CONSERVAÇÃO DA POSIÇÃO DO CENTRO DE MASSA

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1 CONSERVAÇÃO DA POSIÇÃO DO CENTRO DE MASSA Problemas deste tipo têm aparecido nas provas do ITA nos últimos dez anos. E por ser um assunto simples e rápido de ser abrodado, não vale apena para o aluno deiar de ver eplicitamente este tópico da matéria. Então para ajudar vocês, a equipe SEI reuniu os problemas dos últimos dez anos de provas do ITA e resolveu alguns para você. No final do artigo têm um eercício proposto pela equipe SEI. Resumo Teórico Considere um sistema com três partículas em um sistema de referência inercial cartesiano O XY. Por definição as coordenadas do centro de massa desse sistema de partículas são dadas por: y m + m + m my + my + my Em uma notação mais compacta podemos escrever:

2 m r + m r + m r r (Eq ) r, r, r onde é o vetor posição do centro de massa e são os vetores posição das partículas, e, respectivamente. Derivando a epressão acima em relação ao tempo, encontramos: m v + m v + m v v (Eq ) v v onde é velocidade do centro de massa e são as velocidades das partículas, e, respectivamente. Derivando a epressão acima novamente em relação ao tempo, encontramos: m a + m a + m a a r,v, v (Eq ) a onde é a aceleração do centro de massa e, respectivamente. Só que: F, F, F m a m a m a a,a, a F F F são as acelerações das partículas, e onde são as forças resultantes que atuam nas partículas,, e, respectivamente. Desta maneira a Eq se torna: F + F + F ( ).a F M. a R ou seja, a força resultante em um sistema de partículas é a massa total multiplicado pela aceleração do centro de massa. Isto equivale a dizer que para calcularmos a aceleração do centro de massa podemos concentrar toda a massa nele. Se a força resultante for nula implica que a aceleração do centro de massa é zero. Então o centro de massa tem velocidade constante ou está em repouso. Neste último caso a posição do centro de massa não varia.

3 Eercícios. (ITA 005) Dois corpos esféricos de massa M e 5M e raios R e R, respectivamente, são liberados no espaço livre. 5M M R R R Considerando que a única força interveniente seja a da atração gravitacional mútua, e que seja de R a distância de separação inicial entre os centros dos corpos, então, o espaço percorrido pelo corpo menor até a colisão será de a),5r b),5r c) 4,5R d) 7,5R e) 0,0R ALTERNATIVA D Calculando a posição inicial do centro de massa do sistema temos: m m + m + m M.0 + 5M. R M + 5M 0R Como a resultante das forças eternas atuantes no sistema é nula, o sistema é isolado e, portanto seu CG permanece na situação inicial. Desse modo, temos para a situação final: m + m M. + 5M R R m + m M + 5M 6 Só que da geometria do problema temos: R

4 Resolvendo o sistema de equações encontrado: R R 7,5R 0,5R A distância percorrida pelo corpo de menor dimensão vele 7,5 R.. (ITA 00) Uma rolante pesa 0 N e se encontra inicialmente em repouso, como mostra a figura. Um que pesa 80 N, também em repouso, é abandonado no ponto, deslizando a seguir sobre a. O centro de massa G da tem coordenadas: X G b/ e y G c/. São dados ainda: a 5,0 m e sen α 0,6. Desprezando os possíveis atritos e as dimensões do, pode-se afirmar que a distância percorrida pela no solo, até o instante em que o atinge o ponto, é: α a b G c a)6,0m b) 0,0m c) 4,8m d) 4,0m e) 9,6m Pela geometria do problema: i) sen α 0,6 cos α 0,8 ii) c a.sen α (5,0)(0,6) c 9,00 m iii) b a.cos α (5,0)(0,8) b,0 m iv) G b/ ()(,0)/() G 8,00 m

5 Como o sistema é mecanicamente isolado na direção então a componente do centro de massa se mantém constante. No início do movimento: P P ( G ) + P + P (b) Quando o atinge o ponto : P (G + d) + P (d) P + P Portanto: X P. + P.b P.( (8 + d) + 80d d 4,8 m G G + d) + P. (ITA 000) Uma lâmina de material muito leve de massa m está em repouso sobre uma superfície sem atrito. A etremidade esquerda da lâmina está a cm de uma parede. Uma formiga considerada como um ponto, de massa m/5, está inicialmente em repouso sobre essa etremidade, como mostra a figura. A seguir, a formiga caminha para frente muito lentamente, sobre a lâmina. A que distância d da parede estará a formiga no momento em que a lâmina tocar a parede?.d a) cm. b) cm. c) 4 cm. d) 5 cm. e) 6 cm. 4. ITA - As massas m,0 kg e m,0 kg foram fiadas nas etremidades de uma haste homogênea, de massa desprezível e 40 cm de comprimento. Este sistema foi colocado verticalmente sobre uma superfície plana, perfeitamente lisa, conforme mostra a figura, e abandonado. A massa m colidirá com a superfície a uma distância do ponto P dada por:

6 (A) 0 (no ponto P) (B) 0cm (C) 0cm (D) 0cm (E) 40cm. 5. Um anel circular de raio R e massa M está no interior de outro anel circular de raio R e massa M, ambos na vertical, conforme mostra a figura abaio. Os anéis rolarão sem deslizar. Quando o centro do anel menor estiver chegado no ponto mais baio, qual será a distância percorrida pelo anel maior?

7 GABARITO. E 4. B 5. R/