CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 09: Regras de Derivação Objetivos da Aula Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação; Derivar funções utilizando diferentes técnicas. Apresentamos na aula anterior a definição de derivada, como calcular a derivada de uma função pela definição e a derivada de algumas funções elementares. Apresentaremos a seguir, as regras de derivação para soma, subtração, multiplicação por um escalar, multiplicação e divisão de funções. 1 Regras de Derivação Diferenciação ou derivação é a operação utilizada para encontar a derivada de uma função, quando esta é derivável. Existem alguns resultados que facilitam a operação de diferenciação. Teorema 1. Sejam f e g funções deriváveis e c uma constante real, então a) (f + g) (x) = f (x) + g (x) b) (f g) (x) = f (x) g (x) c) (c f) (x) = x f (x) d) (f g) (x) = f(x) g (x) + g(x) f (x) e) ( f g ) (x) = f (x) g(x) g (x) f(x) [g(x)] 2 Exemplo 1. Calcule f (x), sendo f(x) = x 3 + x Aplicando a regra da derivada da soma, temos: f (x) = [x 3 ] + [x 2 ] + [1] = 3x 2 + 2x. Exemplo 2. Calcule f (x), sendo f(x) = 3x + x. Aplicando a regra da derivada da soma, temos f(x) = 3x + x = 3x + x 1 2 f (x) = x = x 1 2 = x. 1

2 Exemplo 3. Calcule f (x), sendo f(x) = 5x 4 + bx 3 + cx 2 + k, onde b, c e k são constantes. Utilizando a regra da derivada da soma e a derivada da potência, temos: f (x) = 20x 3 + 3bx 2 + 2cx Exemplo 4. Calcule f (x), sendo f(x) = (x 2 + 3x)senx. Aplicando a regra da derivada do produto, temos: f (x) = (x 2 + 3x) cos x + senx(2x + 3). Exemplo 5. Calcule f (x), quando f(x) = 5x x Aplicando a regra da derivada do quociente, temos: f (x) = (5x).(x 2 + 1) (x 2 + 1).(5x) (x 2 + 1) 2 = 5(x2 + 1) (2x).(5x) (x 2 + 1) 2 = 5x x 2 (x 2 + 1) 2 = 5x2 + 5 (x 2 + 1) 2. Exemplo 6. Calcule f (x), para f(x) = tgx. f(x) = tgx = senx cos x Utilizando a regra da derivada do quociente, temos; f (x) = cos x(cos x) ( senx)senx cos 2 x Exemplo 7. Calcule f (x), quando f(x) = 3x2 + 2 x x = cos2 x + sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x = sec2 x. f(x) = 3x2 + 2 x x Aplicando a derivada da soma, temos: = 3x2 x x 2x 2 = 3x + x x = 3x + 2x 1 2 f (x) = 3 x 3 2 = 3 1 x x. Observação 1. O Exemplo 7 nos mostra que nem sempre precisamos aplicar a regra do quociente logo de primeira. Algumas vezes é mais fácil reescrever um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que seja mais simples para derivar. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Exemplo 8. Seja x = t 2 sen(t). Calcule: a) dx dt b) dx dt t=π a) Aplicando a regra da derivada do produto, temos: dx dt = d dt (t2 sent) = 2tsent + t 2 cos t = t(2sent + t cos t). b) Calculando dx dt, temos: t=π dx dt = π(2senπ + π cos π) = π 2. t=π Exemplo 9. Seja y = u 2 em que u = u(x) é uma função derivável. Verifique que Assim, dx = 2udu dx. y = u 2 = u u dx = d du [u u] = dx dx u + udu dx. dx = 2udu dx. Exemplo 10. Calcule dx, em que y = (x2 + 3x) 2. Fazendo u = x 2 + 3x, temos: y = u 2. Pelo Exemplo 9, temos: dx = 2udu dx. Como du dx = d [x 2 + 3x] = 2x + 3, temos: dx dx = 2 (x2 + 3x) (2x + 3). }{{}}{{} u du dx Observação 2. Vimos no Exemplo 9, que sendo y = u 2, com u = u(x) derivável, resulta em Por outro lado: Assim, em (1), temos: y = u 2 dx = 2udu dx. (1) du = d du [u2 ] = 2u. dx = du.du dx, (2) em que deve ser calculado em u = u(x). Mostraremos nas próximas aulas que esta regra (2), conhecida du como regra da cadeia é válida sempre que y = y(u) e u = u(x) forem deriváveis. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Exemplo 11. Calcule f (x), para f(x) = 3 cos 2 (2x). Temos que: f (x) = cos(2x).sen(2x) = 12 cos(2x)sen(2x). ( x ) Exemplo 12. Calcule f (x), quando f(x) = x 3 sen. 3 Temos que: f (x) = 3x cos ( x 3 ). Exemplo 13. Calcule f (x), para f(x) = (5x 1)( x 3 + 5x 3) 4. [5x 1] = 5 [ ( x 3 + 5x 3) 4] = 4( x 3 + 5x 3) 3 ( 3x 2 + 5) Aplicando a regra da derivada do produto, segue que: f (x) = 5.( x 3 + 5x 3) 4 + (5x 1).4( x 3 + 5x 3) 3 ( 3x 2 + 5) = ( x 3 + 5x 3) 3. [ 5( x 3 + 5x 3) + 4(5x 1)( 3x 2 + 5) ] = ( x 3 + 5x 3) 3. [ 5x 3 + 5x ( 15x x + 3x 2 5) ] = ( x 3 + 5x 3) 3. [ 5x x 15 60x x + 12x 2 20 ] = ( x 3 + 5x 3) 3.( 65x x x 35). Exemplo 14. Encontre a equação da reta tangente à curva y = x x no ponto (1, 1). Assim: Note que y = f(x) = x x = x.x 1 2 = x 3 2. y = 3 2 x = 3 2 x = x. 2 Logo, a inclinação da reta tangente em (1, 1) é f (1) = 3 2. Portanto, uma equação da reta tangente é: y f(1) = f (1).(x 1) y 1 = 3 (x 1) 2 Graficamente, temos: y = 3 2 x 1 2 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Exemplo 15. Encontre os pontos sobre a curva y = x 4 6x 2 + 4, onde a reta tangente é horizontal. As retas tangente horizontais ocorrem quando derivada é igual a zero. Temos: dx [x4 6x 2 + 4] = 4x 3 12x = 4x(x 2 3). Assim: 4x(x 2 3) = 0 x = 0 ou x = ± 3. Logo, a curva dada tem tangentes horizontais, quando x = 0, x = 3 e x = 3. correspondentes são (0, 4), ( 3, 5) e ( 3, 5). Graficamente, temos: Os pontos Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Resumo Façaa um resumo das regras de derivação vistas nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o contúeudo desta aula no Capítulo 3 - Seções 3.1 e 3.2 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios da seçãao 3.1 e 3.2 do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6