Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão

Transcrição

1 Equações Diferenciais Parciais Câmpus Francisco Beltrão Disciplina: Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke

2 Equações Diferenciais Parciais Uma equação diferencial parcial (EDP) é uma equação envolvendo uma ou mais derivadas parciais de uma função, que chamaremos de u. EDPs modelam diversos problemas geométricos e físicos, que surgem quando as funções desconhecidas depende de duas ou mais variáveis. Dinâmica Elasticidade Transferência de calor Teoria eletromagnética Mecânica quântica A ordem da derivada mais alta é chamada de ordem da EDP. Como acontece com as EDOs, as EDPs de segunda ordem são as mais importantes nas aplicações.

3 Uma EDP é linear se ela é do primeiro grau na função desconhecida u e em suas derivadas parciais. Caso contrário, ela é chamada de não-linear. Uma EDP linear é homogênea se cada um de seus termos contém u ou uma de suas derivadas parciais. Caso contrário a equação é não-homogênea. 2 u t 2 = c2 2 u x 2 u t = c2 2 u x 2 2 u x u y 2 = 0 2 u x u = f (x, y) y 2 2 ( u 2 ) t 2 = u c2 x u y 2 2 u x u y u z 2 = 0 Equação da onda 1D Equação do calor 1D Equação da Laplace 2D Equação de Poisson 2D Equação da onda 2D Equação de Laplace 3D

4 A solução de uma EDP na região R é uma função que tem todas as suas derivadas parciais aparecendo na EDP em algum domínio D contendo R e que satisfaz à EDP em qualquer ponto de R. A unicidade da solução de uma EDP é obtida pela aplicação de condições iniciais e/ou condições de contorno, que são exigências de que a solução u assuma valores dados no instante inicial (t = 0) e no contorno da região R, respectivamente. Teorema 1: Teorema Fundamental da Superposição Se u 1 e u 2 são soluções de uma EDP linear homogênea em alguma região R, então u = c 1 u 1 + c 2 u 2 com as constantes c 1 e c 2 quaisquer, é também uma solução dessa EDP na região R.

5 Solução da Equação da Onda por Separação de Variávies O modelo da corda elástica vibrante consiste na equação da onda unidimensional 2 u t 2 = c2 2 u x 2 (1) para a deflexão desconhecida u(x, t) da corda. A corda está presa nas extremidades x = 0 e x = L. Para representar tal condição física utilizamos as condições de contorno u(0, t) = 0, u(l, t) = 0, para todo t (2) A forma do movimento da corda dependerá ainda de sua deflexão inicial (deflexão no tempo t = 0) e de sua velocidade inicial (velocidade em t = 0). Temos assim as duas condições iniciais u(x,0) = f (x), u t (x,0) = g(x), 0 x L (3)

6 A solução da EDP (1) que satisfaça as condições de contorno (2) e condições iniciais (3) será obtida em três passos: Passo 1: Pelo médodo da separação de variáveis, fazendo u(x, t) = F (x) G(t), obtemos de (1) duas EDOs: uma para F (x) e outra para G(t). Passo 2: Achamos soluções dessas EDOs que satisfaçam as condições de contorno (2). Passo 3: Finalmente, usando séries de Fourier, faremos uma composição das soluções obtidas no Passo 2 para obtermos a solução de (1) que satisfaz ambas (2) e (3), ou seja, a solução do nosso modelo da corda vibrante.

7 Passo 1: Duas EDOs a partir da Equação da Onda No método da separação de variáveis determinamos soluções da equação da onda da forma u(x, t) = F (x) G(t) (4) onde F depende apenas de x e G apenas de t. Derivando (4), obtemos 2 u t 2 = F G 2 u e x 2 = F G na qual os pontos indicam as derivadas em relação a t e as aspas indicam as derivadas em relação a x. Inserindo esses dados na equação da onda (1), temos F G = c 2 F G Dividindo por c 2 F G e simplificando, vem G c 2 G = F F

8 As variáveis estão agora separadas, com o lado esquerdo dependendo somente de t e o direito somente de x. Logo, ambos os lados devem ser constantes porque, se fossem variáveis, ao variar t ou x, somente um dos lados seria afetado, deixando o outro inalterado. Portanto, digamos: G c 2 G = F F = k Multiplicando essa expressão pelos denominadores, obtemos de imediato duas EDOs F kf = 0 (5) e G c 2 kg = 0 (6)

9 Passo 2: Satisfazendo as Condições de Contorno (2) Determinemos agora soluções F e G para (5) e (6), de modo que u = F G satisfaça as condições de contorno (2), ou seja: u(0, t) = F (0)G(t) = 0, u(l, t) = F (L)G(t) = 0 (7) Considerando que a solução que nos interessa é G não nula, então, de (7) temos F (0) = 0, F (L) = 0 (8) Podemos mostrar que k deve ser negativo (verifique!). Portanto, escolhendo k = p 2. Então, (5) transforma-se em F + p 2 F = 0 e tem como solução geral Desta e de (8), temos F (x) = A cos px + B sen px F (0) = A = 0 e então F (L) = B sen pl = 0

10 É necessário fazer B 0 um vez que, caso contrário, F 0. Logo, sen pl = 0. Assim pl = nπ, tal que p = nπ L (n inteiro) (9) Fazendo B = 1 obtemos um número infinito de soluções F (x) = F n (x), onde F n (x) = sen nπx L (n = 1, 2,...) (10) Agora, resolvemos (6) com k = p 2 = (nπ/l) 2 resultante de (9), isto é Uma solução geral é G + λ 2 ng = 0 onde λ n = cp = cnπ L G n (t) = B n cos λ n t + B n sen λ n t

11 Logo, as soluções de (1) que satisfazem (2) são u n (x, t) = F n (x)g n (t) = G n (t)f n (x), que escrevemos como: u n (x, t) = (B n cos λ n t + B n sen λ n t) sen nπx L (n = 1, 2,...) (11) Essas funções são chamadas de autofunções, ou funções características, e os valores λ n = cnπ/l são chamados de autovalores, ou valores característicos, de uma corda vibrante. O conjunto {λ 1, λ 2,...}

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13 Passo 3: Solução do Problema Inteiro por Série de Fourier As autofunções (11) satisfazem a equação da onda (1) e as condições de contorno (2). Em geral, uma única u n não satisfará as condições iniciais (3). Porém, como a equação da onda (1) é linear e homogênea, segue-se do Teorema Fundamental da Superposição que a soma de um número finito de soluções u n é a solução de (1). Para satisfazer as condições iniciais (3) consideremos a série infinita u(x, t) = u n (x, t) = n=1 n=1 (B n cos λ n t + Bn sen λ n t) sen nπx L (12)

14 Satisfazendo à Condição Inicial sobre o Deslocamento u(x,0) u(x,0) = n=1 B n sen nπx L = f (x) (13) Logo, devemos escolher os B n s de modo que u(x,0) se torna a série senoidal de Fourier de f (x). Assim, pelo Teorema da Série de Fourier de Senos, temos B n = 2 L L 0 f (x) sen nπx L dx (14)

15 Satisfazendo à Condição Inicial sobre a Velocidade u t (x,0) Similarmente, derivando (12) em relação a t e usando a condição inicial sobre a velocidade, obtemos u t = t=0 = [ ] ( B n λ n sen λ n t + Bn λ n cos λ n t) sen nπx L n=1 Bn λ n sen nπx L = g(x) n=1 Portanto, devemos escolher os Bn s tais que, para t = 0, a derivada u/ t se torne a série de Fourier senoidal de g(x). Assim, novamente do Teorema da Série de Fourier de Senos obtemos B n λ n = 2 L L Como λ n = cnπ/l, obtemos por divisão B n = 2 cnπ 0 L 0 g(x) sen nπx L g(x) sen nπx L dx t=0 dx (15)

16 Exemplo Ache a solução da equação da onda correspondente à deflexão inicial triangular 2k f (x) = L x se 0 < x < L 2 2k L (L x) se L 2 < x < L e à velocidade inicial nula.

17 Exemplo Encontre u(x, t) para a corda de comprimento L = 1 e c 2 = 1 quando a velocidade inicial for zero e a deflexão inicial com pequenos valores de k, for como se segue. Faça um esboço ou gráfico para vários valors de t. 1. k sen 2πx 2. k( sen πx 1 3 sen 3πx) 3. kx(1 x) kx(1 x 2 ) 6.

18 Exercício

19 Solução da Equação do Calor por Separação de Variáveis Da equação da onda, passemos agora para a próxima grande EDP, a equação do calor u t = 2 u c2 (16) x 2 que fornece a temperatura u(x, t) num corpo de material homogêneo. Consideremos inicialmente o caso onde as extremidades da barra, x = 0 e x = L, são mantidas na temperatura zero, de modo que as condições de contorno são u(0, t) = 0 e u(l, t) = 0 para todo t (17) Além disso, a temperatura inicial da barra no instante t = 0 é fornecida, digamos por f (x), de modo que temos a condição inicial u(x,0) = f (x) (18)

20 Passo 1. Duas EDOs a partir da Equação do Calor A substituição de um produto u(x, t) = F (x) G(t) na equação do calor fornece F Ġ = c 2 F G. Para separar as variáveis, dividimos essa expressão por c 2 FG, obtendo Ġ c 2 G = F F (19) O lado esquerdo depende somente de t e o lado direito somente de x, de modo que ambos os lados devem ser iguais a uma constante k (como na Seção 12.3). Você pode mostrar que, para k = 0 ou k > 0, a única solução u = FG satisfazendo (2) é u 0. Para valores negativos k = p 2, temos de (4), Ġ c 2 G = F F = p2 (20)

21 Multiplicando essa expressão pelos denominadores, obtemos imediatamente duas EDOs e F + p 2 F = 0 (21) Ġ + c 2 p 2 G = 0 (22)

22 Passo 2: Satisfazendo as Condições de Contorno Determinemos agora soluções F e G de modo que u = FG satisfaça as condições de contorno, ou seja u(0, t) = F (0)G(t) = 0, u(l, t) = F (L)G(t) = 0 Resolvendo a equação (5), onde podemos mostrar que k deve ser negativo, digamos k = p 2, e tem solução geral F (x) = A cos px + B sen px Desta e das condições de contorno temos Logo F (0) = A = 0 e F (L) = B sen pl = 0 sen pl = 0, com p = nπ L, n = 1, 2,...

23 Fazendo B = 1, obtemos as seguintes soluções de (21) que satisfazem (17) F n (x) = sen nπx, n = 1, 2,... L Agora, resolvemos (22) com k = p 2 = (nπ/l) 2, cuja solução geral é G n (t) = B n e λ2 n t na qual B n é uma constante. Logo, as funções u n (x, t) = F n (x)g n (t) = B n sen nπx L e λ2 n t (23) são soluções da equação do calor (16) que satisfazem (17). Estas são autofunções do problema, correspondentes aos autovalores λ n = cnπ/l.

24 Passo 3: Solução do Problema Inteiro por Série de Fourier Até aqui, temos soluções (23) que satisfazem as condições de contorno (17). Para obtermos uma solução que também satisfaça a condição inicial (18), consideremos uma série desses autovalores, Disso e de (18), temos u(x, t) = u n (x, t) = B n sen nπx n=1 n=1 2 L e λ n t (24) u(x,0) = n=1 B n sen nπx L = f (x) Logo, para (24) satisfazer (18), os B n s devem ser os coeficientes da série de Fourier do seno, logo B n = 2 L L 0 f (x) sen nπx L dx (25)

25 Exercício Obtenha a solução para a equação do calor bidimensional estacionário ( equação de Laplace) 2 u x + 2 u 2 y = 0 2 sujas condições de contorno são apresentadas na figura abaixo ( u(x, y) = A nπx ) ( nπy ) n sen senh a a n=1 A 2 a ( nπx ) n = f (x) sen dx a senh (nπb/a) a 0

26 Exercício Uma barra de prata lateralmente isolada de comprimento 10 cm, difusividade térmica c 2 = 1,71 cm 2 /s, tem uma temperatura inicial f (x) e é mantida a 0 o C nas extremidades x = 0 e x = 10. Encontre a temperatura u(x, t) em instantes posteriores para f (x) igual a: 5. f (x) = sen 0,4πx 6. f (x) = sen 0,1πx + 0,5 sen 0,2πx 7. f (x) = 0,2x se 0 < x < 5 e 0 nos demais casos 8. f (x) = 1 0,2 x 5 x se 0 < x < 2,5 9. f (x) = 2,5 se 2,5 < x < 7,5 10 x se 7,5 < x < 10

27 Exercício 13. Mostre que para a barra completamente isolada, u x (0, t) = 0, u x (L, t) = 0, u(x,0) = f (x) e que por separação de variáveis, chegamos à seguinte solução u(x, t) = A 0 + n=1 A n cos nπx L e (cnπ/l)2 t sendo e A n = 2 L A 0 = 1 L L 0 L 0 f (x) dx f (x) cos nπx L dx

28 Exercício Encontre a temperatura da barra de comprimento com L = π, difusividade térmica c = 1, completamente isolada u x (0, t) e u x (L, t) = 0 e condição inicial u(x,0) = f (x), sendo 14. f (x) = x 15. f (x) = f (x) = 0,5 cos 4x 17. f (x) = π 2 x f (x) = 0,5π x 0,5π 19. f (x) = (x 0,5π) 2

29 Exercício 10. Se as extremidades x = 0 e x = L da barra são mantidas a temperaturas constantes U 1 e U 2, respectivamente, qual é a temperatura u 1 (x) na barra após um longo tempo (teoricamente, quanto t )? Responda primeiro por palpite, depois calcule. Exercício 11. Se as extremidades x = 0 e x = L da barra são mantidas a temperaturas constantes U 1 e U 2, respectivamente, determine a temperatura u(x, t) num instante qualquer. Exercício 20. Encontre a temperatura de uma barra cuja extremidade esquerda é mantida a 0 o C [u(0, t) = 0], a extremidade direita é isolada [u x (L, t) = 0] e a temperatura inicial é constante [u(x,0) = U 0 ].

30 Exercício 28. Resolva a equação de Laplace para determinar o potencial no retângulo 0 x 20, 0 y 40 cujo lado superior é mantido no potencial de 200 V, entando os outros lados aterrados. Exercício 29. Resolva a equação de Laplace para determinar o potencial no quadrado 0 x 2, 0 y 2 cujo lado superior é mantido no potencial de sen 0,5πx, estando os outros lados aterrados. Exercício 30. Encontre as soluções permanentes (temperaturas) na chapa quadrada com lados de tamanho 2 satisfazendo às seguintes condições de contorno. Represente graficamente as isotermas. (a) u = sen πx no lado superior e 0 nos demais lados. (b) Condições de contorno de sua escolha (porém tais que a solução não seja identicamente nula).