Mecânica e Ondas. Docentes da disciplina: João Seixas e Mario J. Pinheiro MeMEC Departmento de Física e Instituto de Plasma e Fusão Nuclear,

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1 Mecânica e Ondas Série 5 Docentes da disciplina: João Seixas e Mario J. Pinheiro MeMEC Departmento de Física e Instituto de Plasma e Fusão Nuclear, Instituto Superior Técnico, Av. & Lisboa, Portugal Phone: (Dated: April 26, 2009) Rovisco Pais, I. MOMENTO ANGULAR E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO 1. Calcule o momento angular dos seguintes sistemas: a) Corpo de massa m livre da ação de forças exteriores, movendo-se, portanto, com velocidade constante, v (movimento uniforme).[sol: L = m v o i ] b) Corpo de massa m que descreve uma circunferência de raio R com módulo de velocidade constante v (movimento circular uniforme). [Sol: L = mr o v o k ] 2. Uma esfera de massa m move-se sem atrito numa mesa horizontal, estando ligada a um ponto O da mesa por um fio que a obriga a descrever uma circunferência centrada em O. Inicialmente o comprimento do fio é l o e a velocidade da esfera é v. Se o comprimento do fio for reduzido para metade (l = l o /2): a) Determine a nova velocidade, v ; [Sol: v 2 = 2v 1 ] b) Determine a nova velocidade angular; [Sol: v 2 = 2v 1 ] c) Suponha que o fio era cortado. Preveja o movimento da esfera e calcule o seu momento angular. [Sol: Quando o fio é cortado deixa de actuar a força central e cai-se na situação da partícula livre que se irá deslocar com uma velocidade constante igual à velocidade que a partícula tinha no instante em que o fio foi cortado.] 3. Colocou-se, como se indica na Fig. 1, uma massa de 0.5 kg presa por um fio com 90 cm de comprimento. Fez-se girar no plano vertical com velocidade angular constante. Sabe-se que o fio rompe quando se suspende uma massa FIG. 1: Fio com massa m em movimento circular. Electronic address: mpinheiro@ist.utl.pt versão 1.0

2 2 FIG. 2: Haste homogénea apoiada contra parede vertical. FIG. 3: halter em colisão. (em repouso) igual ou superior a 20 kg. a) Qual a velocidade angular mínima que deve ser aplicada ao fio para ele romper? [Sol. ω o = 20.6 rad/s] b) Qual a velocidade angular mínima que assegura um movimento circular? [Sol. ω m = 3.3 rad/s] c) Calcule o momento da força da gravidade relativamente à origem O e calcule o momento adicional que tem de ser aplicado ao sistema para manter uma velocidade angular constante. [Sol. N = mgr sin θ i ] 4. Uma haste homogénea de 40 kg de massa apoia-se contra uma parede vertical e contra um canto de outra parede (Fig.??). Desprezando o atrito, determine as reações em A e em B e a posição de equilíbrio da barra (β). [Sol. R A = R A k, R B = R B sin α i + R B cos α j, P = mg j ] 5. Considere o sistema representado na Fig. 3. A massa da esquerda, m/2, vem colidir, com velocidade v = 5 m/s no halter parado, formado pelas massas m/2 e m, rigidamente ligadas à distância a = 0.5 m. O choque faz com que as bolas de massas m/2 se juntem e com que o halter se comece a mover. (m = 0.8 kg). a) Calcule o movimento do centro de massa do conjunto; [Sol: v c = 1.25 i ] b) Calcule, no referencial do centro de massa, o movimento de rotação do halter depois do choque. Justifique os cálculos; [Sol L antes = L depois, ω = 5 rad/s] c) Calcule a energia dissipada no choque. [Sol. K = K depois K antes = 2.5 J] 6. Considere as seguintes configurações do sistema (despreze a massa da barra): a) Dado o sistema representado na Fig.??-(a) a rodar em torno de um eixo perpendicular à barra que as une, verifique que L = I ω, em que I = 2mr 2 ; b) Se o sistema se apresentar a rodar como indica a Fig. 4-(b), mostre que o momento angular não é paralelo a ω e ainda que a sua projeção sobre ω é dada por L ω = I ω. [Sol. L = I ω 2mr 2 sin φ cos φ( θ u r )]

3 3 FIG. 4: Configurações de um sistema. FIG. 5: Corpo girando sobre uma superfície cónica. 7. Um corpo D com 6 kg de massa gira sem atrito sobre uma superfície cónica ABC em torno do eixo EF com velocidade angular 10 rpm, conforme mostra a Fig. 5. O fio DF mede 4.5 m de comprimento e o ângulo α vale 30 o. Calcule a) O valor da velocidade linear do corpo; [Sol. v = 2.36 m/s] b) A reação normal da superfície sobre o corpo e a tensão no fio; [Sol. N = 17 N] c) A velocidade angular necessária para que a reação normal da superfície sobre o corpo seja nula. [Sol. ω = 1.59 rad/s] 8. Uma partícula de massa m, presa por uma corda de comprimento l a um ponto fixo O, gira descrevendo um movimento circular de velocidade angular ω. (A este sistema dá-se o nome de pêndulo cónico). Determine: a) A tensão a que o corda se encontra sujeita; [Sol. T = mω 2 l] b) O ângulo que a corda faz com a vertical; [Sol. cos φ = g/ω 2 l] c) O momento angular axial da partícula em relação ao eixo vertical passando por O. [Sol. L sin φ = l 2 m sin 2 φω] 9. Um meteoro aproxima-se do Sol. A grande distância a sua velocidade é de 500 m/s estando apontada a b = 1012 m do centro do Sol (parâmetro de impacto), como está na Fig. 6. a) Determine a distância mínima a que o meteoro passa do centro do Sol e a sua velocidade nesse ponto; [Sol: v o b = vd, v = m/s] b) Qual o valor mínimo de b para que o meteoro não colida com o Sol? [Sol: b = m]

4 4 FIG. 6: Meteoro. 10. Considere um disco homogéneo de raio 2 m e de massa kg que roda em torno do seu eixo perpendicular ao disco com 2500 rot/min. A certa altura aplica-se na borda exterior um travão que exerce sobre o disco uma força de 105 N. Calcule: a) O momento de inércia do disco; [Sol: I = kg.m 2 ] b) O seu momento angular inicial; [Sol: L = kg.m 2 /s] c) O sua energia cinética inicial; [Sol: E c = J] d) Sabendo que a força de atrito sólido-sólido resultante da aplicação do travão é dada por F at = 0.3 F aplic, calcule o tempo que a roda leva a parar; [Sol: t = s] e) Qual a energia dissipada na travagem? [Sol: E dis = J] 11. Um disco maciço e homogéneo de raio igual a 15 cm e massa 10 kg, encontra-se fixa pelo seu eixo de simetria e pode rodar livremente em torno dele. Na sua borda exterior encontra-se enrolado um fio e nele pendurada uma massa de 1.0 kg. Inicialmente o sistema encontra-se em repouso. Num dado instante a massa é solta e fica sujeita à ação da gravidade, descendo 2 m. Calcule: a) O momento de iné ercia do disco; [Sol: I = 0.11 kg.m 2 ] b) A velocidade angular do disco no instante final; [Sol: ω = 17.1 rad/s] c) A velocidade final da massa; [Sol: v = 2.6 m/s] d) O momento angular final; [L = 1.93 kg.m 2 /s] e) A energia cinética final. [Sol: E c = 19.7 J] 12. Uma esfera maciça de raio 5 cm e de massa específica 7.5 g/cm 3 rola, sem deslizar, sobre uma superfície horizontal com 3 m/s. Num certo instante encontra um plano inclinado, começando a subir. Admitindo que a esfera rola sem deslizar. Calcule: a) O momento de inércia da esfera; [Sol: I = kg.m 2 ] b) A velocidade angular da esfera; [Sol: ω = 60 rad/s] c) O seu momento angular inicial; [Sol: L = kg.m 2 /s] d) O sua energia cinética inicial; [Sol: E i c = 24.7 J] e) A altura máxima atingida pela esfera. [Sol: h max = 0.64 m] 13. Uma corda encontra-se enrolada em torno de um cilindro de massa M e raio R (Vd. Fig.??). A corda é puxada pela massa m. Quais são as acelerações das duas massas? [Sol:] mg T = ma RT = Iα = 1 2 MR2 α a = Rα (1) Destas eqs. obtem-se T = 1 2 Ma e a = g 1+ M 2m e α = a/r. Se M = 0, decorre que T = 0 e a = g. 14. Uma haste uniforme de comprimento L e massa M roda em torno de uma das suas extremidades, como mostra a Fig. 8. [Sol:]

5 5 FIG. 7: Problema 13. FIG. 8: Haste em rotação. Use a conservação da energia. Assuma que a energia potencial U é nula quando a haste está pendurada. Temos E i = E f U Iω2 1 = U Iω MgL + 0 = 0 + ( ML2) ω 2 ω = 3g L (2) donde se tira ω = 5.42 rad/s pata L = 1 m. A velocidade linear do CM é v c = rω = L 2 ω = 1 2 ω = 1 3gL (3) 2 e a da extremidade é v e = rω = Lω = 3gL. (4)