7 Equações Diferenciais. 7.1 Classificação As equações são classificadas de acordo como tipo, a ordem e a linearidade.

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1 7 Equações Diferenciais Definição: Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas dessas funções. : = 5x d3 3 + (sen x) d x = 0 2 t x 2 = Classificação As equações são classificadas de acordo como tipo, a ordem e a linearidade. Classificação por Tipo: Equação Diferencial Ordinária (EDO): Se as funções incógnitas dependem de apenas uma variável independente. s: 5 = 0 d = 0 Equação Diferencial Parcial. (EDP): Se as funções incógnitas dependem de mais de uma variável independente. s: 2 u x u 2 = 0 2 x 2 = 2 t 2 2 u t Classificação por Ordem: A ordem, uma equação diferencial é a maior ordem da derivada presente na equação. s: = 0 1ª Ordem + 2 = e x 1ª Ordem + 2 = 0 2ª Ordem d ( )2 4 = 0 2ª Ordem Classificação por linearidade: Uma EDO ordem n é linear se α n (x) (n) + α n 1 (x) (n 1) + + α 2 (x) + α 1 (x) + α 0 (x) = g(x) Onde: Todas as funções α 0 (x), α 1 (x), α 2 (x),, α n 1 (x), α n (x) devem depender somente da variável x. A variável dependente e todas suas derivadas são de grau um, ou seja, são elevadas a potencia 1. : ( x) + 4x = 0 EDO linear de 1ª Ordem + 2 = 0 EDO linear de 2ª Ordem 4x + = x EDO linear de 1ª Ordem Assim uma EDO linear de 1ª ordem é da forma α 1 (x) + α 0(x) = g(x). A EDO que não podem ser postas sob a forma linear em,,,, (n 1) é chamadas de EDO não-linear : ( 1) + 2 = e x EDO não-linear de 1ª Ordem d sen = 0 EDO não-linear de 1ª Ordem

2 7.2 Solução de uma equação diferencial Resolver uma equação diferencial é determinar todas as funções que verifiquem a equação. Assim, toda φ definida em um intervalo I que tem pelo menos n derivadas continua em I, as quais quando substituídas em uma EDO de ordem n satisfazem a equação neste intervalo. s: 1) Verificar se (x) = e x é uma solução de = 0. 2) Verificar se a equação + = 0 tem como uma das soluções (x) = cex. 3) Dada a equação + = 0, a função (x) = sen x é uma solução? 7.3 Problemas de valores iniciais Um Problema de Valor Inicial (PVI) consiste em procurarmos uma função (x) definida no intervalo I contendo x 0 satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais especificas em x 0 : (x 0 ) = 0, (x 0 ) = 1, (x 0 ) = 2,, (n 1) (x 0 ) = n 1, onde 0, 1, 2,, n 1 são constantes reais. s: 4) Determinar o valor de c da EDO = 0 para resolver o PVI onde (0) = 3. 5) Verifique se a função (x) = 3e 2x + e 2x 3x é uma solução do PVI 4 = 12x, (0) = 4 e (0) = Problemas valores de contorno Um Problema de valores de contorno (PVC) consiste em resolver uma EDO no qual a variável dependente as condições subsidiárias são especificadas em pontos diferentes. : 6) Dada a equação 4 = 0 e o valor da função (x) nos pontos ( 2π 8 ) = 0 e (π ) = 1 é um PVC, 6 pois as condições são das em diferentes pontos. 1) Classifique as EDOs quanto a ordem e a linearidade. a) d3 + x 5 = ex b) d = 0 c) x d ( ) d) (1 x) 4x + 5 = cos x e) (sen θ) (cos θ) = 2 + = 0 2) Verifique se a função (x) é solução da EDO e resolva os problemas de valor inicial determinando o valor das constantes c 1 ou c 2. a) (x) = c 2 (cos x) + = 0 (0) = 1 b) (x) = c 1 e x = 0 (0) = 1 c) (x) = c 1 e x + c 2 e x = 0 (0) = 1 (0) = EDO de primeira ordem Separável Seja uma equação diferencial ordinária = g(x) h() é chamada equação separável, pois é possível separar as funções de modo que cada membro da igualdade possua uma função com apenas uma variável. Desse modo, podemos realizar a integração de cada membro por um processo simples.

3 dh As equações separáveis são equações que podem ser escritas na forma h() = g(x) ou h() = g(x) Vamos supor que existe uma função H() tal que dh H() = h() então = h() Assim dh dh = g(x). Mas, pela regra da cadeia temos = dh = g(x) logo H((x)) = g(x) portanto h() = g(x) é solução da equação diferencial ordinária separável. 7) Determine uma solução para EDO. a) 2 + 4x = 0 b) (1 + x) = 0 o que implica que 1) Verifique se as EDO abaixo são Separáveis e resolvas a) = sen 5x b) + e3x = 0 c) = e3x+2 d) = 5 e) = 2 f) = x 2) Resolva os problemas de valor inicial das EDO nos pontos indicados. a) = x (0) = 5 d)x = 2 ( 1 2 ) = 1 2 b) x = 2 (0) = 0 c) x = 2 (0) = 1 e) = ( 1)2 (0) = EDO de primeira ordem Linear Seja uma equação diferencial ordinária de primeira ordem + p(x) = q(x) é chamada equação linear. Vamos definir uma função auxiliar μ(x) de forma que ao multiplicarmos a equação por esta função obtermos uma forma mais simples. Considerando a função μ(x) = e p(x) = exp ( p(x) ) Esta função é chamada de fator integrante da equação linear. Assim temos: du = p(x) exp ( p(x) ) = μ(x)p(x) Se multiplicando ambos os membros da EDO pelo fator integrante (μ(x)) obteremos μ(x) + μ(x)p(x) = μ(x)q(x) μ(x) + du = μ(x)q(x) Pela regra do produto de derivadas temos d[μ(x)(x)] = μ(x) + du logo a EDO pode ser escrita na forma d[μ(x)(x)] = μ(x)q(x) logo μ(x)(x) = μ(x)q(x)

4 Como μ(x) 0, então podemos dividir a equação anterior por μ(x) e obtemos (x) = 1 μ(x)q(x) μ(x) que a solução geral da EDO de primeira ordem Linear. 1) Resolva a equação dt + 2 t = t, 1) Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem: a) 7 = e x b) 7 = 14x c) + x 2 = x 2 d) x 2 3 = 1 2) Resolva os problemas de valor inicial: a) x + 2 = x 2 (1) = 0 b) + 6x = 0 (π) = 5 c) + 2x = 2x 3 (0) = EDO de Bernoulli de 1ª Ordem As EDO de Bernoulli são da forma em que n é um número real qualquer. + p(x) = q(x)n A solução de uma EDO de Bernoulli de 1ª Ordem é dada da seguinte forma: Para n = 0 e n = 1 esta EDO linear. Para n 0 e n 1, vamos multiplicar a EDO de Bernoulli por n obtemos n + p(x)1 n = q(x) fazemos a substituição u = 1 n e derivando em relação a x obtemos pela regra da cadeia du = (1 n) n reescrevendo obtemos 1 du (1 n) = n. Fazendo as substituições n + 1 du p(x)1 n = q(x) + p(x)u = q(x) (1 n) que é uma EDO linear. Depois de encontrada a solução geral desta equação, devemos substituir u = 1 n para encontrar a solução da EDO. 1) Encontre a solução da EDO de Bernoulli de 1ª Ordem + 1 x = x2. 1) Encontre a solução das EDOs de Bernoulli de 1ª Ordem. a) = e x 2 b) + = EDO de 2ª Ordem Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Vamos, agora, considerar equações lineares de segunda ordem da forma: + b a + c a = 0 sendo p(x) = b a e q(x) = c a assim temos: a + b + c = 0

5 onde a, b e c são constantes reais (a, b, c R) e a 0. Essa é chamada de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares com coeficientes constantes. Se tentarmos uma solução da forma = e rx, então = re rx e = r 2 e rx e assim substituindo na EDO temos: ar 2 e rx + bre rx + ce rx = 0 ou (ar 2 + br + c)e rx = 0 Como e rx nunca se anula para valores reais de x (e rx 0 x R), então a única maneira de satisfazer a EDO é escolher r de tal forma que ele seja raiz da equação quadrática: ar 2 + br + c Essa equação é chamada de equação auxiliar ou equação característica. Resolvendo-a chegamos em: r = b ± b2 4ac Agora vamos analisar cada um dos casos possíveis. Caso 1: Raízes Reais Distintas (b 2 4ac > 0) Nesta situação temos as raízes reais: r 1 = b+ b 2 4ac e r 2 = b b 2 4ac logo as soluções da EDO de 2ª ordem lineares homogêneas com coeficientes constantes será: 1 (x) = c 1 e r 1x ou 2 (x) = c 2 e r 2x onde c 1 e c 2 são constantes reais (c 1, c 2 R). Portanto solução geral da EDO de 2ª ordem lineares homogêneas com coeficientes constantes será: (x) = c 1 e r1x + c 2 e r 2x 1) Determine a solução geral para EDO = 0. Solução: A equação característica da EDO é r 2 + 2r 8 = (r 2)(r + 4) = 0 logo a solução geral da EDO é (x) = c 1 e 2x + c 2 e 4x. Caso 2: Raízes Reais Repetidas (b 2 4ac = 0) Neste caso temos apenas uma raiz real: r 1 = r 2 = r = b logo, temos uma única solução para a EDO que será: 1 (x) = c 1 e rx onde c 1 é uma constante real (c 1 R). No entanto a EDO é de segunda ordem, de modo que deve existir outra solução. Essa segunda solução pode ser encontrada pelo método de redução de ordem. Como p(x) = b a e considerando c 1 = 1 então podemos substituir na formula: 2 (x) = 1 (x) 1 2 exp ( p(x) ) = erx 1 1 (e rx ) 2 exp ( b ) = a = e rx 1 e 2rx exp ( b a x) = erx 1 e 2rx e2rx = e rx = xe rx ou seja 2 (x) = c 2 xe rx onde c 2 é uma constante real (c 2 R). Portanto solução geral da EDO de 2ª ordem lineares homogêneas com coeficientes constantes será: (x) = c 1 e rx + c 2 xe rx 2) Determine a solução geral para EDO = 0. Solução: A equação característica da EDO é r 2 + 4r + 4 = (r + 2) 2 = 0 logo a solução geral da EDO é (x) = c 1 e 2x + c 2 xe 2x.

6 Caso 3: Raízes complexas distintas (b 2 4ac < 0) Neste caso temos as raízes complexas r 1 = α + βi e r 2 = α βi onde α > 0 e β > 0 são reais e i 2 = 1. Portanto solução geral da EDO de 2ª ordem lineares homogêneas com coeficientes constantes será: (x) = c 1 e (α+βi)x + c 2 e (α βi)x Assim podemos ter funções com variáveis complexas como solução dessa EDO. Com um estudo mais aprofundados no assinto podemos encontrar um conjunto fundamental de soluções reais dessa EDO. Essa solução é dada por erá: (x) = e αx (k 1 cos βx + k 2 sen βx) onde k 1 e k 2 são constantes reais (k 1, k 2 R). 3) Determine a solução geral para EDO + = 0. Solução: A equação característica da EDO é r = 0 raízes são complexas r 1 = i e r 2 = i, logo α = 0 e β = 1. Portanto a solução geral da EDO é (x) = k 1 cos x + k 2 sen x. 1) Encontrar a solução geral da EDO. a) = 0 b) = 0 c) = 0 d) = 0