Exercícios Complementares 6.3

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1 Exercícios Complementares A Usando a De nição ou o Teorema 6.1.9, mostre que as funções dadas são soluções LI da edo indicada. y 1 (x) = sen x; y (x) = cos x; y 00 + y = 0; y 1 (x) = ; y (x) = sen x; y 3 (x) = 3 cos x; y 000 y = 0; (c) y 1 (x) = e x ; y (x) = e x ; y 3 (x) = sen x; y 4 (x) = cos x; y (4) y = 0; (d) y 1 (x) = e x ; y (x) = e x ; y (x) = e 3x ; y 000 6y y 0 6y = 0 6.3B Encontre a solução geral das seguintes edo s y 00 3y 0 + y = 0 y (4) + 4y = 0 (c) y 000 6y y 0 6y = 0 (d) y y 0 + y = 0 (e) y (4) + 5y 000 = 0 (f) y 000 3y y 0 y = 0 (g) y 000 y 00 y 0 + y = 0 (h) y (4) + y 00 + y = 0 6.3C Em cada caso, veri que que as funções dadas são soluções LI da edo indicada e determine a solução geral. y 1 (x) = cos x e y (x) = sen x; y (4) 4y y 00 4y 0 + 6y = 0; y 1 (x) = e x cos x e y (x) = e x sen x; y (4) y y 00 64y y = 0; (c) y 1 (x) = e x cos x e y (x) = e x sen x; y (4) 6y y 00 6y 0 + 1y = 0; (d) y 1 (x) = e x e y (x) = xe x ; y (5) y (4) y y 00 + y 0 y = 0; (e) y 1 (x) = e x ; y (x) = e x e y 3 (x) = e x ; y (6) 5y (4) + 16y y 00 16y 0 3y = 0 6.3D Qual a solução geral de uma edo linear homogênea com coe cientes constantes, cuja equação característica possui as seguintes raízes ; ; ; 3 4i; 3 + 4i; 3 4i; 3 + 4i; 3 e 3? Qual é a edo? 6.3E Encontre a edo de segunda ordem com a seguinte família de curvas integrais y = C 1 x + C x y = C 1 e x + C xe x (c) C 1 e x + C e x 6.3F Com o Método dos Coe cientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.

2 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 43 y 00 y 0 y = 4x y 0 5y = (x 1) sen x + (x + 1) cos x (c) y 00 + y 0 + y = 1 + x (d) y y 0 + y = x + e x (e) y 00 = 9x + x 1 (f) y 00 3y 0 + y = e x e x + sen x (g) y 000 y 00 y 0 + y = x (h) y 0 5y = x e x xe 5x (i) y 0 y = 1 + xe x (j) y 000 6y y 0 6y = xe x (k) y (4) + 4y = x 3x + (l) y 000 y = 3 sen x cos x 6.3G Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy 4x y 00 4xy 0 + 3y = sen ln ( x) ; x < 0 x y 00 3xy 0 + 3y = 0 (c) x y 00 xy 0 + y = 1 + (ln x) ; x > 0 (d) x y 00 3xy 0 + 3y = ln x, x > 0 (e) x 3 y 000 3x y xy 0 6y = 0 (f) x y 00 6xy 0 = 0 6.3H. Considere as funções y 1 (x) = x m sen ln (x n ) e y (x) = x m cos ln (x n ), de nidas para x > 0 Calcule o wronskiano w (x) dessas funções e encontre uma edo do tipo Euler de segunda ordem possuindo y 1 e y como soluções. 6.3I. Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo. y 00 y 0 + y = x 1 e x y x y = x4 (c) y 00 y 0 + y = x 5 e x (d) y y = sen x (e) y 00 y 0 + y = e x + xe x (f) x y 00 y = (x 1) x (g) y x y 0 x 3 y = x ln x (h) y y 0 = sec x 6.3J Veri que que as funções x 1 (t) = t e x (t) = 1 + t são soluções da edo homogênea t 1 x t _x + x = 0 e usando o MVP encontre a solução geral da edo não homogênea 6.3K Considere a edo não homogênea t 1 x t _x + x = 1 t t 3 x + 3t x = 1 Veri que que as funções x 1 (t) = 1; x (t) = t e x 3 (t) = 1=t; t > 0; são soluções LI da edo homogênea associada e, usando o MVP, encontre a solução geral da edo não homogênea.

3 44 EDO LINEAR DE ORDEM SUPERIOR CAP L Qual a solução da equação de Euler-Cauchy x y 00 xy 0 +y = 0 que satisfaz às condições iniciais y (1) = 1 e y 0 (1) = 4? y 0 (1) = 6.3M Encontre a solução da edo x y 00 + xy 0 + y = ln x que satisfaz às condições y (1) = 0 e 6.3N Mostre que as funções sen x e cos x são soluções LI da edo xy 00 y 0 +4x 3 y = 0, embora o wronskiano seja nulo em x = 0 Por que isso não contradiz os fatos teóricos (Observação )? 6.3O Veri que que no intervalo ]0; 1[ as funções y 1 (x) = sen (1=x) e y (x) = cos (1=x) são soluções LI da edo x 4 y 00 + x 3 y 0 + y = 0 e encontre a solução que satisfaz às condições y (1=) = 1 e y 0 (1=) = 1 6.3P Considere a edo y 00 + a (x) y = b (x) ; sendo a (x) e b (x) funções deriváveis. Se y 1 (x) e y (x) são soluções LI da edo homogênea associada, mostre que a solução geral da edo não homogênea vem dada por y (x) = Z y 1 (x) Z y (x) b (x) dx + y (x) y 1 (x) b (x) dx 6.3Q Considere a edo de segunda ordem y 00 + a 1 (x) y 0 + a 0 (x) y = b (x) ; com a 0 (x) ; a 1 (x) e b (x) contínuas. Se ' (x) é uma solução não nula da edo homogênea associada, mostre que a substituição y = 'z leva a edo à forma d dx ' z 0 + a 1 ' z 0 = 'b; que possui fator integrante I = exp R a 1 (x) dx 6.3R Usando o método descrito no exercício precedente com ' (x) = x ou ' (x) = e x ; determine a solução geral das seguintes edo s xy 00 (x + 3) y 0 + 3y = x (1 x) y 00 + xy 0 y = (1 x) (c) 1 + x y 00 xy 0 + y = 0 (d) xy 00 (x + 1) y 0 + (x + 1) y = 0

4 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 45 Exercícios Complementares A Com auxílio do Método da Série de Taylor, encontre a solução em série de potências de cada PVI dado a seguir y 0 = x + y ; y (0) = 1 y 0 = sen x + y ; y (0) = = (c) y 0 = x + sen (xy) ; y (0) = 1 (d) y 0 = xy + 1; y (1) = 1 7.4B Considere o mesmo exercício precedente para os p.v.i de segunda ordem < y 00 + y = 0 < y 00 = x y y (0) = 1; y 0 (0) = 1 y (0) = 1; y 0 (0) = 0 < y 00 xy 0 + 6y = 0 < y 00 xy 0 + x y = 0 (c) (d) y (0) = 1; y 0 (0) = 0 < y 00 xy 0 = x (e) y (1) = 0; y 0 (1) = 1 Exercícios Complementares.4 y (0) = 1; y 0 (0) = 1 < y 00 + xy 0 + y = 0 (f) y (0) = 0; y 0 (0) = 1.4A Escreva cada edo abaixo como um sistema de primeira ordem. x _x + x = t x t _x + x = 4te t (d) x _x + e t x = t.4b Repita o exercício precedente com a edo de 3 a ordem x x + e t x = t.4c Encontre a solução geral dos seguintes sistemas < _x 1 = x < _x 1 = 3x 1 + 4x _x = x 1 + 3x _x = x 1 + 3x >< (c) > _x 1 = x 1 + x x 3 _x = 3x x 3 (d) _x 3 = 3x 1 + x 3x 3 >< > _x 1 = 3x 1 3x + x 3 _x = x 1 x _x 3 = x 1 x + x 3

5 46 EDO LINEAR DE ORDEM SUPERIOR CAP. 6 Respostas e Sugestões Exercícios B y = C 1 e x + C e x (c) y = C 1 e x + C e x + C 3 e 3x (e) y = (C 1 + C cos x + C 3 sen x) e x y = (C 1 e x + C e x ) sen x + (C 3 e x + C 4 e x ) cos x (d) y = e x=4 [C 1 cos (x=4) + C sen (x=4)] (f) y = C 1 + C x + C 3 x + C 4 e 5x (g) y = C 1 e x + C e x + C 3 xe x (h) y = C 1 cos x + C sen x + x (C 3 cos x + C 4 sen x) 6.3C y = C 1 cos p x + C sen p x e x + C 3 cos x + C 4 sen x y = (C 1 cos x + C sen x)e x + (C 3 cos x + C 4 sen x)xe x (c) y = (C 1 cos x + C sen x) e x + C 3 cos p 5x + C 4 sen p 5x e x (d) y = (C 1 + C x + C 3 x )e x + (C 4 + C 5 x) e x (e) y = C 1 e x + C e x + (C 3 + C 4 x) e x + (C 5 cos x + C 6 sen x) e x 6.3D y = C 1 + C x + C 3 x e x +(C 4 + C 5 x + C 6 cos 4x + C 7 sen 4x + C x cos 4x + C 9 x sen 4x) e 3x 6.3E x y 00 xy 0 + y = 0 y 00 + y 0 + y = 0 (c) y 00 3y 0 + y = 0 6.3F y = C 1 e x + C e x x + x 3 y = 71 5x sen x x 33 (c) y = (C 1 cos x + C sen x) e x + x cos x + C 1 e 5x x + 1 (d) y = (C 1 cos x + C sen x)e x x + ex 13 x (e) y = C 1 + C x + x x4 4 (f) y = C 1 e x + C e x sen x cos x xex xe x (g)y = C 1 e x + C e x + C 3 xe x + x + x + 4 (h) y = 1 x e 5x 1 4 x + 1 x e x + C 1 e 5x (i) y = 1 e x + xe x + C 1 e x

6 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 47 (j) y = 1 1xe x e x + C 1 e x + C e x + C 3 e 3x (k) y = (C 1 cos x + C sen x)e x + (C 3 cos x + C 4 sen x)e x + x 4 (l) y = C 1 e x + e hc x= p p i cos 3x + sen 3x sen x + cos x + 3x G y = C 1 ( x) 3= + C ( x) 1= 1 65 sen ln ( x) + 65 cos ln ( x) y = 1 + ln x + 1 (ln x) + x (C 1 cos ln x + C sen ln x) (c) y = ln x + C 1x + C x 3 (d) y = C 1 x + C x 3 (e) y = C 1 x + C x + C 3 x 3 (f) y = C 1 + C x 7 6.H w (x) = nx m 1 ; x y 00 + (1 m) xy 0 + m + n y = 0 6.I y = C 1 e x + xe x ln jxj + C xe x y = C 1 x x5 (c) y = C 1 sen x + C cos x cos x ln jsec x + tg xj (d) y = cos x + C 1 cos x + C sen x (e) y = 1 x e x x3 e x + C 1 e x + C xe x (f) y = C 1 x 1 + C x I (g) y = C 1 x + (x ln x) 3 4 x + x 1 ln x h C + C 3 ln x (ln x)3i (h) y = C 1 + C sen x + C 3 cos x + ln jsec x + tg xj x ln jcos xj 6.3J x (t) = C 1 t + C 1 + t + t 4 =6 t = 6.3K. x (t) = C 1 + C t + C 3 =t + t ln t 1 ln t t= + 1= 6.3L y = 3x x 6.3M y = sen ln x + ln x 6.3N Porque x = 0 é um ponto singular. 6.3O y (x) = 1= sen (1=x) cos (1=x) 6.3R y = C 1 x + C x 3 + 3x + 6x x 4 + 4x 3 + 1x + 4x + 4 y = 1 + x + x + C 1 x + C e x (c) y = C 1 x + C x 1 (d) y = e x C 1 + C x

7 4 EDO LINEAR DE ORDEM SUPERIOR CAP. 6 Exercícios A y (x) = 1 + x + x x x4 + y (x) = + 1 1! x 1 3! x3 6 4! x4 + (c) y (x) = 1 + x x4 + (d) y (x) = 1 + 1! (x 1) + 5! (x 1) + 3! (x 1) B y (x) = 1 + (x 1) 1! (x 1) 1 3! (x 1) ! (x 1)4 + y (x) = 1 1! x + 4! x4 + (c) y (x) = ! x 4! x4 + (d) y (x) = 1 x 3! x3 4! x4 + (e) y (x) = (x 1) + 3! (x 1) ! (x 1) ! (x 1)4 + 3 (f) y (x) = x 3! x ! x5 7! x7 + Exercícios.4.4A < _x 1 = x _x = x 1 + x + t < _x 1 = x < (c) _x = x 1 + t x + te t _x 1 = x _x = e t x 1 x t.4b _x 1 = x ; _x = x 3 ; _x 3 = e t x 1 + x + t.4c A solução geral do sistema é obtida como combinação linear das colunas da Matriz Solução exp (ta). < x 1 (t) = C 1 e t + C e t < x 1 (t) = C 1 e t + C e t x (t) = C 1 e t + C e t x (t) = C 1 e t + C e t 3 e t + 3e t e t e t e t e t + e t (t + 1) t 3t t + t 3 (c) 6 e 4 t + 3e t e t e t e t e t + e t 7 (d) et 6 t t 5 4 t + 1 t 7 e t + 3e t e t e t e t e t + e t t t = t t + 1 5