Física I para Engenharia IFUSP P1-25/04/2014

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Talita Ribas Belo
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Física I para Enenharia IFUSP - 43195 P1-5/04/014 A prova tem duração de 10 minutos. Resolva questão na folha correspondente. Use o verso se necessário. Escreva de forma leível, a lápis ou tinta.

1 Física I para Enenharia IFUSP P1-5/04/014 A prova tem duração de 10 minutos. Resolva questão na folha correspondente. Use o verso se necessário. Escreva de forma leível, a lápis ou tinta. Seja ético: a prova é individual e sem consulta a anotações ou qualquer outro material. Nome Assinatura Nº. USP Turma 1) O vetor posição de uma partícula que se move no plano X Y é dado por r (t) = (0 + 0t) i + (10t + 5 t ) j onde r é dado em metros e t em seundos. Determine: a) (1,0) o vetor velocidade instantânea da partícula, seu módulo e direção para o instante t = 1 s; b) (0,5) o vetor aceleração instantânea da partícula para o instante t = 4 s; c) (0,5) o vetor deslocamento deslocamento da partícula entre os intervalos de tempo t = s e t = 4 s; d) (0,5) o vetor velocidade média da partícula no intervalo de tempo t = s e t = 4 s. a) O vetor velocidade instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor posição em função do tempo, ou seja: d r (t) [ V (t) = = 0 i + (10 + 5t) ] j m/s dt Portanto o vetor velocidade instantânea para t = 1 s vale: e o módulo vale: Direção: V (1) = (0 i + 15 j )m/s V = = 5m/s tθ = 15 0 = 3 4 θ = arct b) O vetor aceleração instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor velocidade em função do tempo, ou seja: ( ) 3 4 d V (t) a = = (5 j )m/s dt Portanto o vetor aceleração independe do tempo e para t = 4 s vale: a (4) = 5 j m/s c) As posições para os instantes t = s e t = 4 s valem: r () = (60 i + 30 j )m Portanto o deslocamento é iual a: r (4) = (100 i + 80 j )m r = r (4) r () = (40 i + 50 j )m d) A velocidade média entre os intervalos t = s e t = 4 s é por denição iual a: V m = r t = (0 i + 5 j )m/s 1

2 ) Um projétil é lançado do chão com velocidade inicial V 0 sob um ânulo θ com a horizontal, como representado na ura abaixo. Supondo que não exista atrito com o ar e que a trajetória do projétil é parabólica do tipo y(x) = ax + bx. Pede-se determinar - (a) (0,5) os coecientes a e b da parábola. (b) (0,5) a altura máxima atinida pelo projétil y max. (c) (0,5) a distância máxima alcançada pelo projétil x max. (d) (1,0) Achar o módulo e a direção do vetor velocidade do projétil nos pontos y max e x max. Solução: a) Vamos primeiramente escrever as componentes x e y da equação de movimento, ou seja: x(t) = V 0 cos(θ)t y(t) = V 0 sen(θ)t 1 t Isolando o tempo t na primeira equação e substituindo na seunda obtemos: y(x) = V 0sen(θ) V 0 cos(θ) x Usando a relação 1/cos (θ) = 1 + t (θ) obtemos que: Portanto os coecientes a e b valem: V0 cos (θ) x = t(θ)x y(x) = xt(θ) x (t (θ) + 1) V 0 V0 cos (θ) x a = t(θ) e b = V0 cos (θ) = (t (θ) + 1) V0 b) A altura máxima pode ser obtida fazendo dy(x)/dx = 0, ou seja: dy(x) dx = t(θ) 1 V0 cos (θ) x = 0 x = V 0 cos (θ) t(θ) Esta é a posição x do projétil para a máxima altura. Esta posição corresponde a x max /. Portanto para obter a altura máxima basta substituir o valor de x na equação que mostra a dependência de y em função de x, ou seja: y max = V 0 cos (θ)t (θ) V0 cos (θ) ( ) V 0 cos (θ)t(θ) y max = V 0 sen (θ) V 0 sen (θ) = V 0 sen (θ) c) A distância máxima (x max ) alcançada pelo projétil é simplesmente x ou seja:

3 x max = V 0 cos (θ)t(θ) = V 0 cos (θ) sen(θ) cos(θ) = V 0 sen(θ) d) As componentes x e y do vetor velocidade são: V x (t) = V 0 cos(θ) V y (t) = V 0 sen(θ) t Na posição y max a componente da velocidade V y é iual a zero e portanto a direção do vetor velocidade neste ponto vale: Loo o módulo da velocidade é: V (y max ) = t(θ(y max )) = V y V x = 0 θ(y max ) = 0 Vx + Vy = V0 cos (θ) = V 0 cos(θ) A velocidade V y para a posição x max pode ser obtida a partir da seunda equação das velocidades substituindo t = 0, pois como não existe atrito podemos considerar que a velocidade de subida é a mesma de descida, ou seja V y (x max ) = V 0 sen(θ), loo a direção do vetor vale: O módulo da velocidade é: V (x max ) = t(θ(x max )) = V y = V 0sen(θ) = t(θ) V x V 0 cos(θ) θ(x max ) = θ Vx + Vy = V0 cos (θ) + V0 sen (θ) = V 0 3) Considere um rande cilindro oco vertical irando ao redor de seu eixo e uma pessoa dentro dele (ura abaixo). Quando a velocidade do conjunto atine um valor predeterminado o piso do cilindro desce rapidamente, mas a pessoa que está dentro dele não cai, permanecendo presa à parede. O coeciente de atrito estático entre a pessoa e a parede é µ s e o raio do cilindro é R. a) (0,5) Desenhe todas as forças que aem sobre a pessoa que está dentro do cilindro em movimento. b) (1,0) Calcule o período máximo de revolução necessário para que a pessoa não caia. c) (0,5) Qual é a velocidade escalar mínima do cilindro para que a pessoa não caia? d) (0,5) Se a massa da pessoa for iual a m, qual é o módulo da força centrípeta que atuará sobre ela? a) As forças que atua sobre a pessoa estão representadas na ura abaixo. 3

4 b) Para que a pessoa não caia a força de atrito deve ser iualada a força peso, ou seja m = F at = µ s N Por outro lado a normal é iual a força centrípeta, dai temos que: Período c) Velocidade escalar mínima: d) Força centrípeta: m = µ s N = µ s m V T = 4π ω = 4π µ s R m = µ s N = µ s m V R = µ smω R ω = T max = π R V min = m = µ s N N = m µ s = F C µ s R µ s R R µ s 4) Na ura ao lado tem-se uma massa m 1 que está conectada a uma massa m através das polias P 1 e P que tem massas desprezíveis. Supondo que a massa m 1 desliza sobre mesa sem atrito e que a aceleração da massa m é vertical e para baixo, pede-se: (a) (0,5) Coloque em um diarama todas as forças que atuam no sistema. (b) (0,5) Determinar o valor numérico da razão a 1 /a, considerando os os inextensíveis. (c) (1,0) Determinar as trações T 1 e T em função de, m 1 e m. (d) (0,5) Determinar as acelerações a 1 e a. 4

5 (a) As forças que atuam no sistema estão representadas na ura abaixo. (b) Quando a massa m se desloca de um comprimento L a massa m 1 se desloca de um comprimento L portanto a 1 = a, loo a 1 a = (c) Vamos primeiramente escrever as equações de movimento para os três corpos que possuem acelerações diferente de zero que são as massas m 1 e m e a polia P 1. T 1 = m 1 a 1 (1) m T = m a () T T 1 = m p1 a = 0 (3) onde m p1 é a massa da polia 1 que é iual a zero. Substituindo a equação (3) em () obtemos: Loo T 1 vale: e T vale: a 1 m T 1 = m a = T 1 = m m a = m m = m T 1 m m ( 1 T 1 T 1 + m = m = T 1 + m ) ( ) 4m1 + m = T 1 = m m 1 m 1 m 1 T 1 = T = m 1m 4m 1 + m 4m 1m 4m 1 + m (d) Uma vez conhecida as trações podemos obter as acelerações a partir das equações (1) e (), ou seja: a 1 = m 4m 1 + m e a = a 1 = m 4m 1 + m 5

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