Cálculo Diferencial e Integral I

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1 Cálculo Diferencial e Integral I LEE, LEIC-T, LEGI e LERC - o semestre - / de Junho de - 9 horas I ( val.). (5, val.) Determine o valor dos integrais: x + (i) x ln x dx (ii) (9 x )( + x ) dx (i) Primitivando por partes x ln x, P ( x ln x ) = x ln x P ( x e pela fórmula de Barrow tem-se finalmente x ) = x x ln x 9 x ln x dx = [x ] x ln x = ( ln() 8 ) (ii) A função integranda é uma função racional que se decompõe em fracções simples x + (9 x )( + x ) dx = ( x)( + x ) dx = A x dx+ Bx + C x + dx = = A [ln( x)] + B/ [ ln(x + ) ] + C [arctg x]. A determinação das constantes A, B, C é feita pelo método dos coeficientes indeterminados já que = A(x + ) + (Bx + C)( x), i.e = (A B)x + (B C)x + A + C,

2 vindo que A B = B C = A + C =. Obtém-se A = /, B = /, C = /, e conclui-se que: x + (9 x )( + x ) dx = [ln( x)] + = ( ln() + ln(5/) + arctg π [ ln(x + ) ] + [arctg x]. ).. (,5 val.) Considere a função F :], + [ R F (x) = x x f(t) dt. em que f :], + [ R é uma função contínua i) A função F é diferenciável em ], + [? Defina a função derivada de F. ii) Sendo f :], + [ R, f(t) = ( + t) t +, determine F () utilizando a substituição t + = u. i) A função x f(t) dt é um integral indefinido de uma função contínua em ], + [ e portanto diferenciável em ], + [, pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Como F (x) = x x f(t) dt, resulta do produto de funções diferenciáveis em ], + [ e é, também, diferenciável em ], + [. A sua derivada é dada por: F (x) = x f(t) dt + xf(x). pela regra da derivada do produto e pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

3 ii) F () = ( + t) dt. Integrando por substituição, usando a mudança de variável, t + = u, t + tem-se = (t + ) t + dt = u u(u ) du = (u ) du = (u ) (u + ) du = [ ln ( )] u = ln u + ( ) ( ) ln. +. (,5 val.) Determine a área da região plana D R limitada pelas curvas y = x +, y = x +. 5 Estabelecendo x + = x+ tem-se x = ou x =, assim a área da região D é dada por: Tem-se, pela fórmula de Barrow, que x + (x + ) dx. x + x + dx = ] [ x + x + x =.

4 II (8 val.). (, val.) Analise a natureza das séries e, em caso de convergência, determine a soma de uma delas: (i) n= n + n (ii) n log( + + n n ) n= + (iii) π n + n+ n= n i) Considerem-se as sucessões a n = n + n + n e b n = n =. Tem-se n n lim a n b n = lim n + n + n n n = lim + / n /n + = R+. Do critério de comparação as séries n= a n e n= b n têm a mesma natureza. Como a série n= n p n= b n é uma série de Dirichlet divergente, com p = /, a série + n + n é também divergente. + n ln(x + ) ii) Uma vez que lim x x A série lim n ln( + n + n ) = n= n= =, tem-se lim n + n log( + n ) ln( + n ) n = é divergente, pois não satisfaz a condição necessária para a convergência de séries. iii) n= π n + n+ n = π n= π n + + n n = n π n= n= ( π ) n + + n= ( ) n

5 As séries ( + π ) n n= e + n= ( ) n são duas séries geométricas con- vergentes, de razão R = π < (resp.r = < ). A soma da série é π n + n+ = π n π π + = π + 9. n=. (, val.) Considere a série de potências n= a n ( + x) n i) Sendo a n = determine o maior intervalo aberto de R (n + )(n + )(n + ) onde a série de potências é absolutamente convergente. ii) Sendo a n = n determine, quando possível, a soma da série de potências. (i) Tem-se para o raio de convergência r = lim a n = n + a n+ lim n + (n+)(n+)(n+) (n+)(n+)(n+) A série + n= a n(+x) n converge absolutamente se x+ < i.e < x < e diverge em R \ [, ]. Assim ], [é o maior intervalo aberto onde a série de potências converge absolutamente. = (ii) Para a série n= n= n ( + x) n, é uma série de geométrica convergente sse + x <, i.e. x ] 5, [. A soma da série é ( ) n + x +x = +x = + x x. 5

6 III ( val.). (, val.) Seja a ]x, x [= I R e a função f : I R indefinidamente diferenciável. Mostre que se existir k > tal que para x I f (n) (x) k n, n N, a série + n= f (n) (a) (x a) n em cada x I converge para f(x). Sendo função f : I R indefinidamente diferenciável, da fórmula de Taylor, tem-se f(x) = P n (x) + R n (x), x I em que Ora e como bn e P n (x) = f(a) + f (a)(x a) f (n) (a)(x a) n R n (x) = f (n+) (c)(x a) n+ (n + )! R n (x) kn+ (x a) n+ (n + )! c ]a, x[, com b = k(x a) R, tem-se para cada x I f(x) = lim R n(x) = n + n= f (n) (a) (x a) n. 6

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