direção da velocidade linear, denominada por aceleração centrípeta. Note que esta aceleração não modifica o módulo da velocidade, apenas a direção. Esta aceleração é dada por:

3 Movimento Harmônico Simples Considere um ponto material descrevendo uma trajetória circular com velocidade angular constante. Projetando-se o ponto P sobre o diâmetro da circunferência, obtemos o ponto P. Observe o que acontece com o ponto P enquanto P descreve seu movimento circular. Determinando as equações do MHS (Posição, Velocidade e Aceleração) Para determinar uma equação da posição, considere a figura a seguir:

4 Na figura acima, o ponto M se move em movimento circular uniforme no sentido anti-horário, percorrendo uma circunferência de raio R, fazendo o ponto P variar de posição entre X e X. Observe ainda que a posição do ponto P varia de acordo com o ângulo ϴ. Utilizando as relações trigonométricas, temos que a distância x em função do ângulo ϴ é dada por: Considerando que o raio será numericamente igual à amplitude (A) do movimento (amplitude é o maior valor da distância x no movimento harmônico) e que partindo da equação da velocidade angular do MCU podemos determinar o valor do ângulo como abaixo: Temos que a posição do ponto projetado P será dada por: ( ) Partindo do pressuposto que o movimento pode se iniciar em qualquer posição do ponto M, podemos acrescer um ângulo (chamado de fase) ao ângulo ωt, finalmente deixando a equação da posição da seguinte maneira: ( ) ( ) Onde ϕ é o valor numérico do ângulo inicial (fase). A constante ω é conhecida como frequência angular ou pulsação do movimento harmônico simples. Equação da velocidade Lembrando que a velocidade angular no Movimento Circular Uniforme é definida por A velocidade no movimento harmônico será definida pela projeção da velocidade linear do ponto P sobre o eixo X X, conforme a ilustração a seguir. A projeção do vetor sobre X X define a velocidade do ponto P, dada por a seguir: ( ) ( ) Entretanto, observe que a equação acima é válida para se determinar o módulo, não o sentido do vetor. Para definir o sentido, imaginando a rotação do ponto M no sentido anti-

5 horário e como o vetor velocidade linear irá transladar e o sinal resultante da função seno no círculo trigonométrico (ilustrado abaixo) não é difícil de entender o porquê precisamos acrescer um sinal negativo na última equação acima. Desta forma, a velocidade do ponto P será definida por: ( ) ( ) ( ) Equação da aceleração A aceleração do ponto P será dada pela projeção da aceleração centrípeta que atua sobre o ponto M, conforme o desenho a seguir: Lembrando que a aceleração centrípeta é dada por

6 Teremos que a projeção da aceleração centrípeta sobre o segmento de reta X X será dado por Como sabemos que a distância x é dada por Rcosθ a aceleração pode ser simplificada para: De maneira análoga à equação da velocidade, precisamos acrescer um sinal negativo para acertarmos a direção do vetor aceleração, fazendo convergir a solução gráfica e numérica. Desta forma, a equação final da aceleração é: ( ) ( ) ( ) Exercícios Resolvidos 1. A Terra demora 1 ano para completar uma volta ao redor do Sol. Este é chamado um movimento periódico e 1 ano é o período do movimento. Qual é a frequência do movimento da Terra em torno do Sol? Considere 1 ano = 365 dias. Primeiramente devemos transformar a unidade de ano para a que se utiliza inversamente na frequência, ou seja, segundo. Sendo a frequência igual ao inverso do período, temos que:

7 2. Um pêndulo demora 0,5 segundo para restabelecer sua posição inicial após passar por todos os pontos de oscilação, qual sua frequência? Como o tempo dado equivale ao movimento completo do pêndulo, este é considerado o seu período de oscilação, ou seja: Como a frequência equivale ao inverso do período temos: Intensidade da força restauradora Na figura a seguir temos um corpo de massa M fixado a uma mola que por sua vez está fixada em uma parede estática. Ao deslocarmos a massa M do ponto de equilíbrio, o sistema passará a oscilar constantemente se desprezarmos as forças de atrito envolvidas no sistema. Fazendo uma análise do diagrama de corpo livre da massa quando ela está posicionada em uma das extremidades (pontos A ou A ) temos uma força exercida pela mola para que o sistema volte ao ponto de equilíbrio.

8 Considerando a equação fundamental da dinâmica (F=ma), admitindo que a massa do corpo é conhecida e que a aceleração a qual o corpo está sujeito em um MHS é definida por, têm-se que a força restauradora será dada por ( ) Como a massa e a velocidade angular são constantes, podemos agrupá-las dentro de uma constante k definida por : A constante acima é conhecida na dinâmica e é numericamente igual à rigidez da mola. A força restauradora será dada por: A equação acima também é conhecida como lei de Hooke. É possível determinar o período e a frequência do sistema ilustrado acima se baseando apenas nos valores da massa e da constante k, que serão dados por: e. Exercícios resolvidos 1. Um oscilador massa-mola tem amplitude do movimento de 2mm, pulsação de 2π, e não existe defasagem de fase. Quando t=10s, qual a elongação do movimento? Sendo a função horária da elongação: Substituindo os valores dados temos: Lembrando que a unidade resultante será mm, pois os valores não foram passados para o SI. Como cosseno de 20π é um valor máximo (+1), a elongação será máxima, ou seja, igual à amplitude.

9 2. Dada a função horária da elongação: Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI responda: a) Qual a amplitude do movimento? Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: A=3m b) Qual a pulsação do movimento? Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: c) Qual o período do movimento? Conhecendo a pulsação e sabendo que: Igualando os valores: d) Qual a fase inicial do movimento? Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos: e) Quando t=2s qual será a elongação do movimento? Aplicando o valor na equação temos:

10 3. Um oscilador harmônico tem sua elongação descrita pela seguinte equação: Sendo todas as unidades encontradas no SI. Qual a velocidade do movimento nos instantes t=1s, t=4s e t=6s? Lembrando que a equação utilizada para a velocidade no mhs é: Utilizando os valores encontrados na equação da elongação teremos: Substituindo os valores de tempo pedidos temos: Para t=1s: Para t=4s:

11 Para t=6s: 4. Qual a aceleração de um corpo que descreve MHS quando sua elongação é x=0 e quando x=a? Utilizando a equação: Sabendo que a pulsação tem um valor fixo, independente da elongação, é fácil perceber que: Em x=0, a aceleração será nula (a=0) e Em x=a, a aceleração será máxima (ou mínima, dependendo o sinal de A). Exercícios 1) Um corpo de 2kg realiza um MHS, preso a uma mola de constante eléstica k = 50N/m e sujeito a ação apenas da força elástica da mola. Ele oscila horizontalmente entre as posições - 20m e 20m. Calcule: a) a amplitude (resp: A = 20 m); b) o período e a frequência (resp: t =2π/5 S, F = 5/2π HZ); c) a pulsação em rad/s (resp: 5 rad/s); d) a energia total (resp: E = J); e) a velocidade máxima (resp: 100 m/s) 2) Para uma partícula que oscila em MHS entre as posições -A e A, pontos simétricos do eixo x em relação a origem 0, podemos afirmar corretamente que: a) a velocidade é máxima em -A e A; b) a aceleração é máxima na posição de equilíbrio 0; c) a aceleração é máxima nas extremidades: -A e A; (resposta) d) a velocidade é constante em todos os ponto entre: -A e A; 3) Um corpo de massa 2kg, realiza um MHS preso a uma mola segundo o gráfico da função horária y(t) = Acos(ωt + φ), como mostrado abaixo.

12 Para o MHS mencionado, determine: a) a pulsação dessa partícula (equivalente à a velocidade angular no MCU) (resp: ω = π/4 rad/s); b) a sua velocidade máxima (resp: 5π/2 m/s); c) a sua velocidade, em m/s, na posição x = 2m (resp: v = π 6 m/s); d) a frequência em Hz e o período em segundos (resp: T = 8s, f = 1/8 Hz); e) a fase inicial (resp: φ o = 0º); f) a amplitude (resp: A = 10 m). 4) A posição x de uma partícula que realiza um MHS, varia com o tempo segundo a função x(t) = 10cos(4Πt + Π/3) com as unidades no S.I. Determine: a) a sua posição em t =40s (resp: 5 m); b) a sua velocidade em t = 50s (resp: - 20π 3 m/s); c) a sua aceleração em t = 30s (resp: a = - 80π 2 m/s 2 ); d) a sua pulsação (resp: 4π rad/s); e) a amplitude (resp: A = 10 m); f) a velocidade e a aceleração máximas (resp: 40π m/s e 160π 2 m/s 2 ); g) a frequência e o período (resp; f = 2 Hz, T = 0,5 s) 5) Determine a posição de uma partícula que realiza um MHS presa a uma mola de constante elástica K, no instante que a energia cinética é o dobro da energia potencial, para o caso onde a amplitude é A. resp: x = A/ 3 6) Uma massa m presa a um fio ideal de 0,4m oscila realizando um MHS, no plano vertical, em um local onde a aceleração da gravidade é 10 m/s². O movimento assemelha-se a um pêndulo simples. A outra extremidade do fio está fixa no teto de uma sala. Determine: a) o período (resp: T = 2π/5 s); b) a frequência (resp: 5/2π Hz).

13 7) O gráfico abaixo representa o movimento harmônico simples de uma partícula que oscila presa a uma mola de constante elástica k, sendo esta força conservativa e admitindo que não há outra força atuando. Sobre a partícula são feitas as seguintes afirmações: I) a sua energia mecânica é 18 J; II) a energia total é 9 J; III) em x = - 2m a potencial é 7 J; IV) a energia cinética em x = 1 m é 8 J. Está(ão) correta(s): a) I b) I e II c) II e IV d) II e IV e) todas 8) A projeção do MCU em sentido horário de um móvel de 4 kg sobre uma reta vertical que contém o diâmetro de uma circunferência de raio 8m é um MHS como mostrado a seguir. Determine: a) a fase inicial (resp: π rad); b) a amplitude (A = 8 m); c) o período e frequência (resp: T = 20 s, f = 1/20 Hz); d) a frequência angular (resp: π/10 rad/s); e) a velocidade e aceleração máximas (resp: v máx = 4π/5 m/s, a máx = 2π/25 m/s 2 ); f) a aceleração centrípeta do movimento circular vinculado. (resp: 2π/25 m/s 2 )

14 9) Uma partícula de massa 3 kg realiza um movimento circular uniforme (MCU) com velocidade linear (ou tangencial) de módulo constante de 10 m/s, descrevendo uma circunferência de raio 2 m. A sombra desta partícula, projetada na reta horizontal X que contém o diâmetro da circunferência, realiza um movimento harmônico simples (MHS). Determine: a) a velocidade máxima da sombra da partícula (resp: 10 m/s); b) a aceleração máxima da sombra da partícula (resp: 50 m/s 2 ); c) a frequência e o período de oscilação da sombra da partícula (resp: f = 5/2π Hz, T = 2π/5 s); d) a frequência e o período do movimento da partícula (resp: f = 5/2π Hz, T = 2π/5 s); e) a amplitude do movimento da sombra (resp: A = 2m) 10) sobre movimento da partícula e da sua sombra na questão anterior, considere as afirmações abaixo: I- a partícula e a sombra sempre têm a mesma velocidade; II- a partícula e a sua sombra sempre têm a mesma aceleração centrípeta; III - somente no ponto médio da sua trajetória, a velocidade da sombra e da partícula são iguais; IV- a velocidade v da sombra é tal que ela pode ter 0 v 10 m/s Estão corretas: a) I e II b) III e IV c) nenhuma d) somente IV e) somente III