QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-5)

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1 Física I para a Escola Politécnica ( ) - P1 (10/04/2015) [16A7]-p1/6 QUESTÕES DE MÚLTIPLA-ESCOLHA (1-5) ando necessário, use g=10 m/s 2 (1) [1,0 pt] A figura abaixo representa dois blocos 1 e 2, de massa m 1 = 1000 kg e m 2 = 3000 kg, respectivamente, em contato e apoiados sobre uma superfície lisa sem atrito. Uma força F = 4000 N é aplicada ao bloco 1 empurrando todo o conjunto. Assinale a alternativa que contém a magnitude (módulo) das forças de contato exercidas pelo bloco 1 sobre bloco 2 (F 2(1) ) e pelo bloco 2 sobre o bloco 1 (F 1(2) ). (a) F 12 = 4000 N e F 21 = 0 N (b) F 12 = 3000 N e F 21 = 3000 N (c) F 12 = 3000 N e F 21 = 1000 N (d) F 12 = 4000 N e F 21 = 4000 N (e) F 12 = 0 N e F 21 = 4000 N (2) [1,0 pt] A figura abaixo mostra um esquema de polias ideais que sustentam os blocos 1 e 2 de massas m 1 e m 2, respectivamente. Sabe-se que o bloco de massa m 1 movimenta-se para cima com velocidade v 1 constante. Sobre as grandezas físicas associadas a este sistema, podemos afirmar: (a) T 2 > T 1 (b) T 1 > m 1 g (c) a 1 = a 2 = 0 e m 2 > m 1 (d) v 2 > v 1 (e) m 1 = m 2 (3) [1,0 pt] A figura mostra uma partícula em movimento circular uniforme que se desloca no sentido anti-horário. As setas enumeradas de 1 a 5 representam a direção de vetores associados a grandezas físicas da dinâmica desta

2 Física I para a Escola Politécnica ( ) - P1 (10/04/2015) [16A7]-p2/6 partícula (medidas a partir de um referencial inercial em repouso em relação à trajetória da partícula). Dentre as alternativas (a) a (e) abaixo, assinale aquela que associa corretamente as setas às grandezas físicas descritas, quando a partícula está na posiçcão indicada na figura. (a) Setas 3 e 4 para a força resultante e velocidade, respectivamente. (b) Setas 1 e 2 para a força resultante e velocidade, respectivamente. (c) Setas 1 e 4 para a força resultante e aceleração, respectivamente (d) Setas 4 e 2 para a força resultante e velocidade, respectivamente. (e) Setas 4 e 5 para a força resultante e velocidade, respectivamente. (4) [1,0 pt] O gráfico abaixo mostra a aceleração de uma partícula como função do tempo: As figuras 1 a 4 abaixo mostram gráficos que podem representar a função posição x(t), ou a velocidade v(t), de uma dada particula. Dentre as alternativas (a)-(e), assinale a que corretamente associa os gráficos das figuras 1 a 4 à cinemática da partícula cuja aceleração é dada pelo gráfico acima. (a) As figuras 1 e 2 representam, respectivamente, a velocidade e posição da partícula como função do tempo. (b) A figura 4 representa a posição da partícula como função do tempo. (c) A figura 2 representa a velocidade da partícula como função do tempo. (d) A figura 1 representa a velocidade da partícula como função do tempo. (e) As figuras 3 e 4 representam, respectivamente, a velocidade e posição da partícula como função do tempo.

3 Física I para a Escola Politécnica ( ) - P1 (10/04/2015) [16A7]-p3/6 (5) [1,0 pt] Um bloco de massa m = 5 kg encontra-se sob um plano inclinado cuja superfície faz um ângulo θ = π/6 com a horizontal. Nesta situação, o bloco encontra-se em repouso devido ao atrito estático com a superfície. A inclinação do plano é aumentada por um pequeno ângulo δ e o bloco começa a deslizar com aceleração de módulo igual à a 2, 4 m/s 2. Sobre os coeficientes de atrito cinético, µ C, e estático, µ E, para a força de atrito entre o bloco e a superfície do plano inclinado podemos afirmar: (a) µ E 0, 25 e µ C 0, 45 (b) µ E 0.6 e µ C 0 (c) µ E 0, 3 e µ C 0, 57 (d) µ E 0, 45 e µ C 0, 25 (e) µ E 0, 57 e µ C 0, 3

4 VERSÃO DE PROVA E GABARITO 16A7: (1) B; (2) E; (3) D; (4) D; (5) E; 3A33: (1) E; (2) B; (3) E; (4) B; (5) B; E7HX: (1) D; (2) A; (3) B; (4) A; (5) B;

5 Física I para a Escola Politécnica ( ) - P1 (10/04/2015) [16A7]-p4/6 QUESTÕES DISCURSIVAS ATENÇÃO: As soluções dessas questões devem ser feitas no caderno de respostas em anexo (folhas 1 e 2) devidamente identificado com nome, NUSP e turma. (6) [2,0 pts] Duas partículas estão restritas a mover-se no plano xy. O movimento destas partículas é descrita pela funções posição x 1 (t) = t 2 + t + 1, x 2 (t) = 2t 2 2t + 3, y 1 (t) = t + 3 e y 2 (t) = 2t + 2, onde a posição é medida em metros e o tempo t em segundos. Considere a direção î na horizontal e ĵ na vertical. (a) (0,5) Determine os vetores posição r 1 (t) e r 2 (t) de cada partícula e o vetor posição relativa r 12 (t). (b) (0,5) Para t = 0, faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição r 1 e r 2 e do vetor posição relativa r 12. Determine a distância entre as partículas. (c) (0,5) Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem. (d) (0,5) Determine a velocidade relativa, v 12, no(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem. (7) [3,0 pts] Um bloco de massa m = 2, 00 kg desliza sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = π/4 com a horizontal. O plano tem uma superfície rugosa, cujo coeficiente de atrito cinético, µ C, é igual a 0, 2. O bloco localizase inicialmente no topo do plano, a uma altura h = 0, 50 m com a horizontal, e inicia seu movimento a partir do repouso. O plano está montado sobre uma mesa de altura H = 2, 25 m. Ao final do deslizamento ao longo do plano, o bloco cai sob ação da força peso e de uma força de resistência do ar. Veja a figura ao lado para um esquema da situação ( use sin(π/4) = cos(π/4) = 2 2 ). (a) (0,5) Determine o diagrama de corpo livre (diagrama de forças) para o bloco quando o mesmo inicia seu movimento no topo do plano e outro diagrama para o bloco após o mesmo perder contato com o plano. (b) (0,5) Para cada força indicada nestes diagramas, aponte o devido par ação reação (terceira Lei de Newton) da mesma e discuta seu efeito (escreva no máximo até duas linhas para cada força). (c) (1,0) Determine o vetor velocidade v do bloco quando o mesmo atinge o final do plano inclinado. Escreva sua resposta na forma v = v 0x î + v 0y ĵ. (d) (1,0) Ignore a resistência do ar e determine o alcance R do bloco. Dica geral: faça substituições numéricas apenas na etapa final das soluções dos itens (c) e (d). Para o item (d), caso você não tenha feito o item (c), deixe a resposta em termos de v 0x e v 0y.

6 Universidade de São Paulo Instituto de Física da USP Física I para a Escola Politécnica à 2015 Solução das questões dissertativas Caros alunos, certamente que as soluções apresentadas não são únicas. Abaixo, apresentamos soluções que usam um mínimo de fórmulas para serem executadas. O espírito é demonstrar que os problemas propostos são totalmente dedutíveis de alguns poucos princípio fundamentais. 1 Cinemática 2D (2 pontos) Duas partículas estão restritas a mover-se no plano xy. O movimento destas partículas é descrito pelas funções posição x 1 (t) = t 2 + t + 1, x 2 (t) = 2t 2 2t + 3, y 1 (t) = t + 3 e y 2 (t) = 2t + 2, onde a posição é medida em metros e o tempo t em segundos. Considere a direção î na horizontal e ĵ na vertical. (a) Determine os vetores posição r 1 (t) e r 2 (t) de cada partícula e o vetor posição relativa r 12 (t). (0.5 pontos) Diretamente da denição, escrevemos os vetores r 1 (t) e r 2 (t): r 1 (t) = x 1 (t)î + y 1 (t)ĵ r 1 (t) = [(t 2 + t + 1)î + (t + 3)ĵ] m r 2 (t) = x 2 (t)î + y 2 (t)ĵ r 2 (t) = [(2t 2 2t + 3)î + (2t + 2)ĵ] m Já o vetor posição relativa é obtido também pela denição: r 12 (t) = r 2 (t) r 1 (t) r 12 (t) = [(t 2 3t + 2)î + (t 1)ĵ] m (b) Para t = 0 s, faça um esquema no plano cartesiano dos vetores posição r 1 e r 2 e do vetor posição relativa r 12. Determine a distância entre as partículas. (0.5 pontos) Avaliamos os vetores acima para t = 0 r 1 (t = 0 s) = [1î + 3ĵ] m r 2 (t = 0 s) = [3î + 2ĵ] m r 12 (t = 0 s) = [2î + 1ĵ] m Representamos estes vetores no plano cartesiano como setas que apontam desde a origem. O vetor posição relativa pode estar a partir da origem ou ligar os vetores r 1 e r 2 (a ligação deve ser consistente com a escolha do aluno do item a). A distância entre as particulas é determinada pelo módulo do vetor posição relativa. d = r 12. r 12 = m = 5 m 1

7 (c) Determine o(s) tempo(s) t para o(s) qual(is) as duas partículas colidem. (0.5 pontos) A condição de colisão é que o vetor posição relativa seja 0. O que equivale a estudar os tempos t nos quais cada uma das suas componentes é 0. Portanto, temos que investigar os tempos t para os quais: e (t 2 3t + 2) = 0 (t 1) = 0 Temos que para t = 1 s e t = 2 s, a primeira equação é satisfeita. No entanto, apenas para t = 1 s que a segunda equação é satisfeita. Daí, apenas para t = 1 s há colisão. (d) Determine a velocidade relativa, v 12, no(s) instante(s) no(s) qual(is) as partículas colidem. (0.5 pontos) A velocidade relativa é denida pela derivada da posição relativa, desta maneira: v 12 (t) = d dt r 12(t) Uma vez que os versores são xos, podemos derivas apenas as componentes: Que resulta em: v 12 (t) = dx 12 dt î + dy 12 dt ĵ v 12 (t) = [(2t 3)î + 1ĵ] m/s com t em segundos. Avaliado em t = 1 s, temos: v 12 (t = 1 s) = [ 1î + 1ĵ] m/s 2 Plano inclinado (3 pontos) Um bloco de massa m = 2, 00 kg desliza sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = π/4 com a horizontal. O plano tem uma superfície rugosa, cujo coeciente de atrito cinético, µ C, é igual a 0, 2. O bloco localiza-se inicialmente no topo do plano, a uma altura h = 0, 50 m com a horizontal, e inicia seu movimento a partir do repouso. O plano está montado sobre uma mesa de altura H = 2, 25 m. Ao nal do deslizamento ao longo do plano, o bloco cai sob ação da força peso e de uma força de resistência do ar. Veja a gura abaixo para um esquema da situação (use sin(π/4) = cos(π/4) = 2/2 e g = 10 m/s 2 ). (a) Determine o diagrama de corpo livre (diagrama de forças) para o bloco quando o mesmo inicia seu movimento no topo do plano e outro diagrama para o bloco após o mesmo perder contato com o plano. (0.5 pontos) Os diagramas devem, obrigatoriamente incluir as seguintes forças: (1) No topo do plano: forças normal, força de atrito e força peso. O diagrama precisa ilustrar apenas as forças, sem necessariamente incluir a decomposição das componentes. (2) Após perder contato com o plano: forças peso e resistência do ar, com a força de resistência do ar na direção v, ou seja, a força de resitência do ar e peso não são colineares. (b) Para cada força indicada nestes diagramas, aponte o devido par ação reação (terceira Lei de Newton) da mesma e discuta seu efeito (escreva no máximo até duas linhas para cada força). (0.5 pontos) Situação (1): força normal: força sobre a supercie do plano na direção N, comprime o plano; força de atrito: força tangencial à superfície do plano na direção F at, arrasta a superfície do plano. 2

8 O plano não se desloca pois o supomos preso à mesa. Força peso: atração gravitacional do planeta Terra pelo bloco, atuando no centro do planeta Terra. Causa uma aceleração desprezível no planeta pois M T erra m bloco. (2) Força peso: mesma que anterior, força de resistência do ar: força sobre as particulas do ar, deslocando-as para passagem do bloco. (c) Determine o vetor velocidade v do bloco quando o mesmo atinge o nal do plano inclinado. Escreva sua resposta na forma v = v 0x î + v 0y ĵ. (1.0 pontos) O bloco desce a rampa sobre a ação de forças constantes. Desta maneira, a resultante será uma força constante e movimento é uniformente acelerado. Adotamos um sistema de coordenadas î e ĵ com î denotando uma direção ao longo do plano e ĵ ao longo da normal ao plano. Podemos escrever, para uma coordenada s ao longo da superfície do plano que: Desta maneira, temos mgµ C cos θ + mg sin θ = m s s = a = µ C g cos θ + g sin θ = 2 2 (8) m/s2 = 4 2 m/s 2 Uma vez que a aceleração é constante, conhecemos a equação de movimento para s(t): O deslocamento total em s se escreve: s(t) = s 0 + v 0s t at2 s(t ) s 0 = H/ sin θ Onde t é o tempo no qual o bloco está no m do plano inclinado. Dái, escrevemos (lembrando que v 0s = 0) H sin θ = 1 2 at 2 t = ( 2H a sin θ )1/2 Mas o que queremos é a velocidade, que se escreve: Desta maneira: v s (t ) = v 0s + at = at Colocando os números: v s (t ) = ( 2Ha sin θ )1/2 v s (t) = ( m 4 2 m/s 2 ( ) 1/2 = (16 0.5) 1/2 m/s = 2 2 m/s 2/2) Uma opção alternativa para obter v s é usar a equação vs 2 = v0s 2 + 2a[s s 0 ]. Mas este é apenas o módulo da velocidade. Para encontrarmos o vetor velocidade na forma v = v 0x î + v 0y ĵ, adotamos o sistema de coordenadas usual e consideramos a geometria da gura. Desta maneira, escrevemos: { v x = (2 2 cos θ) m/s = 2 m/s = ( 2 2 sin θ) m/s = 2 m/s v y 3

9 desta maneira: v = [2î 2ĵ] m/s (d) Ignore a resistência do ar e determine o alcance R do bloco. Dica geral: faça substituições numéricas apenas na etapa nal das soluções dos itens (c) e (d). Para o item (d), caso você não tenha feito o item (c), deixe a resposta em termos de v 0x e v 0y. (1.0 pontos) Sem resistência do ar, temos novamente um movimento a aceleração constante. De fato, escolhendo uma nova origem no pé da mesa, podemos escrever para o bloco (segunda lei de Newton): ou seja, a = gĵ. Desta maneira: mgĵ = m a r(t) = (x 0 + v 0x t)î + (y 0 + v 0y t at2 )ĵ Usando as condições do problema e nossa escolha de origem, temos: r(t) = (2t)î + (H 2t 1 2 gt2 )ĵ Para determinar o alcance R, primeiro calculamos o tempo t de queda. Este é o tempo t no qual y(t ) = 0, assim: H 2t 1 2 gt 2 = 0 Resolvendo a equação, temos (tomando apenas a raiz positiva): O alcance é dado pela equação: t = 0.5 s R = v 0x t = (2 m/s)(0.5 s) = 1 m 4