Mecânica Fundamental Lançamento de Projéteis (Lista de Exercícios) Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. azevedolab.net

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2 1) Considere que um joador de baseball rebateu uma bola com velocidade inicial de 37 m/s e um ânulo de 53,1 o. Calcular o alcance da bola, a altura máxima e a velocidade ao chear ao solo. R = v 0.. senθ. cosθ R = v 0. sen(θ) v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 v 0 senθ + v 0 sen θ + 0 v 0 senθ + v 0 senθ R = 37. sen(. 53,1 o ) R = 134 m = sen(106,o ) = ,96

3 y max = y 0 + v 0. sen θ y max = sen53,1 0. y max = 44,67 m = , ,6 v = v y 0 = v = 37 m/s

4 ) Considere que uma bola foi lançada de uma altura de 8 m, com velocidade inicial de 10 m/s e com um ânulo de -0 o com a horizontal, ou seja, a bola foi lançada para baixo. Calcular o alcance da bola e a velocidade ao chear ao solo. Solução: x o = 0 e y o = 8 m v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 R = cos( 0o ) 10. sen( 0 o ) sen( 0 o ) +..8 R = 10.0, ( 0,34) ( 0,34) + 156,8 R = 9,3969 3,4 + 3, ,8 = 0, ,4 + 11, ,8 =0, ,4 + 1,981 R = 9,17 m

5 Solução: x o = 0 e y o = 8 m v = v y 0 = = ,8 = 56,8 v = 16 m/s

6 3) Uma bola é arremessada para cima a partir do terraço de um prédio com um ânulo de 30º e com velocidade inicial de 30 m/s. O arremesso é feito a partir de uma altura de 45 m do solo. Calcular o alcance da bola, a altura máxima e a velocidade ao chear ao solo. Solução: x o = 0 e y o = 45 m v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 R = cos(30o ) 30. sen(30 o ) sen(30 o ) R = 30.0, , , R = 5, =, =, ,716 R = 17,97 m

7 Solução: x o = 0 e y o = 45 m y max = y 0 + v 0. sen θ y max = sen30 0 y max = 56,48 m. = ,5 19,6 v = v y 0 = = v = 4, m/s

8 4) Um saltador em distância sai do solo a um ânulo de 0,0 o com a horizontal e com velocidade de 11,0 m/s. (a) Que distância ele salta ao lono da horizontal? (b) Qual a altura máxima alcançada. R = v 0.. senθ. cosθ R = v 0. sen(θ) v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 v 0 senθ + v 0 sen θ + 0 v 0 senθ + v 0 senθ R = 11. sen(. 0 o ) R = 7,94 m = 11. sen(40o ) = 11.0,648

9 y max = y 0 + v 0. sen θ y max = sen0 0. y max = 0,7 m = 11. 0,34 19,6

10 5) Um projétil é lançado de tal modo que seu alcance horizontal é três vezes sua altura máxima. Qual é o ânulo de lançamento? v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 v 0 senθ + v 0 sen θ + 0 v 0 senθ + v 0 senθ = v 0.. senθ. cosθ Considerando-se a altura máxima, temos: y max = y 0 + v 0. sen θ = v 0. sen θ Sabemos que: R = 3.y max, assim temos: v 0.. senθ. cosθ = 3 v 0. sen θ. cosθ 3 = senθ. 3 = senθ cosθ senθ cosθ = 4 3 tθ = 1,333 θ = 53,1o

11 6) A velocidade de um projétil quando ele atine sua altura máxima é metade de sua velocidade de quando ele atine à metade de sua altura máxima. Qual é o ânulo de projeção inicial do projétil?. Vamos considerar a altura máxima (y max ) y max = y 0 + v 0.sen θ = v 0.sen θ = v 0y. Para metade da altura, temos y = y max = v 0y 4 Aplicando a equação de Torricelli quando a altura é metade da altura máxima, temos: v y = v 0y y = v 0y v 0y 4 = v 0y v 0y = v 0y v y = v 0y A velocidade (v) quando a altura é metade de y max é dada por: v = v x + v y = v x + v 0y Aora consideramos a situação do problema, onde v é a velocidade quando a altura y = y max. v = 1 v v x = 1 v x + v 0y v x = v x + v 0y 4v x = v x + v 0y 3v x = v 0y 6v x = v 0y 6v x = v 0y Assim temos: 6v 0 cosθ = v 0 senθ 6 = senθ cosθ tθ = 6 θ = 67,8o

12 7) Determine o ânulo de lançamento de um projétil para que seu alcance seja o máximo possível. v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 v 0 senθ + v 0 sen θ + 0 v 0 senθ + v 0 senθ = v 0.. senθ. cosθ R = v 0. senθ A partir da condição de máximo (ou mínimo) temos: dr dθ = 0 dr dθ = v 0.. cosθ = 0 cosθ = 0 θ = 90 o θ = 45 o

13 8) Um projétil é lançado de tal modo que seu alcance horizontal é duas vezes sua altura máxima. Qual é o ânulo de lançamento? v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 v 0 senθ + v 0 sen θ + 0 v 0 senθ + v 0 senθ = v 0.. senθ. cosθ Considerando-se a altura máxima, temos: y max = y 0 + v 0. sen θ = v 0. sen θ Sabemos que: R =.y max, assim temos: v 0.. senθ. cosθ = v 0. sen θ. cosθ = senθ senθ cosθ = tθ = θ = 63,4o

14 9) Um projétil é lançado de tal modo que seu alcance horizontal é iual a altura máxima. Qual é o ânulo de lançamento? v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 v 0 senθ + v 0 sen θ + 0 v 0 senθ + v 0 senθ = v 0.. senθ. cosθ Considerando-se a altura máxima, temos: y max = y 0 + v 0. sen θ = v 0. sen θ Sabemos que: R = y max, assim temos: v 0.. senθ. cosθ = v 0. sen θ. cosθ = senθ senθ cosθ = 4 tθ = 4 θ = 76,0o

15 10) Um projétil é lançado de tal modo que seu alcance horizontal é quatro vezes sua altura máxima. Qual é o ânulo de lançamento? v 0 senθ + v 0 sen θ + y 0 v 0 senθ + v 0 sen θ + 0 v 0 senθ + v 0 senθ = v 0.. senθ. cosθ Considerando-se a altura máxima, temos: y max = y 0 + v 0. sen θ = v 0. sen θ Sabemos que: R = 4.y max, assim temos: v 0.. senθ. cosθ = 4 v 0. sen θ. cosθ =. senθ senθ cosθ = 1 tθ = 1 θ = 45,0o

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