UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

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1 CÁLCULO L1 NOTAS DA VIGÉSIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, consideraremos mais uma técnica de integração, que é conhecida como substituição trigonométrica. Esta técnica pode ser empregada para eliminar raízes quadradas de polinômios de grau. 1. Usando a identidade fundamental entre o seno e o cosseno Sabemos que, para todo número real θ, sen θ = 1 cos θ Multiplicando esta identidade por a, para um número real positivo a, obtemos que a sen θ = a a cos θ Extraindo a raiz quadrada desta identidade, chegamos a a sen θ = a a cos θ Caso 0 θ, temos que sen θ não é negativo e conseqüentemente esta relação pode ser reescrita como 1) a sen θ = a a cos θ Portanto, a seguinte mudança de variável ) X = a cos θ com dx = sen θdθ transforma, por 1), a X em a sen θ, elimiando a raiz quadrada. Exemplo 1. Calcule a seguinte integral X 4 X dx Vamos fazer X = cos θ e daí dx = sen θdθ. Logo X 4 X dx = 4 cos θ 41 cos θ) sen θdθ) = 4 cos θ sen θ) sen θdθ) = 16 cos θ sen θdθ A última integral já foi calculada na décima oitava aula. Vimos que cos θ sen θdθ = θ 8 sen4θ) Estas notas foram escritas pelo professor da disciplina, Manoel Lemos. 1

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Portanto, ) X 4 X dx = θ + sen4θ) Necessitamos retornar a variável original. Observe que sen4θ) = senθ) cosθ) = 4 sen θ cos θ cos θ 1) = [ cos θ][ cos θ) ][ sen θ] = XX ) 4 X Substituindo em ), temos que X ) X 4 X dx = arccos + XX ) 4 X 4 A próxima integral, que é semelhante a anterior, pode ser calculada de maneira análoga. Contudo, pode ser resolvida de forma mais simples com uma outra mudança de variável. Exemplo. Calcule a seguinte integral X 1 X dx Neste caso, considere Y = 1 X e daí dy = XdX. Portanto, X 1 X dx = X 1 X XdX = 1 Y ) Y dy = 1 1 Y ) Y dy Note que 1 Y ) Y dy = 1 Y )Y 1 dy = Conseqüentemente X 1 X dx = 1 Y Y 5 5 Retornando a variável original, chegamos a X 1 X dx = 1 X ) 5 5 Y 1 Y dy = Y ) Y 5 5 = Y 5 5 Y 1 X ) Finalizamos esta parte da aula determinando a área A da região que é interior a uma elipse possuindo eixos medindo a e b. Ao colocarmos eixos coordenados no plano de forma que o das abscissas contenha o eixo da elipse de comprimento a e o das ordenadas o de comprimento b, a equação desta elipse será 4) Veja a figura a seguir. X a + Y b = 1

3 MANOEL LEMOS Y b a X b Podemos reescrever 4) como Y = ±b 1 X a Portanto, esta elipse é a união dos gráficos de duas funções dadas pelas expressões f + X) = b 1 X e f a X) = b 1 X a O gráfico de f + X) coincide com a parte da elipse contida no semi-plano superior e o gráfico de f X) é a interseção da elipse com o semi-plano inferior. Como a elipse é simétrica com relação ao eixo das abscissas e a área da região que é interior a elipse e está contida no semi-plano superior é dada pela integral a f + X)dX = a b 1 X a dx = b temos que a área interior a esta elipse é dada por A = b a 1 X a dx a 1 X a dx Vamos fazer a seguinte substituição trigonométrica para calcular esta integral X = a cos θ e daí dx = sen θdθ. Observe que 1 X a = 1 a cos θ = 1 cos a θ = sen θ = sen θ = sen θ desde que θ pertença ao intervalo [0, ], por exemplo. Note que, quando X =, temos θ = e que, quando X = a, temos θ = 0. Logo, após esta mudança de variável, chegamos a A = b 0 sen θ sen θdθ) = b 0 sen θdθ Usando a identidade trigonométrica para sen θ em termos do cosθ), temos que cosθ) A = b dθ = b 1 cosθ)dθ = b θ senθ) ) 0 = b0 ) = ab

4 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Conseqüentemente a área da região que é interior a uma elipse tendo eixos medindo a e b é igual a ab.. Usando as outras identidades fundamentais Para todo número real θ, a seguinte relação é verificada: sec θ = tg θ + 1 Multiplicando esta identidade pelo quadrado de um número positivo a, temos que a sec θ = a tg θ + a Ao extrairmos a raiz quadrada em ambos os lados, chegamos a a sec θ = a tg θ + a Quando < θ <, temos que sec θ > 0 e daí 5) a sec θ = a tg θ + a Conseqüentemente, a segunte mudança de variável transforma X + a em a sec θ. X = a tg θ com dx = a sec θdθ Exemplo. Calcule a seguinte integral X + X + 1dX Antes de fazer uma substituição trigonométricas, vamos simplificar o polinômio de grau dois que está no interior da raiz quadrada completando os quadrados e mudando sua variável. Temos que X + X + 1 = X + 1 ) + 4 Se Y = X + 1, então dy = dx e daí X + X + 1dX = Y + 4 dy Se Y = tg θ, então Y + = sec θ e dy = 4 sec θdθ. Logo 6) Y + ) ) 4 dy = sec θ sec θdθ = 4 sec θdθ Agora passamos a calcular a integral do cubo da secante. Faremos utilizando a técnica de integração por partes: sec θdθ = sec θ sec θdθ = tg θ sec θ tg θ tg θ sec θ)dθ

5 Portanto, MANOEL LEMOS 5 sec θdθ = tg θ sec θ tg θ sec θdθ = tg θ sec θ sec θ 1) sec θdθ ) = tg θ sec θ sec θdθ sec θdθ Conseqüentemente sec θdθ = tg θ sec θ + sec θdθ sec θ tg θ + sec θ) = tg θ sec θ + dθ tg θ + sec θ sec θ + tg θ sec θ = tg θ sec θ + dθ tg θ + sec θ = tg θ sec θ + ln tg θ + sec θ Substituindo o valor desta integral em 6), temos que Y + 4 dy = tg θ sec θ + ln tg θ + sec θ ) 8 Substituindo o valor de tg θ e sec θ em função de Y, temos que Y + 4 dy = 4 8 Y Y + ) 4 + ln Y + Y + 4) Esta identidade pode ser reescrita como Y + 4 dy = 1 Y Y ln Y + Y + 4 Voltando a variável X, temos que X + X + 1dX = 1 4 X + 1) X + X ln X X + X + 1 A última substituição trigonométrica serve para eliminar uma raiz quadrada do tipo X a Neste caso, pode-se fazer X = a sec θ. Deixamos para o leitor a tarefa de verificar os detalhes desta transformação. Exercício 4. Calcule as seguintes integrais: i) 4 X dx ii) 0 X 9 X dx

6 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO iii) iv) X X 5dX 4X X dx v) X 4 + 9X dx Conteúdo da vigésima aula da disciplina Cálculo L1, oferecida para os cursos de licenciatura em Física, Matemática e Química e o bacharelado em Química Industrial, no segundo semestre de 008 na Universidade Federal de Pernambuco, tendo como professor Manoel Lemos