ANÁLISE MATEMÁTICA II

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1 ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Séries de Potências DMAT

2 Séries de Potências As séries de potências são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Sendo x uma variável e a, chama-se série de potências centrada em a (série de potências em torno de a ou série de potências de x a), a qualquer série da forma ou seja a n x a n, a 0 a 1 x a a n x a n onde a n é uma sucessão real (cujos termos se designam por coeficientes da série de potências). Em particular, chama-se série de potências de x a qualquer série da forma ou seja a n x n, a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n Ao conjunto dos valores reais que, substituídos na série de potências, originam uma série numérica convergente chama-se domínio de convergência da série de potências. Observação: Uma série de potências é uma função de x, cujo domínio é o conjunto dos valores reais que, substituídos em x, originam uma série numérica convergente (o domínio de convergência da série). Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 1

3 Exemplo Importante (série de potências geométrica): O intervalo 1, 1 é o domínio de convergência da série Mais, para qualquer x 1, 1, x n 1 x x 2 x n x n 1 1x. A série x n 1 define a função em 1, 1, 1x e só neste intervalo, apesar de 1 1x estar definida em \1. Raio de convergência e intervalo de convergência O domínio de convergência de uma série de potências centrada em a nunca é vazio. De facto, a n aa n a a 0. Portanto, a pertence ao domínio de convergência da série (e fa a 0 ). Mais, o domínio de uma série de potências centrada em a é sempre um intervalo centrado em a. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 2

4 Para uma série de potências centrada em a, é satisfeita exactamente uma das seguintes alternativas: 1. a série de potências é convergente apenas em a; 2. existe um número real R 0 tal que a série de potências é absolutamente convergente para os valores de x tais que x a R e diverge para x a R; 3. a série é absolutamente convergente para todo o x. Definição: Seja a n x a n uma série de potências em torno de a e considere-se R 1 lim n a n (com R 0, se lim n a n e R, se lim n a n 0). A este valor R chama-se raio de convergência da série de potências. O intervaloar,a R designa-se por intervalo de convergência da série. Proposição: Seja R o raio de convergência duma série de potências centrada em a. Então se R 0, a série é convergente apenas em a. se R, a série é absolutamente convergente em a R,aR e divergente em, a R ar,. se R a série é absolutamente convergente para todo o x. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 3

5 Nota 1: A proposição nada afirma sobre a convergência da série nos extremos do intervalo de convergência. É necessário estudar, para a série em causa, o que se passa em cada um dos extremos do intervalo. Nota 2: Frequentemente, o domínio de convergência da série de potências é designado por intervalo de convergência. Não é esta a convenção que fazemos. Proposição: O raio de convergência de uma série de potências a n x a n, de coeficientes diferentes de zero, é igual a desde que este limite exista. lim a n a n1, Exemplo (série exponencial): A série de potências x n 1 x x2 2! x3 3! xn é absolutamente convergente em. (Veremos que a soma desta série é e x, para qualquer x. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 4

6 Operações com séries de potência Proposição: Sejam fx a n x n e gx 0 b n x n duas séries de potência de x, com raios de convergência não nulos, e R o raio de convergência da primeira série. Se k é um número real e N um um número natural, então: 1. fkx a n k n x n, para kx R; 2. fx N a n x nn, para x N R; 3. fx gx a n b n x n, na intersecção dos domínios de convergência; 4. fx gx a n b n x n, na intersecção dos domínios de convergência. Observação 1: Saliente-se que as operações acima podem mudar o intervalo de convergência e que nos extremos a convergência terá que ser estudada directamente. Observação 2: Resultados análogos aos anteriores são válidos para séries de potências de x a. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 5

7 Derivação e integração de séries de potências Um intervalo da forma a, a, com 0, diz-se uma vizinhança de a. Definição: Uma função f diz-se analítica num ponto a, do seu domínio, se f é a soma de uma série de potências de a, nalguma vizinhança de a. Isto é, se existe uma sucessão a n tal que, para algum 0, fx a n x a n, x a, a. Exemplo: A função fx 1 1x é analítica em 0. Proposição: Considere-se a série de potências a n x a n, com raio de convergência R, e a série que se obtém derivando-a termo a termo: n1 Então: n a n x a n1 a 1 2a 2 x a n a n x a n1 1. as duas séries têm o mesmo raio de convergência R; 2. se R 0, a função fx a n x a n é derivável no intervaloar, a R e f x n1 n a n x a n1. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 6

8 Nota: Os domínios de convergência das duas séries podem ser diferentes, em virtude dos seus comportamentos nos extremos. Corolário: Uma função definida por uma série de potências de x a, com raio R 0, é indefinidamente derivável em ar, a R e as suas derivadas calculam-se derivando sucessivamente as séries termo a termo. Exemplo: Mostre que a função 1 1x 2 é analítica em 0 (desenvolva-a em série de potências de x). Corolário: Seja a n x a n raio de convergência R 0. uma série de potências, com Então, a função definida em ar,a R por fx a n x a n é primitivável neste intervalo e Pfx com C uma constante real. Pa n x a n a n x a n1 n 1 C, Ou seja, uma função definida por uma série de potências de x a, com raio R 0, é primitivável em a R, ar e as suas primitivas obtêm-se primitivando a série termo a termo. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 7

9 Exemplo: No intervalo 1, 1, Para x 1, obtém-se a série lnx 1 1 n 1 n 1 n1 x n1 n 1. (a série harmónica alternada) que é simplesmente convergente. Daqui pode-se justificar que a soma da série harmónica alternada é ln2. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 8

10 Série de Taylor e série de Mac-Laurin Definição: Seja f uma função indefinidamente diferenciável a. Chama-se série de Taylor de f no ponto a à série de potências isto é a f n a x a n fa f ax a f a 2! x a 2 fn a x a n Chama série de Mac-Laurin de f à série de Taylor de f em a 0, isto é, a ou seja f0 f 0x f 0 2! f n 0 x n x 2 fn 0 x n Exemplos Importantes: 1. A série de Mac-Laurin de e x é x n 1 x x2 2! x3 3! xn Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 9

11 2. A série de Mac-Laurin de sen x é isto é x x3 3! x5 5! 1n x 2n1 2n 1! 1 n 2n 1! x2n1 3. A série de Mac-Laurin de cosx é isto é 1 x2 2! x4 4! 1n x 2n 2 1 n 2 x2n Observação: O facto de podermos escrever a série de Taylor de uma função num ponto não garante que a função seja soma dessa série, mesmo no intervalo de convergência da série. Por exemplo, a função fx e 1 x 2 se x 0 0 se x 0. é indefinidamente diferenciável em \0. Pode-se provar que, em x 0, as suas derivadas, de qualquer ordem, existem e são 0. A função f apenas se anula em 0, pelo que não é igual à soma da sua série de Mac-Laurin num intervalo centrado em 0. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 10

12 Definição: Diz-se que uma função f é desenvolvível em série de Taylor num ponto a se f é soma da sua série de Taylor nalgum intervalo centrado em a. Proposição: Seja f uma função indefinidamente diferenciável num intervalo aberto I, centrado em a, e R n x o resto de ordem n do seu polinómio de Taylor em a. Então, f é soma da sua série de Taylor em a, no intervalo I, sse lim R n x 0, x I. n Proposição: (C. Suf. de Desenvolvimento em Série de Taylor) Seja f uma função indefinidamente diferenciável no intervalo ar, ar, para a qual existe uma constante M tal que xar,ar : f n x M. Então, neste intervalo, f é soma da série de Taylor no ponto a, isto é, fx f n a x a n, x ar,a R. Nota: Para aplicar esta proposição temos que majorar f e todas as suas derivadas, em ar, a R, pela mesma constante. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 11

13 Exemplos Importantes: Para qualquer x, 1 senx n 2n1! x2n1 x x3 x5 1 n x 2n1 3! 5! 2n1! 1 cosx n 2 x2n 1 x2 x4 1 n x 2n 2! 4! 2 e x 1 xn 1x x2 x3 xn 2! 3! Em particular, e 1. Teorema (unicidade do desenvolv. em série de potências): Se f x a n x a n, nalgum intervalo aberto centrado em a, então essa série coincide com a série de Taylor de f em a. Isto é, para qualquer n 0, a n fn a. Observação 1: Este Teorema garante que, caso uma função seja soma de uma série de potências (num intevalo aberto), então essa série coincide com a sua série de Taylor. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 12

14 Para cada uma das funções do exemplo anterior, determinou-se a série de Taylor da função e provou-se, pela condição suficiente de desenvolvimento em série de Taylor, que a função é igual à soma da série; este processo é, em geral, trabalhoso. Tem-se agora uma alternativa que, frequentemente, permite obter, de um modo muito mais simples, o desenvolvimento de uma função em série de Taylor num ponto a: mostra-se que a função é soma uma certa série de pontências de x a (num intervalo aberto centrado em a), a partir de desenvolvimentos conhecidos e/ou dos resultados sobre derivação e integração de séries; aplica-se o teorema da unicidade do desenvolvimento em série de potências para garantir que essa série é a série de Taylor da função no ponto a. Exemplos: 1. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de 1 1x é x n 1 x x 2 x n, x 1,1. 2. O desenvolvimento em série de Mac-Laurin de lnx 1 é 1 n x n1 n1, x 1, 1. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 13

15 Aplicação das séries de potências à primitivação Muitas funções, embora sejam primitiváveis, não podem ser primitivadas recorrendo às técnicas já dadas: primitivas imediatas, primitivação por partes e primitivação por substituição. Diz-se que f é uma função elementar se pode ser obtida por um número finito de operações de adição, multiplicação, divisão e composição, a partir de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, directas ou inversas. A função é uma função elementar. e x2 Pode-se provar que a sua primitiva não é elementar, pelo que não pode ser obtida, pelos métodos referidos, a partir de funções elementares. Da primitivação de séries de potências e do desenvolvimento conclui-se que e x x n, em Pe x2 1 n x 2n1 2n1 C, com C constante real. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 14

16 Desenvolvimentos Fundamentais Recordem-se alguns desenvolvimentos indispensáveis: 1 1x n1 x n1 1xx 2 x 3, para 1 x 1; e x x n 1x x2 x3, em; 2! 3! senx 1 n x 2n1 2n1! x x3 3! x5 5! x7 7!, em; cosx 1 n x 2n 2 1 x2 2! x4 4! x6 6!, em. Ana Matos - AMII 13/14 Séries Pot. - 15