Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 2 o Teste (V1) - 15 de Janeiro de h00m

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1 Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 2 o Teste (V) - 5 de Janeiro de 2 - hm Resolução Problema (2,5 val.) Determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: (a) f(x) xe x (b) g(x) x + x 2 (c) h(x) x2 + 3x (x 2)(x + ) 2 a) (Partes: u x,v e x ): xe x dx xe x e x dx xe x e x + C b) (Substituição: u + x 2,du 2xdx): x dx + x 2 c) (Decomposição em fracções parciais:) du 2 u u + C + x 2 + C x 2 + 3x (x 2)(x + ) 2 A (x 2) + B (x + ) + C (x + ) 2, x 2 + 3x A(x + ) 2 + B(x 2)(x + ) + C(x 2), Consideramos os pontos x 2, x e, por exemplo, x, para obter x 2 : A A x : 3 3C C x : A 2B 2C A 2B 2C B x 2 + 3x (x 2)(x + ) 2dx (x 2) dx + (x + ) 2dx log( x 2 ) x + + C Problema 2 (2, val.) Calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas y x 3 4x e y 3x 2. A área da região em causa é superior ou inferior a 65/2?

2 y 3x 2 y x 3 4x As curvas intersectam-se quando x, x e x 4, porque x 3 4x 3x 2 x 3 4x 3x 2 x(x 2 4 3x) x(x 4)(x + ) A área é dada por 4 x 3 4x 3x 2 dx (x 3 4x 3x 2 )dx + 4 ( x 3 + 4x + 3x 2 )dx ( x 4 /4 2x 2 x 3 x x + ( x 4 /4 + 2x 2 + x 3 x4 x (( ) 4 /4 2( ) 2 ( ) 3 ) + ( 4 4 / ) (/4 ) + (32) 33 /4 > 32,5 65/2 Problema 3 (2, val.) Determine se as seguintes séries são absolutamente convergentes, simplesmente convergentes ou divergentes: (a) ( ) k 2 k (b) + 5k 2 (2k)! (c) k (k + )log 2 (k + ) k a) Consideramos as sucessões a k k + 5k 2 e b k k Notamos primeiro que a k é decrescente e a k. Segue-se do critério de Leibniz (das séries alternadas) que a série ( ) k a k é convergente. Temos por outro lado que a k b k k + 5k /k 5 Concluímos que as séries a k e b k têm a mesma natureza. Como a série (harmónica) de termo geral /k é divergente, a série a k é também divergente, e a série dada não é absolutamente convergente, ou seja, é simplesmente convergente k

3 b) Aplicamos o critério da razão, com a k 2k (2k)! k : a k+ a k 2 k+ (2k + 2)! k + (2k)! k 2 k 2 (2k + )(2k + 2) k k + A série é portanto (absolutamente) convergente. c) Usamos o critério do integral, com f(t). Com v log(t + ), obtemos (t+) log 2 (t+) (t + )log 2 (t + ) dt v 2dv v log(t + ) e portanto lim x x (t + )log 2 dt lim (t + ) x log(x + ) + log(2) log(2) Segue-se que a série é (absolutamente) convergente. Problema 4 (,5 val.) Determine e classifique os extremos da função f definida para x R por f(x) A derivada de f é dada por x 2 (t 2 )e t5 + t dt. f (x) 2x ((x2 ) 2 )e (x2 ) 5 + (x 2 ) 2x(x4 )e x + x 2 A derivada anula-se quando x e quando x ±, e o seu sinal algébrico é o sinal de x(x 4 ) x(x 2 )(x 2 + ) x(x )(x + )(x 2 + ) Temos assim f (x) < para x <, f (x) > para < x <, f (x) < para < x < e f (x) > para x >. Concluímos que f tem mínimo em x ± e máximo em x. Problema 5 (, val.) Determine a série de Taylor no ponto a das seguintes funções, especificando em cada caso o raio de convergência da série, e o conjunto onde a série converge absolutamente: (a) f(x) x 2 (b) g(x) e x2 (c) h(x) a) Trata-se da série geométrica com o termo e razão x 2 : x 2 n x 2n x e t2 dt Sabemos que a série converge quando x 2 <, ou seja, o raio de convergência é R, e a série converge absolutamente para x < R (diverge quando x ±).

4 b) A série de Taylor da exponencial é e x2 e x n n (x 2 ) n x n, para qualquer x R, donde n x 2n, para qualquer x R O raio de convergência é evidentemente R e a série converge absolutamente para qualquer x R. c) Integramos termo-a-termo a série anterior, para obter uma primitiva de g(x) e x2 : x 2n+ e x2 dx (2n + ), donde x e t2 dt n n x 2n+, também para qualquer x R. (2n + ) Mais uma vez o raio de convergência é R e a série converge absolutamente para qualquer x R. Problema 6 (, val.) Considere a função f : R R, contínua em R, dada para x por. f(x) cos(x3 ) x 2 (a) Determine a série de Taylor de f, e indique o conjunto onde a série de Taylor é igual à função f. A série de Taylor de cos x, válida para qualquer x R, é cos x n Temos portanto ( ) n x2n cos(x 3 ) cos(x 3 ) x 2 x 2 (2n)!, donde cos(x3 ) n ( ) n x6n ( ) n (2n)! n x6n n n (2n)! ( ) n x6n n x6n ( ) n (2n)! x6 2 + x2 24 (2n)! x6 2 x2 24 +, e ( ) n x6n 2 (2n)! x4 2 x 24 + Notamos em particular que f(x) ( ) n x6n 2 (2n)! x4 2 x + para qualquer x R, incluindo x. 24 n

5 (b) Qual é o menor valor de n para o qual f (n) ()? A função f tem algum extremo em x? A série de Taylor de f (em a ) é dada por f(x) n f (n) () x n k ( ) k x6k 2 (2k)! x4 2 x 24 + O menor valor de n para o qual f (n) () é portanto n 4, e f (4) () 4! 2, ou seja, f(4) () 4! 2 2 > Como n 4 é par, segue-se que f tem um mínimo em x. (c) Mostre que, 96 < f(x)dx <,. Integrando a série da alínea anterior termo-a-termo, temos f(x)dx ( ) k x 6k (6k )(2k)! x5 5 2 x 24 + Concluímos que f(x)dx k ( ) k (6k )(2k)! k Como a série numérica acima é alternada e o seu termo geral decresce em valor absoluto para zero, temos 2 ( ) k (6k )(2k)! < ( ) k (6k )(2k)! < ( ) k (6k )(2k)! k Por outras palavras, < k k f(x)dx <, ou seja, < f(x)dx < Como /254 < /25, 4, temos ainda 25 < 254 < f(x)dx < ou,96 < f(x)dx <,