Fichas de Análise Matemática III

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1 Fichas de Análise Matemática III Fernando Lobo Pereira, João Borges de Sousa Depto de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Instituto de Sistemas e Robótica - Porto Rua Dr. Roberto Frias Porto, Portugal flp@fe.up.pt Conteúdo: Funções de Variável Complexa. Números complexos, Funções complexas, Continuidade 2. Diferenciabilidade, Funções harmónicas 3. Integração complexa, Teorema de Cauchy 4. Séries numéricas complexas, Testes de convergência e divergência 5. Séries de funcionais complexas, Convergência uniforme, Propriedades 6. Séries de potências, Série de Laurent, Teorema dos Resíduos Equações Diferenciais Ordinárias A INCLUIR Bibliografia [] Saff, Snider. Fundamentals of Complex Analysis. Prentice Hall, 2nd. ed., 993. [2] Maria do Rosário Pinho, Maria Margarida Amorim Ferreira. Análise Matemática 3 - Notas das Aulas Teóricas. Parte A - Análise Complexa. FEUP, [3] Maria do Rosário Pinho, Maria Margarida Amorim Ferreira. Análise Matemática 3 - Exercícios. Parte A - Análise Complexa. FEUP, [4] Fernando Lobo Pereira. Exercícios de introdução aos números complexos. FEUP, [5] Course- Home/index.htm

2 Números complexos. Funções complexas. Continuidade. Objectivos Operar algebricamente com números e funções complexos. Interpretar geometricamente as operações com números complexos. Relembrar algumas noções básicas de topologia no contexto de C..2 Conteúdo N ō complexo. Operações com números complexos. O conjunto dos números complexos C := {z = a+ib : a, b R} constitui um corpo identificado com o espaço vectorial R 2. Adição: z + z 2 = (a + a 2 ) + i(b + b 2 ), Produto: z z 2 = (a + ib ) (a 2 + ib 2 ) = (a a 2 b b 2 ) + i(a b 2 + a 2 b ) Representação exponencial { a = ρ cos(θ), a + ib = ρe iθ se e só se b = ρ sin(θ) e { ρ = a2 + b 2, θ = arctan( b a ) + 2kπ, k = 0,, 2,..... Seja z = ρe iθ. z k = ρ k e ikθ, k = 0, ±, ±2,.... Seja z = ρe iθ. n z = { n ρ(cos 2kπ n Noções topológicas (em R 2 ). z z 2 = (a a 2 ) 2 + (b b 2 ) 2 B := {z C : z } 2kπ + i sin ) : k = 0,,..., n } n Sejam S C e z S. z é ponto de fronteira se e só se ɛ > 0, z + ɛb S e z + ɛb S c. Um conjunto é fechado se contém todos os pontos da sua fronteira. Umconjunto é aberto se não contem qualquer ponto da sua fronteira. S é convexo se e só se z, z 2 S e α (0, ), αz + ( α)z 2 S. Um conjunto aberto é conexo se e só se é possível unir dois quaisquer dos seus pontos por uma curva contínua totalmente contida no conjunto. Um conjunto é simplesmente conexo se e só se contiver todos os pontos do conjunto delimitado por qualquer percurso fechado (lacete). Def. Seja {z n } n= C. z n z se e só se ɛ, N N : n N z n z < ɛ. Função de variável complexa (domínio e contradomínio complexos). f : C C, i.e., Z = f(z) C, onde z = x + iy, Z = X + iy, sendo X = u(x, y) e Y = v(x, y). Alternativamente, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Def. f é contínua em z se e só se ɛ > 0, δ > 0 tal que z z < δ f(z) f( z) < ɛ.

3 2 Diferenciabilidade. Funções harmónicas 2. Objectivos Calcular derivadas de funções complexas de variável complexa. Operar as regras de cálculo diferencial. Utilizar as propriedades das funções harmónicas 2.2 Conteúdo f(z) f(z 0 ) Def. f : C C é diferenciável em z 0 se e só se lim existe e é único. Este limite - z z 0 z z 0 f (z 0 ) - é a derivada. Condições necessárias e suficientes de diferenciabilidade. f : C C, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), é diferenciável em z 0 = x 0 + iy 0 se e só se: u(x, y) e v(x, y) são diferenciáveis em (x 0, y 0 ). u Condições de Cauchy-Riemann. x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Expressões da derivada de f : C C: f (z) = ( u x + i v x )(x 0, y 0 ) = ( u x i u y )(x 0, y 0 ) = ( v y + i v x )(x 0, y 0 ) = ( v y i u y )(x 0, y 0 ). Diferenciabilidade implica continuidade. Regras de Cálculo. Sejam A e B conjuntos abertos em C, f : A C e g : B C diferenciáveis. f + g é diferenciável em A B e (f + g) (z) = f (z) + g (z), z A B. f g é diferenciável e (f g) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z), z A B. Sejam f(z) 0, z A e h(z) = f(z). Então, h é diferenciável em A e h (z) = f (z) f 2 (z), z A. Seja f(a) B. Então, g f é diferenciável em A e (g f) = g (f(z)) f (z). Se f é uma bijecção (injectiva e sobrejectiva) de A em B, então g = f é diferenciável z A tal que f (z) 0. Neste caso, g (f(z)) = (f ) (f(z)) = f, z A. (z) Alternativamente, (f ) (z) = f (f (z)), z B tal que f (f (z)) 0. Seja : I C, I R, diferenciável em t 0 I, então f é diferenciável em t 0 e (f ) (t 0 ) = f ((t 0 )) (t 0 ). Def. f : C C é holomorfa (ou analítica) em z 0 se e só se é diferenciável numa vizinhança de z 0. Def. u : Ω R, Ω R 2 simplesmente conexo, é uma função harmónica se e só se for duplamente diferenciável (ou seja, as segundas derivadas parciais são contínuas) e o Laplaciano for nulo, ou seja, 2 u x u y 2 = 0. Def. A função harmónica v : Ω R é conjugada da função harmónica u : Ω R se f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) for holomorfa.

4 3 Integração complexa. Teorema de Cauchy 3. Objectivos Calcular Integrais ao longo de caminhos. Utilizar as propriedades destes. Cálculo de primitivas em domínios conexos. 3.2 Conteúdo Def. : [a, b] C, [a, b] R, b > a, é um caminho se for contínua e continuamente diferenciável por segmentos. Def. Lacete é um caminho t.q. (a) = (b). Diz-se lacete simples se t, t 2 ]a, b[, (t ) (t 2 ). Def. O comprimento do caminho é calculado pelo integral L() = b a (t) dt. Def. Dois lacetes : [a, b] C, 2 : [a, b] C são homotópicos se existir uma transformação contínua H : [a, b] [c, d] C tal que H(t, c) = (t), t [a, b], H(t, d) = 2 (t), t [a, b], e H(a, s) = H(b, s), s [c, d]. Interpretação geométrica: O lacete 2 pode ser obtido do lacete por uma deformação contínua, sendo todos os percursos intermédios lacetes. Def. Seja f : C C, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy, e : [a, b] C, (t) = (t) + i 2 (t), e ū(t) = u( (t), 2 (t)) e v(t) = v( (t), 2 (t)). O integral de f ao longo de, é: b b f(z)dz = f((t)) (t)dt = {ū(t) (t) v(t) 2(t) + i[ū(t) 2(t) + v(t) (t)]}dt. Propriedades do integral a Se f(z) M, z ([a, b]), então a f(z)dz ML(). Se = 2 - a justaposição de dois caminhos - então f(z)dz = f(z)dz + 2 f(z)dz. Se e 2 são dois caminhos opostos ( (t) = 2 (a + b t)), então f(z)dz = 2 f(z)dz. Def. Seja f : C C contínua em D, aberto e conexo. F : C C, holomorfa em D, é primitiva de f em D se e só se F (z) = f(z), z D. f : C C holomorfa em D, aberto e conexo, tem uma primitiva se e só se f(z)dz = 0 para qualquer lacete contido em D. Qualquer primitiva de f pode ser obtida por F (z) = (z) f(u)du+ C onde (z) é um caminho arbitrário em D que começa num ponto arbitrário z 0 e termina em z. Teorema de Cauchy. Seja f : C C holomorfa em D, aberto e conexo, e e 2 dois lacetes homotópicos em D, então f(z)dz = 2 f(z)dz. Se D é simplesmente conexo, então f(z)dz = 0, para qualquer lacete em D. Fórmulas de Cauchy. Sejam f : D C holomorfa, sendo D C aberto e conexo, e um lacete simples orientado positivamente (sentido anti-horário) em D. Então, z no interior do conjunto delimitado por, f(z) = f(u) u z du, n N, f (n) (z) = n! f(u) (u z) n+ du e f (n) (z) é holomorfa em D. Sejam f holomorfa em D C, D aberto e conexo, z 0 D e D R (z 0 ) = {z C : z z 0 R} D. Se f(z) é limitada em C, então f é constante em C. Teorema da Média. 2π 2π Série de Taylor. {c n } t.q. f(z) = 0 f(z 0 + Re iθ )dθ = f(z 0 ). n=0 c n (z z 0 ) n, sendo c n = z z 0 =R f(u) du. (u z 0 ) n+

5 4 Séries numéricas complexas. 4. Objectivos Determinar a convergência de séries numéricas complexas. 4.2 Conteúdo Def. z n é uma série de números complexos. Def. n= f n (z) converge se e só se Z C, designado de f(z) tal que n= ε > 0, N N, tal que n > N f(z) n= n= n= n f k (z) < ε. Seja z n = x n + iy n, n, então z n = (x n + iy n ) = x n + i y n. n= z n converge se e só se n= x n e n= y n convergem. z n converge absolutamente se e só se z n converge. n= z n converge se e só se a sucessão de somas parciais {s k }, s k = n= n= {s k } converge se e só se for uma sucessão de Cauchy: k= n= k z n, converge. ε > 0, p N, N N tal que n > N, s n+p s n = z n z n+p < ε. ( ) ( ) n Produto de Cauchy: c n = a n b n sendo c n = a k b n k+. n= Critérios de convergência. n= Se n= z n converge, então z n 0. n= Convergência absoluta implica convergência. Teste do quociente. Seja z n 0, n e L = lim z n+ n z n Se L =, o teste não é conclusivo.. Então, Teste da raíz. n Seja z n 0, n e L = lim zn. Então, n Se L =, o teste não é conclusivo. n= n= n= k= z n { converge absolutamente se L < diverge se L >. z n { converge absolutamente se L < diverge se L >. O produto de Cauchy de duas séries absolutamente convergentes, é absolutamente convergente. O produto de Cauchy de uma série absolutamente convergente por outra simplesmente convergente, é simplesmente convergente.

6 5 Séries funcionais complexas. 5. Objectivos Determinar a convergência de séries funcionais complexas. Utilizar as propriedades das séries uniformemente convergentes. Analisar séries de potências. 5.2 Conteúdo Def. Sejam n N, f n : D C e D C, n= f n designa uma série funcional complexa. Interpretação: z D, n= f n(z) é uma série numérica complexa. Def. n= f n converge pontualmente em A D se e só se, z A, a série numérica n= f n(z) converge. Def. Domínio de convergência é o conjunto dos pontos z D onde n= f n(z) converge. Def. n= f n converge uniformemente para f em A D se e só se, n ε > 0, N N, N = N(ε), tal que n > N, f(z) f k (z) < ε, z A. Teste de convergência uniforme. Sejam n= f n, f : D C, D C e seja {α n } n=, α n R, n N e n= α n convergente, tal que sup z D f n (z) α n. Então n= f n converge uniformemente em D. Propriedades das séries uniformemente convergentes. Continuidade. Sejam f n : D C contínua n N, D C aberto, e n= f n converge para f : D C uniformemente em D. Então f é contínua em D. Integração termo a termo. Sejam f n : D C contínua n N, e D C aberto, tal que n= f n converge para f : D C uniformemente em D. Seja um caminho em D. Então n= f n(z)dz converge para f(z)dz. Derivação termo a termo. Sejam f n : D C diferenciável n N, e D C aberto, tal que n= f n converge para f : D C pontualmente em D. Suponha que n= f n converge para g : D C uniformemente em D. Então f (z) = g(z) = n= f n(z). Def. Série de potências é uma série funcional de termo geral f n (z) = a n (z z 0 ) n. Convergência. Seja n= a n(z z 0 ) n. Se a série converge para z = z z 0, então, converge absolutamente para todo o z tal que z z 0 < z z 0 e uniformemente para todo o z tal que z z 0 r, r (0, z z 0 ). Se diverge em z = z 2, então diverge para todo o z tal que z z 0 > z 2 z 0. Def. Raio de convergência. R = sup{ z z 0 : n= a n(z z 0 ) n converge}. Propriedades das séries de potências. Seja f(z) = n= a n(z z 0 ) n, R o seu raio de convergência e B R (z 0 ) := {z : z z 0 < R}. f(z) está bem definida e é contínua em B R (z 0 ). f(z) é diferenciável em B R (z 0 ) e f (z) = na n (z z 0 ) n. Seja um lacete simples em B R (z 0 ) orientado positivamente. Então a n = n= k= f(z) dz. (z z 0 ) n+ Seja f(z) holomorfa em D C, aberto e conexo, e z 0 D. Então existe uma única série de potências centrada em z 0 em B R (z 0 ) D, i.e., f(z) = n= a n(z z 0 ) n em B R (z 0 ), sendo os coeficientes a n = n! f (n) (z 0 ).

7 6 Singularidades. Teorema dos resíduos 6. Objectivos Representar uma função em série de potências em pontos onde não é holomorfa. Classificar singularidades. Aplicar o teorema dos resíduos. 6.2 Conteúdo Def. Seja f : D C holomorfa e D C aberto. z 0 C é uma singularidade isolada de f se z 0 / D e δ > 0 tal que z C, 0 < z z 0 < δ z D. Def. Desenvolvimento de Laurent. Sejam f : D C holomorfa, D C aberto e conexo, z 0 C uma singularidade isolada de f e ρ > 0 tal que B ρ(z 0 ) = {z : 0 < z z 0 < ρ} D. Então, z B ρ(z 0 ), f é unicamente representada por: sendo c n = e r (0, ρ). f(z) = c n (z z 0 ) n + n=0 f(z) (z z 0 ) n+ dz e d m = m= d m (z z 0 ) m, f(z)(z z 0 ) m dz, onde (t) = z 0 +re it, t [0, 2π] No desenvolvimento de Laurent, a série n=0 c n(z z 0 ) n é convergente para z z 0 < ρ e a série d m m= (z z 0 ) é convergente para z z m 0 > 0. Classificação das singularidades. Sejam f : D C, D C e z 0 C uma singularidade isolada de f. Então f(z) = c n (z z 0 ) n d m + (z z 0 ) m, z B ρ(z 0 ) D, ρ > 0. n=0 m= Singularidade Removível ou aparente. Se d m = 0, m N. Pólo de ordem (ou multiplicidade) N. Se N N tal que d N 0 e d m = 0, m > N. Singularidade essencial. Se N N, m > N tal que d m 0. Def. Sejam f : D C holomorfa, D C aberto e conexo e z 0 uma singularidade isolada de f. Res a f, o resíduo de f em z 0, é d, o coeficiente do termo z z 0 do desenvolvimento em série de Laurent de f em torno de z 0. Cálculo dos resíduos. Pólo simples (ordem ). Res a f = lim z z 0 (z z 0 )f(z). Pólo de ordem N. Res a f = (N )! lim z z 0 { } d N dz N ((z z 0) N f(z)). Teorema dos resíduos. Sejam D C aberto, simplesmente conexo, f : D C holomorfa em D = D \ {z,..., z k }, k <, e um lacete simples, contido em D e orientado positivamente. Então, f(z)dz = Res zj f z j C() sendo C() D o interior do conjunto delimitado pelo lacete. Def. Zero de ordem N. f(z 0 ) = f (z 0 ) =... = f (N ) (z 0 ) = 0 e f (N) (z 0 ) 0. Seja f(z) holomorfa em z 0, sendo este um zero de ordem N. Então, f(z) tem um pólo de ordem N em z 0. h(z) f(z) tem um pólo de ordem N em z 0, sempre que h(z) for holomorfa em z 0 com h(z 0 ) 0.