Primitivação de funções reais de variável real

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1 Capítulo 3 Sugere-se a seguinte bibliografia adicional que completa o estudo a efectuar nas aulas teóricas e nas aulas práticas: Maria Aldina C. Silva e M. dos Anjos F. Saraiva. Primitivação. Edições Asa, 997. Manuel Alberto M. Ferreira e Isabel Amaral. Exercícios de Primitivas e Integrais. Quinta edição. Edições Sílabo, Primitivação Iniciamos este tema com a definição de primitiva de uma função real de variável real. Definição 3. Seja f uma função real de variável real definida no intervalo aberto D = ]a, b[. Primitiva da função f em D é qualquer função real de variável real F, também definida em D, para a qual se tem Exemplo 3. Considere a função F (x) = f(x) para todo o x D. f(x) = + x definida para todo o x R. A função F (x) = arctg (x) é uma primitiva de f dado que (arctg (x)) = + x para todo o x R. F (x) = + arctg (x) é também outra primitiva de f.

2 Observação 3. Se F é uma primitiva de f em D, então a função G(x) = F(x)+c, com c R, é também uma primitiva de f em D. De facto, G (x) = f(x) para todo o x D. Conclui-se que toda a função da forma F(x) + c com c R é uma primitiva de f em D. Quando se primitiva, obtém-se uma família de funções e não apenas uma função. A próxima figura apresenta os gráficos de três primitivas de f(x) = /( + x ). y 0 x Figura 3.: Algumas primitivas de f(x) = /( + x ) Teorema 3. Se F e G são duas primitivas de f em D = ]a, b[, então F e G diferem apenas de uma constante no intervalo D, isto é, F(x) = G(x) + k, k R, qualquer que seja x D. Para demonstrar o resultado anterior é necessário recordar o seguinte corolário do teorema de Lagrange. Corolário 3. (do teorema de Lagrange) Seja f : [a, b] R uma função contínua. Se f (x) = 0 no intervalo aberto ]a, b[, então f é uma função constante em [a, b]. Demonstração - (do teorema 3.) Considere a função h(x) = F(x) G(x) definida em D = ]a, b[. A função h é contínua nesse intervalo (soma de funções diferenciáveis) e h (x) = (F(x) G(x)) = f(x) f(x) = 0, para todo o x D (porque F e G são duas primitivas de f em D). Conclui-se de imediato que h(x) = F(x) G(x) = k, isto é, que F(x) = G(x) + k em D, para algum k R.

3 3.. Primitivação Observação 3. Da observação 3. e do teorema 3., pode concluir-se que, se F é uma primitiva de f em D, então toda a primitiva da função f nesse intervalo é da forma F(x) + c para algum c R. As notações mais usadas para o cálculo da primitiva de uma função são as seguintes: Pf(x) = F(x) + c f(x)dx = F(x) + c, c R. Exemplo 3. xdx = x + c. dx = arctg (x) + c. + x dx = ln(x) + c, (x > 0). x Exercício 3. (a) Verifique que e que sin(x)dx = cos(x) + c sin(x)dx = sin (x) + d (b) Determine qual a relação entre as constantes reais c e d. Teorema 3. (existência de primitiva) Se f é uma função contínua em D = ]a, b[, então f tem primitiva em D. Este resultado fornece uma condição suficiente para a existência de primitiva num intervalo aberto. Vale a pena referir que certas funções descontínuas são mesmo assim primitiváveis. 3

4 Proposição 3. i) Se f é uma função primitivável, então α f(x)dx = α f(x)dx α R \ {0}. (3.) ii) Se f e g são funções primitiváveis, então (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x) dx. (3.) A propriedade (3.) admite a seguinte extensão natural (f (x) ± f (x) ± ± f n (x))dx = f (x)dx ± ± f n (x)dx, n N, quando cada função f i, i =,,...,n, for primitivável no mesmo intervalo D. Ao utilizar em simultâneo as propriedades (3.) e (3.) é costume dizer que se está a primitivar por decomposição. Nem sempre é possível encontrar uma expressão finita para a primitiva de toda a função primitivável. Considere por exemplo as funções e x e sin(x)/x. Ambas as funções são contínuas nos seus domínios. Contudo, não é possível encontrar uma representação da primitiva de cada função, como soma finita de funções elementares. 3. Processos de primitivação Daqui em diante, consideram-se os seguintes processos de primitivação: Primitivação imediata Primitivação por partes Primitivação por substituição 3.. Primitivação imediata Este processo consiste na interpretação, no sentido inverso, da tabela de derivação. Na maior parte das situações a consulta da tabela não é no entanto suficiente. É necessária alguma manipulação algébrica para poder reconhecer uma expressão familiar. 4

5 3.. Processos de primitivação Podem deduzir-se sem dificuldade as seguintes primitivas: 0 dx = c, dx = x + c, k dx = k x + c, k, c R Quando surge uma primitiva da forma u u α dx onde α Q \ { } e u representa uma função da variável x, u u(x), a resposta é quase imediata. Tem-se, u u α dx = uα+ + c, α + α Q \ { }. (3.3) A confirmação é simples. Basta derivar o que obtivemos no segundo membro. ( ) u α+ α + + c = ( u α+ ) α + = α + [(α + )uα+ u ] = u u α. A fórmula (3.3) é usualmente designada como regra da potência. Um caso particular é x α dx = xα+ α + + c, α Q \ { }. Outras expressões podem deduzir-se de forma quase imediata. Para primitivar uma função exponencial de base a, onde a > 0 e a, obtém-se u a u dx = au lna + c. A confirmação é mais uma vez muito simples. ( ) a u lna + c = lna (au ) = lna u a u lna = u a u. Alguns casos particulares são agora u e u dx = e u + c 5

6 e e x dx = e x + c. A consulta de uma tabela de derivação permite escrever de imediato. u dx = ln u + c ( que corresponde a considerar α = em u u cosudx = sin(u) + c u dx = arctg (u) + c + u u dx = arcsin(u) + c. u u u α dx ) Exemplo 3.3 (a) x 3 5x + x + dx. x 3 5x + x + dx = x 3 dx 5 x dx + xdx + dx (b) (c) (d) x(x ) dx. e x dx. x(x ) dx = = 4 + x dx. = x4 4 5x3 3 + x + x + c x dx (x 0, ) x x dx x dx = ln x ln x + c e x dx = / e x dx = ex + c 4 + x dx = 4 ( + x /4) dx = + (x/) dx = arctg (x/) + c 6

7 3.. Processos de primitivação Teorema 3.3 Seja f : D = ]a, b[ R uma função primitivável no intervalo D, x 0 um ponto de D e y 0 R. Existe uma única primitiva F da função f que satisfaz a condição F(x 0 ) = y 0. Demonstração - Admitamos que F e G são duas primitivas de f em D, que satisfazem a condição prescrita. Temos F (x) = G (x) = f(x) em D e F(x 0 ) = G(x 0 ) = y 0. Considerando a função h(x) = F(x) G(x), definida para todo o x D, verifica-se imediatamente que h (x) = 0 em D. Constata-se que h é uma função constante, isto é, que h(x) = k, k R, em D. Calculando h no ponto x 0 obtém-se k = 0, e portanto F(x) = G(x) em todo o intervalo. Exemplo 3.4 Considere o problema da determinação da única primitiva F da função f(x) = xe x que satisfaz a condição F(0) =. O cálculo da expressão geral da primitiva de f revela F(x) = xe x dx = / xe x dx = ex + c. Resolvendo a equação F(0) =, tem-se c = /. Logo, a primitiva pretendida é 3.. Primitivação por partes F(x) = ex + O processo de primitivação por partes baseia-se na expressão da derivada do produto de duas funções. É por este motivo muito utilizado na procura de primitiva para um produto de duas funções. Considere duas funções u e v (da variável x) definidas e diferenciáveis num certo intervalo D. Calculando a derivada do produto de u por v obtém-se expressão que se pode reescrever como (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v (x) = (u(x)v(x)) u (x)v(x). Primitivando por decomposição, ambos os membros da identidade anterior, deduz-se u(x)v (x)dx = [(u(x)v(x)) u (x)v(x)] dx = (u(x)v(x)) dx u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx + c. Isto é, obtém-se a seguinte expressão u(x)v (x)dx = u(x)v(x). u (x)v(x)dx + c (3.4) 7

8 que é a fórmula do processo de primitivação por partes. Assim, se se pretende utilizar a fórmula (3.4) para determinar a primitiva de um produto de duas funções, é necessário identificar uma das funções por u e a outra por v. Exigimos a u que seja uma função diferenciável (porque é preciso calcular u ) e a v que seja uma função primitivável, para a qual se consegue calcular explicitamente uma primitiva (pois é preciso determinar v = v dx). Observação 3.3 É importante observar que a seguinte fórmula não é válida ( f(x)g(x)dx = ) ( f(x)dx ) g(x) dx, isto é, que a primitiva do produto de duas funções não é igual ao produto das primitivas (tal como acontece também com a derivada do produto de duas funções). Daí que, na presença de um produto de duas funções, o processo de primitivação por partes acabe por surgir como uma boa ideia para poder calcular a primitiva da função produto. Observação 3.4 Antes de aplicar o processo de primitivação por partes, convém verificar se a primitiva que se pretende calcular é da forma v(x)v (x)dx. Tudo é mais simples se se observar que estamos na presença de uma primitiva imediata v(x)v (x)dx = v(x) + c. Exemplo 3.5 Pretende-se calcular a primitiva xe x dx. Escolhe-se u(x) = x e v (x) = e x. Tem-se u (x) = e uma primitiva de v é v(x) = e x. Aplicando a fórmula (3.4) resulta xe x dx = xe x = xe x e x + c e x dx + c = (x )e x + c, isto é, xe x dx = (x )e x + c, como se pode comprovar derivando a expressão (x )e x + c. 8

9 3.. Processos de primitivação É natural colocar a seguinte questão: Será que não se consegue obter o mesmo resultado escolhendo u(x) = e x e v (x) = x? À partida, esta opção também não parece apresentar dificuldades. Neste caso, tem-se u (x) = e x e uma primitiva de v é v(x) = x. Obtém-se xe x dx = x e x x e x dx + c. Ou seja, temos agora mais dificuldades pois é preciso calcular x e x dx (elevámos o grau do polinómio que tínhamos inicialmente). Note que a presença da constante de primitivação surge logo na aplicação da fórmula (3.4) e não apenas no final de todos os cálculos. Este é um pormenor importante. De facto, ao aplicar a fórmula (3.4) está implícito que a primitiva de (u(x)v(x)) já foi calculada o que justifica a colocação da constante. Observação 3.5 O sucesso na aplicação do processo de primitivação por partes depende em grande parte da escolha das funções u e v. Para poder escolher adequadamente sugere-se simplesmente o seguinte: Quando existe alternativa na escolha da função a primitivar, deve-se optar por primitivar aquela que menos se simplifica quando derivada. Exercício 3. Calcule: (a) x lnxdx (b) (c) (d) x e x dx sin x cosxdx lnxdx Primitivação por substituição Este processo resulta da aplicação da expressão da derivada de uma função composta. Teorema 3.4 Seja f uma função primitivável no intervalo D = ]a, b[ e seja g uma função simultaneamente diferenciável e invertível num intervalo aberto J de tal forma que g(j) = D. Nestas condições, a aplicação da mudança de variável x = g(t) permite escrever ( f(x)dx = ) f(g(t))g (t)dt + c, c R. (3.5) t= g (x) 9

10 O resultado anterior estabelece uma fórmula para a mudança de variável no cálculo da primitiva de uma função. Com a substituição pretende-se simplificar o cálculo da primitiva, isto é, espera-se que a primitiva que surge no segundo membro da equação (3.5) seja mais simples de determinar que a primitiva da função inicial. Note que a primitiva no segundo membro de (3.5) é calculada em ordem à variável t, dando lugar à posterior substituição de t por g (x). Demonstração - Para obter o resultado pretendido basta mostrar que ( ) f(x)dx = f(g(t))g (t)dt + c, (3.6) x = g(t) isto é, F(g(t)) = f(g(t))g (t)dt + c, (3.7) dado que g é uma função invertível. Aplicamos a regra da derivada de uma função composta a ambos os membros da equação (3.7). A derivada, em ordem à variável t, da expressão que está no primeiro membro origina d dt (F(g(t))) = F (g(t)) g (t) = f(g(t)) g (t). A derivada, em ordem à variável t, da expressão que está no segundo membro de (3.7) origina agora ( d dt ) f(g(t))g (t)dt + c = f(g(t)) g (t). Obteve-se o mesmo resultado em ambas as derivações, ou seja, pode deduzir-se a identidade (3.6) e consequentemente (3.5). Assim, os passos a efectuar na aplicação do processo de primitivação por substituição ao cálculo da primitiva são os seguintes: f(x)dx. Identificar a mudança de variável adequada x = g(t) onde g é uma função diferenciável e invertível. Para tal, recorre-se geralmente à consulta de uma tabela de substituições.. Primitivar a função f(g(t)) g (t) em ordem à variável t, isto é, calcular f(g(t))g (t)dt. 3. Finalmente, repor a variável original, isto é, substituir no resultado obtido no passo anterior a variável t por g (x). 0

11 3.. Processos de primitivação Exemplo 3.6 (a) Calcular (lnx) dx, x > 0. x A primitiva pode calcular-se directamente. Basta notar que a função que se pretende primitivar é da forma u u com u = lnx. Mostramos que a aplicação do processo de primitivação por substituição também permite resolver a primitiva pretendida. Primeiro passo: Consideramos a substituição x = e t, isto é, escolhemos g(t) = e t que é uma função invertível e diferenciável em todo o seu domínio. A sua derivada é g (t) = e t. Se x = e t, então t = lnx e portanto g (x) = lnx. Segundo passo: Calcula-se f(g(t))g (t)dt. Tem-se (lne f(g(t))g t ) (t)dt = e t = t dt e t dt = t3 3 + c. Finalmente, substituindo t por g (x), obtém-se a primitiva pretendida, ( ) (lnx) t 3 dx = x 3 + c = (lnx)3 + c, c R. t= ln x 3 (b) Determinar x + x dx, x > 0. Consideramos a substituição x = t, isto é, escolhemos g(t) = t, exigindo t 0 para que g seja uma função invertível. Temos então t = x. Assim, Logo, t f(g(t))g + (t)dt = t dt t = t3 3 + t + c. ( ) x + t 3 dx = x 3 + t + c = x x + x + c, c R. t= x 3

12 (c) Calcular x dx, x [, ]. Consideramos a substituição x = sin t. Tomando t [ π/, π/] tem-se t = arcsinx. Daqui resulta, f(g(t))g (t)dt = (sin t) costdt cos = t costdt = costcostdt = cos t dt (porque t [ π/, π/]) + cos(t) = dt = t + sin(t) + c. 4 Porque se pretende que o resultado final seja o mais simples possível, é preciso simplificar um pouco mais a expressão obtida. Tem-se f(g(t))g (t)dt = t sint cost + + c = t 4 + sin t cost + c. Usando a fórmula fundamental da trigonometria com sint = x e t [ π/, π/] deduz-se que cost = x. Logo, a primitiva pretendida é x dx = arcsinx + x x 3.3 Primitivação de funções racionais Iniciamos esta secção com a definição de uma função racional. Definição 3. A toda a função definida como o quociente de dois polinómios chama-se função racional. Ou seja, função racional é toda a função da forma + c. f(x) = p(x) d(x) = a 0 + a x + + a n x n b 0 + b x + + b m x m (n, m N 0 ), (3.8) definida para todo x R tal que d(x) 0. Definição 3.3 Uma função racional diz-se imprópria se o grau do polinómio em numerador for superior ou igual ao grau do polinómio em denominador. Caso contrário, a função racional diz-se própria.

13 3.3. Primitivação de funções racionais É costume chamar fracções racionais às funções racionais (3.8) para as quais m. O próximo resultado indica que toda a fracção racional própria se pode escrever como soma de determinadas fracções. Teorema 3.5 Toda a fracção racional própria se pode decompor na soma de certas fracções racionais designadas como fracções simples. A esta decomposição muito particular chama-se decomposição em elementos simples. Recordamos o processo composto de três etapas que permite obter a decomposição enunciada no teorema. Considera-se a fracção racional própria p(x) d(x).. Determinam-se os zeros do polinómio d em denominador, isto é, as raízes da equação d(x) = 0.. Efectua-se a seguinte correspondência: (i) Cada raiz real simples α origina a fracção simples A x α onde A é uma constante real a determinar. (ii) Cada raiz real α de multiplicidade k origina as k fracções simples B x α, B (x α),... B k (x α) k, onde B,...,B k são k constantes reais a determinar. (iii) Cada par de raízes complexas conjugadas a± bi origina uma fracção simples da forma Cx + D (x a) + b onde C e D são constantes reais a determinar. (iv) Cada par de raízes complexas conjugadas a ± bi de multiplicidade k dá origem a k fracções simples da forma C x + D (x a) + b, C x + D [(x a) + b ],... C k x + D k [(x a) + b ] k, onde C,..., C k e D,..., D k são constantes reais a determinar. 3. Por fim, a fracção racional própria reescreve-se como a soma de todas as fracções simples apresentadas na etapa anterior. 3

14 A primitivação de uma função racional própria p(x) d(x) é agora bastante simples. Basta executar os seguintes passos:. Decompor a fracção racional própria em elementos simples com o respectivo cálculo das constantes.. Primitivar por decomposição sabendo que: (i) A fracção simples associada a uma raiz real simples origina um logaritmo. (ii) As fracções simples associadas a uma raiz real de multiplicidade k originam um logaritmo e k potências. (iii) A fracção simples associada a um par de raízes complexas conjugadas dá Observação 3.6 origem a um logaritmo ou um arco-tangente. Nestas notas optamos por não descrever o caso das raízes complexas conjugadas de multiplicidade k. Este assunto específico encontra-se na bibliografia citada no início deste capítulo. Exemplo 3.7 (a) Pretende-se calcular x 4 dx, x 4 0. Os zeros do polinómio d(x) = x 4 são x = ± e a decomposição em elementos simples é x 4 = (x )(x + ) = A x + B x +. Para determinar A e B recorremos ao método dos coeficientes indeterminados que descrevemos de seguida. Tem-se a decomposição Logo, x 4 = A x + B x +. A(x + ) + B (x ) x = 4 x. 4 4

15 3.3. Primitivação de funções racionais Da igualdade das fracções resulta a equação = A(x + ) + B (x ), que é equivalente a = (A + B)x + (A B). Da identidade de polinómios resulta A + B = 0 A B = e portanto A = / B = / A decomposição em elementos simples fica agora completa x 4 = / x / x +. Assim, x 4 dx = = / x dx x dx / x + dx x + dx = / ln x / ln x + + c. (b) x + x + 3 dx onde x,. (x )(x + ) A decomposição da fracção racional própria em elementos simples origina x + x + 3 (x )(x + ) = A x + B x + + B (x + ) = 3/ x / x + (x + ). Logo, x + x + 3 (x )(x + ) dx = 3/ x dx / x + dx (x + ) dx = 3/ ln x / ln x + + x + + c. 5

16 Quando a fracção racional p(x) d(x) é imprópria, deve efectuar-se a divisão dos polinómios até que o polinómio resto - r - tenha grau inferior ao grau de d. Obtém-se assim a decomposição p(x) r(x) = q(x) + d(x) d(x) onde q representa o polinómio quociente da divisão e é agora uma fracção racional própria. r(x) d(x) Exemplo 3.8 (a) x 3 + x + x + 3 x dx onde x Porque a fracção racional é imprópria, é necessário efectuar a divisão dos dois polinómios. Obtém-se x 3 + x + x + 3 x + Observa-se que a fracção racional própria = x + + x x +. x x + já se encontra na sua forma mais simples. Esta corresponde ao par de raízes complexas conjugadas x = ± i. Assim, x 3 + x + x + 3 x x dx = x + dx + + x + dx = x + dx + x + dx x x + dx / x = x + dx + ( ) dx x/ + x + dx = x + dx + / / ( ) dx / x/ + x x + dx = x + x + ( / arctg x ) / / ln(x + ) + c. 6