Análise Complexa- integrais, teoremas e resíduos 2013 /2014 Docente: Rosário Laureano

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1 Análise Complexa- integrais, teoremas e resíduos 2013 /2014 Docente: Rosário Laureano Sejah:[a,b] Cumafunçãocomplexadevariávelrealdefinidapor h(t)=u(t)+iv(t),parafunçõesuevcontínuasem[a,b]. Integral curvilíneo da função h no intervalo [a,b]: é o número complexo definido por b a h(t)dt= b a [u(t)+iv(t)]dt= b a u(t)dt+i b a v(t)dt. Osintegraisdeuedevsãodefunçõesreaisdeumavariávelreal. No que segue, consideramos f uma função complexa de variável complexa definidanumconjuntoabertoa C. Sejama,b R,coma b. Curva em C: é o contradomínio de uma função complexa contínua :[a,b] Cdevariávelreal, (t)=x(t)+iy(t), t [a,b]. A função é designada por parametrização da curva, sendo t o parâmetro real. Podemos pensar numa curva como a trajectória de um ponto material x(t)+iy(t)noplanocomplexoc,emcadainstantet,comtavariar numintervalodetempo[a,b]. Sejat 0 [a,b]. Vectortangenteàcurvanopontot=t 0 : éonúmerocomplexo (t 0 )=x (t 0 )+iy (t 0 ) Emcadainstantet,ovectortangente(x (t),y (t))=x (t)+iy (t)pode ser interpretado como o vector velocidade de um ponto material, com posição(x(t),y(t)). Curva suave (ou regular): quando as funções x(t) e y(t) têm derivadas contínuas no intervalo [a,b] e o vector tangente (t) = x (t)+iy (t) não se anula em [a,b] (ou seja, x(t) e y(t) não se anulamparaummesmovalordet). 1

2 Orientaçãoousentidodeumacurva:[a,b] C,coma b: éde (a) para (b). Curva de orientação inversa: é parametrizada por ( )(t)=(a+b t), t [a,b]. EXEMPLO: Acircunferênciadecentroz=0eraior;definidapor z =r, comr>0, com orientação positiva ou directa(a contrária aos ponteiros do relógio) é parametrizada por (t)=rcost+irsint, comt [0,2π]. }{{} x(t) }{{} y(t) Note que esta parametrização pode ser escrita como (t)=re it, comt [0,2π]. EXEMPLO: o segmento de recta que une o número complexo A = x A +iy A aonúmerocomplexob=x B +iy B éparametrizadapor (t) = (1 t)(x A +iy A )+t(x B +iy B ) = (1 t)x A +tx }{{ B +i[(1 t)y } A +ty B ], comt [0,1]. }{{} x(t) y(t) Curva simples: se (t 1 ) (t 2 ) sempre que t 1 t 2, com t 1,t 2 ]a,b[. Curva fechada: seoponto final (b) coincide comoponto inicial (a),ouseja,(a)=(b). Curva de Jordan: curva. Sejaf:A C Ccontínuaemtodosospontosdeumacurvasuave :[a,b] Ctalque([a,b]) A. Integral curvilíneo (ou simplesmente integral) de f ao longo de : é o número complexo definido por f(z)dz= b a f((t)) (t)dt. Afunçãof édesignadaporfunção integranda. Quandoacurvaé fechadaéusualanotação f. 2

3 No caso de uma curva não ser suave mas soma de curvas suaves, = n,entãodeverásercalculadoointegralcurvilíneo paracada i eserusadaaigualdade n f(z)dz= 1 f(z)dz+ + n f(z)dz. Nocasodeseconheceraparametrizaçãodeumacurva massepretender o integral ao longo da curva de orientação inversa, podemos usar a igualdade f(z)dz= f(z)dz. Sejaf :A C CcontínuanumaregiãoA. Primitiva (ou uma antiderivada).de f: é uma função F tal que F (z)=f(z),paratodoz A. EstadefiniçãoimplicaqueF éanalíticaema(e, portanto, também contínua em A) por ter derivada(ser diferenciável) em todos os pontos doabertoa. Conjunto conexo: se quaisquer dois dos seus pontos podem ser ligados por uma linha poligonal(completamente) contida no conjunto (i.e, não é constituído por"bocados" separados). RegiãoemC: éumconjuntoabertoeconexo. Teorema fundamental do cálculo integral: Sejam:[a,b] C umacurva ef umafunçãocontínuanumaregiãoa Ccontendoa curva. SeF éumaprimitivadef emaentão f(z)dz=f((a)) F((b)). Se(a)=(b)então f(z)dz=0. Se(a)=z 1 e(b)=z 2 éusualescrever f(z)dz=[f(z)] z 2 z 1 =F(z 2 ) F(z 1 ). O integral é independente da curva considerada: o seu valor depende apenas dos extremos da curva. Portanto, se α for outra curva com as mesmas extremidades z 1 e z 2, o valor do integral é o mesmo. 3

4 Teorema de Cauchy-Goursat: f funçãoanalíticaemd curva } dejordan {{} contidaemd f(z)dz=0. Teorema de Morera: f funçãocontínuaemd f(z)dz=0, curva } dejordan {{} contidaemd f é analítica emd Fórmula integral de Cauchy: f funçãoanalíticaemd curva } dejordan {{} contidaemd z 0 pontonointeriorde f(z 0 )= 1 2πi f(z) dz. z z 0 Fórmula integral de Cauchy para derivadas: f tem derivada f funçãoanalíticaemd detodasasordense f (n) (z 0 )= n! f(z) curvadejordancontidaemd 2πi (z z 0 ) n+1dz. z 0 pontonointeriorde 4

5 Assim, osvaloresdef edassuasderivadaspodemserdeterminados atravésdosvaloresdef sobreumacurva. Temos,emparticularparan=1,aderivadade1 a ordem f (z 0 )= 1 f(z) 2πi (z z 0 ) 2dz. Sejamf:D f C Cez 0 D f z 0 é ponto singular (ou singularidade) de f: se f não é analítica em z 0 (podendo existir em qualquer vizinhança de z 0 pontos onde a função é analítica). z 0 é ponto singular isolado (ou singularidade isolada) de f: sez 0 éumasingularidadeeexisteumavizinhançadez 0 (um círculoemtornodez 0 )ondef éanalítica,exceptonopontoz 0 (ouseja,seexisteumavizinhançadez 0 ondeeleéoúnicoponto singular). Caso contrário, z 0 diz-se um ponto singular nãoisolado(ou uma singularidade não-isolada). z 0 épólode ordem ndef: sez 0 éumasingularidadeisolada eexisteuminteiropositivontalque lim [(z z 0 ) n f(z)]=l, coml C\{0}, ou seja, lim z z0 [(z z 0 ) n f(z)] 0. Se f é analítica em C excepto num número finito de pólos então f diz-se meromorfa. Sen=1entãoz 0 diz-sepólo simples, lim z z0 [(z z 0 ) f(z)] 0, coml C\{0}. Note que se z 0 é um pólo de f (qualquer que seja a ordem n) entãolim z z0 f(z)=. z 0 ésingularidaderemovíveldef: sez 0 éumasingularidade isolada e lim f(z)=l, coml C. z 0 ésingularidade essencial def: sez 0 éumasingularidade quenãoénemumpólo,nemumpontoderamificação,nemuma singularidade removível. Neste caso, não existe o limite lim f(z). 5

6 Sejamf :D f C C,z 0 umpontosingularisolado(umasingularidadeisolada)def e umacurvadejordanorientadapositivamente quecontenhaopontoz 0 noseuinterior. Resíduodef emz 0 : éonúmerocomplexodefinidopor res(f,z 0 )= 1 f(z)dz 2πi Cálculo dos resíduos: Sez 0 éumasingularidaderemovíveldef então res(f,z 0 )=0. Sez 0 éumpólodeordemndef então ou seja, res(f,z 0 )= res(f,z 0 )= 1 (n 1)! lim d dz n 1[(z z 0) n f(z)] 1 (n 1)! lim [(z z 0 ) n f(z)] (n 1). Emparticular,sez 0 éumpólosimplesdef então res(f,z 0 )=lim z z0 [(z z 0 ) f(z)], esez 0 éumpólodeordem2def então d [ res(f,z 0 )=lim z z0 (z z0 ) 2 f(z) ] [ =lim z z0 (z z0 ) 2 f(z) ]. dz Se z 0 é uma singularidade essencial de f o cálculo do resíduo faz-seatravésdaexpressãodasériedelaurentdef. Teorema dos resíduos: f funçãoanalíticaemdexceptonum n o finitodesingularidadesisoladas curva } dejordan {{} contidaemd quenoseuinteriorcontémassingularidadesisoladasz k (k=1,2,...,n) f(z)dz=2πi n k=1 res(f,z k). 6