ANOTAÇÕES DE AULA : DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DA AMAZÔNIA INSTITUTO CIBER ESPACIAL MEDICINA VETERINARIA PROFº JOÃO SANTANNA ANOTAÇÕES DE AULA : DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Derivadas de funções trigonométricas Derivada do Seno Para se calcular a derivadas das funções trigonométricas primeiramente se utilizou a df (x) f (x + x) f (x) formula algébrica da derivada = lim, o que se notou é que x0 x quando se calculava a derivada do seno em vários pontos ao longo de um período os valores obtidos nos pontos calculados eram aproximadamente os valores dos cossenos naqueles pontos, como mostra o gráfico. O que se nota é que a derivada de um seno qualquer ao longo de um período é muito próxima ao cosseno nos mesmos pontos, essa proximidade melhora quando pegamos valores de x tendendo a zero, dai podemos considerar que dsenx =

2 Derivada do Cosseno Utilizando o mesmo tratamento matemático da proposta anterior, chegamos a um resultado similar ao calculo da derivada do seno, porém com algumas diferenças no caso do cosseno a sua derivada é igual a: d = senx Derivada da Tangente Utilizando substituições e identidades trigonométricas podemos chegar ao calculo da derivada da tangente de x só utilizando o seno e o cosseno. dtgx = d senx, usando a regra da divisão derivativa temos. dsenx *cosx d * senx cosseno temos: ( ) 2, usando as definições das derivadas do seno e do *cosx (senx)*senx ( ) 2 *cosx + senx * senx cos(x x) = = cos0 ( ) 2 ( ) 2 ( ) = 1 2 ( ) 2 1 = sec x (secante de x), a derivada da tangente de x fica com a expressão: dtgx = sec2 x como,

3 Exemplos resolvidos Derive as seguintes funções: a) f (x) = x 2 senx b) f (x) = cos 2 x c) f (t) = 2sen3t a) f (x) = x 2 senx Usando a regra do produto de derivadas temos: f '(x) = 2x * senx + x 2 *cosx = 2xsenx + x 2 b) f (x) = cos 2 x f (x) = *cosx, usando a regra do produto de derivadas f '(x) = senx + (senx)cosx = 2senx c) f (t) = 2sen3t usando a regra da cadeia temos f '(t) = 2* d(sen3t) * d3t dt dt f '(t) = 2cos 3t *3= 6cos 3t Derivadas de Ordem superior As derivadas não se resumem a primeira derivada, podemos calcular derivadas de 2º, 3º, 4º ordem e assim por diante, algumas derivadas de ordem superior tem significados matemático muito úteis, pegue-mos por exemplo a derivada de 2º ordem aqui representada por f (x), para calcular a derivada de segunda ordem devemos pegar o resultado da primeira derivada f (x) e derivar novamente, acompanhe o exemplo abaixo:

4 f (x) = 2x 3 f '(x) = (2*3)x (31) = 6x 2,usando as mesmas regras derivativas pegamos o resultado da primeira derivada e continuamos o processo. df '(x) f ''(x) = = d(6x2 ) = (6 * 2)x 21 = 12x f ''(x) = 12x Significado da Segunda Derivada A primeira derivada é usada para saber se a função é crescente, decrescente ou constante nos intervalos testados, já a segunda derivada é usada para saber se a concavidade das funções é para cima ou para baixo e se existe um ponto de inflexão que é onde acontece as mudanças de concavidade. Se f (x) >0 f (x) é crescente e f (x) tem concavidade voltada para cima Se f (x) >0 f (x) é decrescente e f (x) tem concavidade voltada para baixo Se f (x) =0 Temos um ponto de inflexão Acompanhe o exemplo: Encontre o ponto de inflexão e esboçe o grafico para f(x)=x 3 f (x) = x 3 f '(x) = 3x 2 f "(x) = 6x, para o calculo do ponto de inflexão pegamos a segunda derivada, igualamos a zero e achamos as raizes da expressão. 6x=0 x=0(ponto de inflexão da função f(x) ) Analise da concavidade Analise-mos primeiro os valores positivos, do ponto de inflexão até o infinito... Para x [0,+] ƒ (x)=6x 6*1=6 6*10=60 6*100=600 Para todo o intervalo fica claro que a concavidade é voltada para cima pois f (x) sempre será maior que zero Agora analisando os valores negativos temos... Para x [,0]

5 ƒ (x)=6x 6*-1= -6 6*-10= -60 6*-100= -600 Para todo o intervalo fica claro que a concavidade é voltada para baixo pois f (x) sempre será menor que zero. Logo o esboço do gráfico fica... Pontos Críticos Seja Xo um ponto pertencente a um intervalo valido em uma função dizemos que esse ponto Xo é um ponto critico se ƒ (Xo)=0, ou seja, quando derivamos uma função e igualamos o resultado a zero e achamos as raízes dessa derivada achamos os pontos críticos dessa função, mas o que são pontos críticos??? Pontos críticos são pontos onde as funções mudam de comportamento, se ela estava crescente, se torna decrescente depois de passar por um ponto critico por exemplo. Os pontos críticos podem ser máximos, mínimos ou pontos de inflexão de uma função, para saber de que tipo é o ponto critico devemos analisar o valor da segunda derivada em um ponto critico. Se f (Xo) > 0, Ponto de mínimo Local Se f (Xo) < 0, Ponto de Maximo Local Se f (Xo) = 0, Ponto de inflexão. Veja o exemplo a seguir: Encontre e classifique os pontos Críticos da função ƒ(x) = x 3 9x 2 48x + 52

6 Primeiramente derivamos a função duas vezes obtendo os seguintes resultados ƒ'(x) = 3x 2 18x 48 f "(x) = 6x 18 Agora achamos as raízes da função ƒ (x) ƒ'(x) = 3x 2 18x 48 raizes x' = 8 x" = 2 Os pontos críticos da função ƒ(x) = x 3 9x 2 48x + 52 acontecem quando x=8 e x=-2 Resta agora classificar esses pontos em pontos de Maximo, mínimo ou inflexão. Para isso usamos a equação da segunda derivada, substituindo os pontos na equação: Para x=8 ƒ (x)=6x-18 ƒ (x)= = 30, como 30 >0, esse ponto é um ponto de mínimo pois apresenta concavidade voltada para cima. Para x=-2 ƒ (x)=6x-18 ƒ (x)=(6.-2)-18 = - 30, como -30 < 0, esse ponto é um ponto de máximo pois apresenta concavidade voltada para baixo. Observe o gráfico da função ƒ(x) = x 3 9x 2 48x + 52