Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Resolução do exame Cálculo Diferencial e Integral I Versão B Data: 8/ / 8 Grupo I - (a) x 3 + x x = x(x + x ) = x(x + )(x ) Cálculo auxiliar: x + x = x = ± + 8 = ou x + + x x x(x+)(x ) x+ + ss + + Portanto x(x + )(x ) < x ], [ ], [ (b) A B =], [ [, ] {} O conjunto dos majorantes de A B é [, + [, o conjunto dos minorantes de A B é ], ], o supremo de A B é, o ínfimo de A B é, o máximo de A B é e o mínimo de A B não existe (pois o ínfimo não pertence a A B). - f é contínua em x = sse lim x a f(x) = lim f(x) = f() +

2 Deste modo, lim f(x) = lim (cosx) x α = lim elog " # x (cos x) log(cos x) α = lim e x α = e lim log(cos x) x α Fazendo uso da regra de Cauchy (lim do tipo ) temos que log(cos x) x é uma indeterminação Portanto log(cosx) lim x R.C. = lim donde tiramos α = e 3. Por outro lado, sen x cos x x = lim sen x x cos x = lim f(x) = e / α = f() = 3 e βx e x lim f(x) = lim x x x lim x eβx e x dá uma indeterminação do tipo e como tanto o numerador como o denominador são funções diferenciáveis podemos usar a regra x de Cauchy para levantar a indeterminação: e βx e x lim x x donde tiramos β = R.C. = lim x βe βx e x (a) (log(x + sen x)) = = β = f() = 3 (x + sen x) x + sen x = + cosx x + sen x (b) ( e cosh x x ) = ( e cosh x ) x + e cosh x (x) = senh(x)e cosh x x + e cosh x 4- (a) g é uma função racional, i.e. uma divisão de dois polinómios que são funções contínuas e diferenciáveis, logo g é uma função contínua e diferenciável em todo o seu domínio D g. O seu domínio consiste nos pontos de R onde o denominador não se anula. Ou seja: D g = {x R : x } = R \ {}

3 pois x = (x ) x. (b) g (x) = (x + ) (x ) (x + )(x ) (x ) = x (x + )(x ) (x ) = = x + 4x + 5 (x )(x + 5) = = x + 5 (x ) (x ) 4 (x ) 3 x 5 g + ss g ց g( 5) ր ss ց Portanto temos que g tem um mínimo local em x = 5 com valor g( 5) = Ȯs intervalos de monotonia são: ], 5[ onde g é decrescente, ] 5, [ onde g é crescente, e ], + [ onde g é decrescente. (c) lim g(x) = lim x + x + x + x = lim x + x ( x + x ) x ( x = + + = lim g(x) = lim x x + x + x = lim x x + lim g(x) = lim x x (x ) = 3 = + + x ( x + x ) x ( x = + + = (d) Como o único mínimo local de g é menor ou igual que os limites de g quando x tende para +, ou, temos que g( 5) = é mínimo absoluto de g. Por outro lado, lim x g(x) = +. Logo, sendo g uma função contínua em todo o [ 5, [, g toma todos os valores de a +. Portanto o contradomínio de g é o conjunto [, + [. (e) Excluído da resolução por motivos técnicos

4 5- (a) Para n = Dem. Hipótese de indução: Tese de indução: ϕ() = = + ( ) é verdade ϕ(n) = + ( ) n ϕ(n) = + ( ) n+ ϕ(n + ) = 3 ϕ(n) = 3 ( + ( ) n ) por hipótese de indução = 3 + ( )( ) n = + ( ) n+ (b) Sendo ϕ uma função diferenciável em R temos, pelo teorema de Lagrange, que e a ],[ : ϕ (a) = b ],3[ : ϕ (b) = ϕ() ϕ() ϕ(3) ϕ() = + ( ) ( ) = 6 = + ( ) 3 ( + ( ) ) = Como ϕ é uma função contínua (pois ϕ é uma função de classe C ), temos, pelo teorema do valor intermédio, que ϕ toma no intervalo [a,b] todos os valores reais entre e 6. Em particular exite α ]a,b[ tal que ϕ (α) = 4. (c) Seja ψ uma função tal que ψ( ) = ϕ(n) para todo o n N. Se ψ fosse n contínua em [, ] então existiria, pelo teorema de Weierstrass, um valor M tal que ψ(x) M para todo o x [, ], em particular psi( ) = ϕ(n) = n + ( ) n = + 4 n M para todo o número natural n o que seria absurdo. Grupo II - (a) sen x + tanxdx = sen xdx sen xdx = cos x log( cos x ) cos x

5 (b) x x 8 x 3 + 4x = x x 8 x(x + 4) = A(x + 4) + Bx + Cx x(x + 4) de onde se tira o sistema de equações: A + B = C = 4A = 8 cuja solução é A =, B = 4 e C =. = A x + Bx + C x + 4 = = (A + B)x + Cx + 4A x 3 + 4x Assim temos x x 8 dx = x 3 + 4x x + 4x x + 4 x + 4 dx = x log( x )+ x + 4 dx ( x dx = log( x )+ log(x ) +4) arctan( x + ) (c) Primitivando por partes: u v = uv uv com u = e v = arcsenx. Portanto temos u = x e v = x. Aplicando a fórmula da primitivação por partes obtemos: arcsen(x)dx = x arcsen x x x dx = x arcsen x( x ) dx = x arcsen ( x ) + + = x arcsen x + x (d) Considerando a mudança de variável x = log t (e portanto dx = dt), t temos que 3 dx = 3 dt +e x +e log t t = 3 (+t)t dt = 3+3t 3t dt (+t)t 3t dt (+t)t (+t)t dt +t = 3(+t) = 3 3 t = 3 log(t) 3 log( + t) = 3x 3 log( + e x )

6 - Para x > temos que xe x xe x e x xe x x x x Portanto o conjunto S está compreendido entre as curvas de equação cartesiana y = xe x (acima) e y = xe x (abaixo) para valores de x entre e. Deste modo a sua área será dada pelo valor do integral definido (xe x xe x )dx C.A. = C.A.: [xe x e ex ] x= xe x dx = xe x x= = e e e ( ) = 3 e e x dx = xe x e x xe x dx = xe x dx = ex = Nota- Por motivos técnicos esta resolução não inclui um esboço de S. 3- F (x) = 3x + x (x ) () = A x + B (x ) + C = A(x )() + B() + C(x ) (x ) () de onde se tira o sistema de equações: A + C = 3 B C = A + B + C = cuja solução é A =, B = e C =. Portanto F (x) = x (x ) Assim, sendo F uma primitiva de F, temos F(x) = log(x ) + log() + C x = Ax A + Bx + B + Cx Cx + C (x ) ()

7 sendo C uma constante tal que F satisfaça a condição F() =. Ou seja, Resultado final log() + log(3) + C = C = log(3) F(x) = log() + + log(x ) + log(3) 4- π (a) π 4 sen x dx = [ cot x] π π 4 ( π ( π = cot + cot = ) ) π (b) cos(x)e sen x = [e sen x ] π = e sen π e sen = e 5- O polinómio de Taylor de grau em a = da função f(x) = x 3 x é dado pela expressão: p, (x) = f() + f ()(x ) + f () (x )! f(x) = x 3 x f() = f (x) = 3x f () = f (x) = 6x f () = 6 Portanto o polinómio de Taylor de grau em a = da função f(x) = x 3 x é p, (x) = (x ) + 6 (x ) = 3x 4 6- (a) Sendo ψ uma função contínua e positiva em R (de acordo com o enunciado) temos que et +e t é também uma função contínua em R. Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o integral indefinido x ψ(t) é uma função diferenciável em R. Logo e t +e t dt ψ(t) ψ(x) = er x e t +e t dt ψ(t)

8 é uma função diferenciável em R. (b) Derivando ambos os termos da igualdade log(ψ(x)) = x e t + e t dt ψ(t) (usando o Teorema Fundamental do Cálculo no segundo termo) obtemos a seguinte igualdade ψ (x) ψ(x) = ex + e x ψ(x) donde, tendo em conta que ψ é positiva (logo não se anula), tiramos ψ (x) = e x + e x Portanto, ψ(x) é uma primitiva de e x + e x, logo sendo c uma constante. Além disso ψ satisfaz a igualdade ψ(x) = 3 ( + ex ) 3 + c log(ψ(x)) = donde resulta, com x =, que x e t + e t dt ψ(t) log(ψ()) = c = c = 3 Resumindo, a função ψ é dada por ψ(x) = 3 ( + ex ) 3 + 3