Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2009/2010

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1 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 9/ ō Teste - Versão A (Cursos: Todos) 4 de Abril de, h Duração: h 3m. Seja u(x,y) = xe x cos(y) e x y sen(y)+β(x), em que β : R R é uma função de classe C (R). (a) Determine a forma geral de β(x) de modo a que u(x,y) seja a parte real duma função holomorfa f : C C. (b) Considerando β(x) =, calcule a função f holomorfa em C tal que Re(f) = u e f( ) = e. j f(z) (c) Calcule o valor de dz, onde a curva é percorrida uma vez no z = z + sentido inverso. (.a) Seja z = x + iy, f(z) = u + iv. Método rápido: f só depende de z. Como u é proporcional a e x, f(z) tem que ser proporcional a e z. Como e x vem multiplicado por x ou por y, f(z) tem também que ser proporcional a z. Logo f(z) = z e z + γ(z), onde Reγ(z) = β(x). Como β só depende de x, γ só pode ser linear em z, ou seja, γ(z) = az + b com a R,b C. Método brutal: calculamos u = e obtemos β =, logo β = ax + c. (.b) Método rápido: como β = e f( ) = e, temos γ(z) =, ou seja f(z) = z e z. Método brutal: integramos as equações de Cauchy-Riemann e concluimos que v = Im ( z e z). Logo, f(z) = z e z. (.c) Pela fórmula integral de Cauchy, e atendendo a que a curva é percorrida no sentido inverso, temos que o integral é igual a πif( ), com f( ) dado na aĺınea (.b).. Considere a função f(z) = z + (z i). (a) Calcule os desenvolvimentos em série de Laurent de f válidos nas regiões {z C : < z < } e {z C : z > }. (b) Calcule γ f(z)dz onde γ := { + eiθ : θ [π,π]}.

2 (.a) Ambas as regiões são regiões anelares centradas em z =. Logo em ambos os casos trata-se de séries de potências z n com n Z. Fazendo z i = i z i = i ( z ) n + = i n z n, i e atendendo à região de validade da série geométrica, deduzimos que este desenvolvimento é válido quando z i <, ou seja, quando z <. Então, para z nesta região, (z i) = d dz z i = d dz Logo, na região {z C : < z < }: Por outro lado, z i = z f(z) = z i z i n z n = = z n= i n nz n = i n (n + )z n ( ) i n = i n z n, z para todo z tal que i z <, ou seja, quando z >. Logo, para z nesta região i n (n + )z n (z i) = d dz z i = d i n z n = i n (n + )z n = i n+ (n )z n. dz n= Logo, na região {z C : z > }, f(z) = z + n= i n+ (n )z n. (.b) A curva γ está contida no semiplano Rez > onde f(z) é holomorfa. Logo f(z) é primitivável nessa região simplesmente conexa e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Considerando o valor principal do logaritmo, o qual é uma primitiva de z no semiplano referido: ( f(z)dz = (log z) z=γ(π) + ) z=γ(π) z=γ(π) γ z i z=γ(π) ( = log 3 log + 3 i + ) = log i. i 5 [,5 val.] 3. Considere a função f(z) = ez z z z 3 + (z )e z+. (a) Determine e classifique todas as singularidades de f, calculando os respectivos resíduos. (b) Aproveite o resultado da aĺınea anterior para determinar f(z)dz. z+ =,

3 (3.a) A função f = f + f onde f = ez z z tem singularidade em z = e f z 3 = (z )e z+ tem singularidade em z =. Atendendo ao desenvolvimento de e z em série de Mac-Laurin é claro que f (z) = 3! + z 4! zn (n + 3)! +... para z e como a série no lado direito desta igualdade define uma função anaĺıtica em C, a singularidade em z = é removível. Como tal res(f;) = res(f ;) =. Por outro lado, atendendo novamente ao desenvolvimento em série de Mac-Laurin da função e z, é óbvio que a singularidade em z = será essencial. De facto, f (z) = (z )e z+ = (z + )e z+ e z+ = (z + ) = (z + ) n+ (z + ) n (z + ) n (z + ) n e o desenvolvimento em série de Laurent de f em torno de z = tem infinitas potencias negativas de (z + ). Agrupando os coeficientes das potencias (z + ) nas duas séries acima obtemos res(f; ) = res(f ; ) = = 3. (3.b) Atendendo ao obtido na aĺınea anterior e ao teorema dos resíduos temos imediatamente que f(z)dz = πi( 3 z+ =, ) = 3πi. [,5 val.] 4. Utilizando o teorema dos resíduos, mostre que x + 5π (x dx = + 4) 6. Considere-se a função complexa de variável complexa F(z) = z + (z + 4) e para R suficientemente grande a curva γ R como sendo a fronteira da região à qual se atribui a orientação positiva. D R = {z = re iθ C : < r < R, < θ < π} As singularidades de F(z) são ±i. Dado que i D R e i D R, por aplicação do teorema dos resíduos γ R F(z)dz = πires (F,i) Visto que F(z) = z + (z i) (z + i) (z i) G(z) 3

4 em que G(z) é uma função anaĺıtica em i e G(i), a singularidade i é polo de ordem, e como tal ( ) Res (F,i) = lim (z i) 5 F(z) = z i 3i Então F(z)dz = 5π 6. γ Por outro lado, atendendo ao facto de que a curva γ R é composta pelo segmento e pela semicircunferência podemos escrever I R = {z C : z = x, x [ R,R[} S R = {z C : z = Re iθ, θ [,π[} 5π 6 = F(z)dz + F(z)dz. I R S R Em I R, z = x com x [ R,R], pelo que 5π R 6 = F(x)dx + F(z)dz S R e, fazendo R convergir para +, Como podemos concluir que e como tal como era pedido. 5π 6 = R F(x)dx + lim F(z)dz. R S R Grau((z + 4) ) Grau(z + ) = lim F(z)dz = R S R F(x)dx = 5π 6 5. Considere a função de variável complexa indicada de seguida f(z) = cos(/z). [,5 val.] [,5 val.] (a) Mostre que é uma singularidade não isolada de f. (b) Determine e classifique as singularidades isoladas de f em C. (5.a) As singularidades da função f(z) são as soluções das seguintes equações z = ou cos z =. Porque cos z = sse z = π/ + kπ, k Z então o conjunto das singularidades é dado por {,z k : k Z} aonde z k = 4 π k Z. + kπ,

5 É evidente que lim k ± z k =. Donde deduz-se que a origem é singularidade não isolada. (5.b) Considera-se f(z) como o quociente de funções holomorfas em z k, k Z. Precisamente f(z) := g(z)/h(z), aonde g(z) = e h(z) = cos(/z). Como g(z k ) então f(z) têm um pólo de ordem j em z k, aonde j é a multiplicidade com que z k anula h(z). É óbvio que h (z) = z sen donde h (z k ) = ( )k z zk. Deduz-se que z k anula h com ordem e logo z k é pólo simples de f(z). 5