LISTA DE EXERCÍCIOS - MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) (versão 2014/2)

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS - MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) (versão 2014/2) A CINEMÁTICA NO MHS (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 1E) Um objeto sujeito a um movimento harmônico simples leva 0,25 s para ir de um ponto de velocidade zero até o próximo ponto onde isto ocorre. A distância entre estes pontos é de 36 cm. Calcule: (a) o período (b) a frequência e (c) a amplitude do movimento 1.2. (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 14E) O diafragma de um alto-falante está vibrando num movimento harmônico simples com a frequência de 440 Hz e um deslocamento máximo é 0,75 mm. Quais são: (a) a frequência angular (b) a velocidade máxima (c) a aceleração máxima deste diafragma Uma partícula se movimenta com movimento harmônico simples segundo uma linha reta (eixo x). Do movimento da partícula, são conhecidas a velocidade máxima (v = 0,4 m/s), e a aceleração máxima (a = 0,6 m/s 2 ). Determine: (a) A freqüência angular do movimento (b) O período de oscilação (c) A amplitude da equação do deslocamento que descreve a partícula (d) A equação de movimento geral, se no tempo de 0 s a partícula esta em 8/30 m (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 16E) Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação: Em t = 2,0 s, quais são: (a) O deslocamento (b) A velocidade (c) A aceleração (d) A fase do movimento (e) Também quais são a freqüência e período do movimento O corpo da figura esta oscilando em MHS, cuja equação de movimento esta representado por: (a) Encontre a máxima rapidez e o tempo necessário para alcançar essa velocidade. (b) Encontre a máxima aceleração e o tempo necessário para alcançar essa aceleração (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 17E) Uma partícula executa um MHS linear com freqüência de 0,25 Hz em torno do ponto x =0. Em t = 0, ela tem um deslocamento de x = 0,37 cm e velocidade zero. Para o movimento, determine: (a) o período (b) a freqüência angular (c) a amplitude (d) o deslocamento no tempo t (e) a velocidade no tempo t (f) a velocidade máxima (g) a aceleração máxima (h) o deslocamento em t = 3,0 s (i) a velocidade em t = 3,0 s (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.3) Uma partícula move-se de acordo com a equação. Escreva as equações para a velocidade e aceleração da partícula

2 (a) a partícula move-se com MHS? (b) Qual é a diferencia de fase em relação a (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 31P) Duas partículas executam um MHS com as mesmas amplitudes e freqüências ao longo da mesma linha reta comum de comprimento A. cada partícula tem um período de 1,5s, mas diferem em fase de / rad. (a) Qual a distancia entre elas (em termos de A), 0,50 s após a partícula mais atrasada deixar uma das extremidades do percurso? (b) Elas estão se movendo no mesmo sentido, em direção uma da outra ou estão se afastando? (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 32P) Duas partículas realizam MHS com a mesma amplitude e freqüência sobre a mesma reta, ambas ao redor de um ponto fixo o, se cruzam uma com a outra quando estão movendo-se em sentido oposto cada vez que sua elongação é a metade de sua amplitude. Determine a diferencia de fase entre elas (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.3) Um oscilador harmônico simples é descrito pela equação 4 1 5, onde as grandezas e são expressas em unidades do SI. Encontre: (a) Amplitude, período, freqüência e fase inicial do movimento (b) A velocidade e aceleração (c) As condições iniciais (d) Posição, velocidade e aceleração em t = 5 s. (e) Faça um gráfico da posição, velocidade, aceleração em função do tempo Uma partícula esta localizado no extremo de um vibrador que passa por sua posição de equilíbrio com uma velocidade de 2 m/s. A amplitude é de 10-3 m. Calcule: (a) a freqüência e período de oscilação da partícula (b) escreva a equação que descreva, em função do tempo, o deslocamento da partícula (DEFIJI/2010) Determine a fase inicial e amplitude através dos parâmetros da equação que caracteriza um movimento harmônico simples com as condições iniciais (SERWAY, 1ª EDIÇÃO, CAP. 12, PRO 10) A posição e velocidade inicial de um corpo realizando MHS são respectivamente. A freqüência angular é. (a) Mostre que, a posição e velocidade podem ser escritas como: (b) Se a amplitude de movimento é A, mostre que: determine as os constantes das soluções MHS para todos os casos de condições iniciais: (a) (b) (c) A DINÂMICA E ENERGIA NO MHS Dinâmica no MHS (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.12) Uma partícula de 4 kg move-se ao longo do eixo X sob a ação de uma força restauradora:, onde e Quando t = 2 s, a partícula passa pela origem, e quando t = 4 s, a sua velocidade é 4 m/s, a sua velocidade é de 4 m/s. (a) Escreva a equação da elongação (b) Mostre que a amplitude do movimento é de / metros

3 2.3.- (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.13) Quando uma pessoa de 60 kg de massa entra num carro, o centro de gravidade desce 0,3 cm. (a) Determine a constante elástica dos amortecedores do carro (b) Dado que a massa do carro é de 500 kg, qual é a freqüência de oscilação quando esta a pessoa está dentro do carro e quando esta fora dele Uma partícula em repouso de massa m esta pendurado no extremo de uma mola (constante recuperadora K ) que se encontra suspenso em um ponto fixo. No instante t=0 se aplica na massa uma força F constante apontando para abaixo. Determine o deslocamento x da massa respeito à posição de equilíbrio x o. Considere a magnitude da força produzindo somente deformação elástica na mola Um homem cuja massa é de 75 kg. fica em pé sobre uma plataforma (sem peso) que sobe e desce com um movimento harmônico simples de amplitude A=0,5 m e período T =2 s. (a) Determine uma equação que informe a força F(t) da plataforma sobre o homem, supondo que em t=0 a plataforma se encontra em sua elevação máxima. Aplicação numérica. Determine F em t =0.5 s. (b) Determine o menor valor do período do movimento para que o homem no caia da plataforma. Explique. MHS de um Sistema Massa mola (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 3E) Um bloco de 4,00 kg está suspenso de uma certa mola, estendendo-se a 16,0 cm além de sua posição de repouso. (a) Qual é a constante da mola? (b) O bloco é removido e um corpo com 0,500 kg é suspenso da mesma mola. Se esta for então puxada e solta, qual o período da oscilação (SERWAY, 1ª EDIÇÃO, CAP. 12, PRO 53) Um bloco de massa m é conectado com duas molas cujas constantes de força são k1 e k2 como mostram as figuras abaixo. Em cada caso, o bloco se move sobre uma mesa sem atrito depois de ser deslocado de sua posição de equilíbrio e liberado. Determine o período de oscilação T, nos dois casos (DEFIJI/2010) Uma bala de massa m voando com velocidade horizontal v atinge no corpo de massa M unido à parede através de uma mola de constante K. Após a colisão, incrusta-se a bala dentro do corpo. Tomando como referencia o instante do impacto da bala, determine: (a) a velocidade do corpo e (b) a coordenada x em relação ao tempo, após a colisão A figura mostra una vara de peso desprezível submetida em seus extremos pela força de duas molas de constantes elásticas diferentes (K 1 K 2 ) e pela força do peso de um objeto de massa m aplicado a través de uma corda a uma distancia 1/3L de um de seus extremos. (a) Determine a constante elástica equivalente do sistema. (b) Calcule a freqüência natural de oscilação. MHS de um Pêndulo simples e Físico Temos pêndulo que consiste de um bloco pequeno de 1 kg. unido a um ponto fixo o a través de uma vara de 1m de comprimento, mas de massa desprezível. O bloco pequeno está ligado também a uma mola horizontal que no exerce força quando o pêndulo esta em posição vertical. O período para pequenas oscilações é T=1s. Determine a constante da mola

4 Uma bola esférica e solida de massa M = 0.15 kg y radio R = m esta pendurado de um galho de uma arvore através de um fio. Se a bola se desloca uma distancia curta y logo depois é solto, a bola oscila como um pêndulo físico. Calcule o seu período. O momento de inércia da esfera respeito ao eixo de rotação é 7MR²/5) (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 68E) Uma haste de um metro balançando de uma das extremidades oscila com uma freqüência. Qual seria a freqüência, em termos de se a metade inferior da haste fosse cortada? Uma haste com comprimento L oscila como um pêndulo físico, com eixo no ponto O na figura. (a) Deduza uma expressão para o período do pendulo em termos de L e x, a distância do ponto de suspensão ao centro de massa do pêndulo (b) Para qual valor de x/l o período é mínimo? (c) Mostre que, se L = 1,00 m e g = 9,80 m/s2, este mínimo é 1,53 s (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 74) A figura mostra um disco uniforme de raio R = 0,8 m e 6 kg de massa com um pequeno furo a uma distancia d do centro do disco, que pode servir como um ponto de fixação do mesmo. (a) qual seria a distância d para que o período desse pêndulo fosse 2,5 s (b) Qual deveria ser a distância d para que o pêndulo físico tivesse o menor período possível? (c) qual é esse período? (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 75) Um corpo plano tem um momento de inércia I em relação a seu centro de massa. Quando pivotado no ponto P 1, como mostra a figura, o mesmo oscila com um período T. Existe um segundo ponto P 2, no lado oposto ao centro de massa, pelo qual o objeto pode ser pivotado e ter um período de oscilação também igual a T. Mostre que: MHS de Sistemas Físicos diversos Temos um sistema mecânico de massa m e momento de inércia I, cujo centro de massa é G, e pode oscilar ao redor do eixo o, tal como se mostra figura. As duas molas são de massa desprezível e do mesmo comprimento natural. Na posição horizontal da barra de comprimento 2b se aplica a força das molas de δk Newton em cada um de seus extremos, donde δ é a deformação e K é a constante elástica de cada mola. Se nós fazemos a linha OG faça um pequeno θ com a linha vertical. Determine: (a) A freqüência natural de oscilação. (b) O ângulo θ geral que mostre o movimento. Energia no MHS - 4 -

5 Um oscilador harmônico esta constituído de uma massa de 100 gramas sujeita a uma mola de constante elástica 10 4 dinas/cm. Desloca-se a massa a distância de 3 cm, e solta-se desde o repouso. Calcule: (a) a freqüência própria do sistema " " e o período T (b) a energia total, e (c) a velocidade máxima O oscilador do problema anterior inicia seu movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade de 1 cm/s. Calcule o deslocamento máximo e a energia potencial máxima (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 37) Um corpo de 1,5 kg oscila com movimento harmônico simples preso a uma mola de constante k = 500 N/m. Sua velocidade máxima é de 70 cm/s (a) qual a energia mecânica total? (b) qual é a amplitude de oscilação? (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 40) Um corpo de 3 kg preso a uma mola oscila com uma amplitude de 8 cm. A sua aceleração máxima é de 3,50 m/s2. Determine a energia total do sistema (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 59) Um corpo de 1,2 kg pendurado em uma mola de rigidez 300 N/m oscila com uma velocidade máxima de 30 cm/s. (a) qual é o deslocamento máximo? (b) qual é a energia total do sistema? (c) qual é a energia potencial gravitacional? (d) qual é a energia potencial na mola? 2.21 (DEFIJI 2010) Uma partícula realiza MHS com uma amplitude de 9 cm. Em que posição sua energia cinética se iguala de sua energia potencial? Outros problemas A força entre dois átomos (de massa m cada uma) tem uma função radial, cuja energia potencial E(r) que corresponde a essa força é definida pela equação: A e B são constantes positivas, e r é a distancia entre os átomos. (a) Determine no equilíbrio. (b) Seja, um pequeno deslocamento a partir do equilíbrio onde. Demonstre, para tais deslocamentos pequenos o movimento é aproximadamente harmônico simples. (c) Determine o período de oscilação para o caso anterior Desloca-se uma partícula m no plano x-y, que está submetida a uma força recuperadora proporcional com a distancia r r = (x,y) da partícula ao origem, onde se situa o centro de atração. A força está dirigida sempre à origem. (a) Demonstre que tem a forma onde, e k representa a constante de proporcionalidade da força. (b) Faça um gráfico da trajetória da partícula se: (b.1) α-β = 90º y A=B; (b.2) α-β = 270º y A=B Calcule os valores médios espaciais da energia potencial y cinética de um oscilador harmônico simples. Compare suas respostas y faça um comentário ao respeito. REFERÊNCIAS [1] em construção - 5 -