Exercícios Complementares 5.2

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1 Exercícios Complementares A Veri que se a função dada é ou não solução da EDO indicada: (a) y = 2e x + xe x ; y y 0 + y = 0: (b) x = C 1 e 2t + C 2 e 3t ; :: x 10 : x + 6x = 0: (c) y = ln x; xy 00 + y 0 = 0; x > 0: (d) y = x ; y 0 + 2xy 2 = 0; 1 < x < 1: (e) y = C 1 sen 2x + C 2 cos 2x; y y = 0: (f) x = C 1 sen 1 t + C 2 cos 1 t ; d dt (g) y = 1 2 (ex e x ) ; y (4) y = x: t 2 _x + 1 x = 0; t > 0: t2 5.2B Encontre uma função r (x) de modo que y = sen (ln x) ; x > 0; seja solução da EDO: r (x) y y x = 0: 5.2C Determine as constantes C 1 e C 2 para que a função y (x) atenda às condições indicadas: (a) y (x) = C 1 sen 2x + C 2 cos 2x + 1; y (=8) = 0; y 0 (=8) = p 2: (b) y (x) = C 1 e 2x + C 2 e x + 2 sen x; y (0) = 0; y 0 (0) = 1: 5.2D Determine as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas: (a) y = x (b) y 2 = 4x (c) x 2 + y 2 2x = 0 (d) 2 x 2 + y 2 = 2 (e) xy = (f) y = e x (g) x 2 + y 2 = 2 (h) x 2 y 2 = 2 : 5.2E Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se leiras de bactérias na cultura; e após quatro horas, leiras. Determine: (a) a expressão do número N (t) de leiras de bactérias presentes na cultura no instante t e (b) o número aproximado N 0 de leiras de bactérias no início da cultura.

2 CAPÍTULO 5 - EDO DE PRIMEIRA ORDEM F Cinco ratos, em uma população estável de 500, são intencionalmente inoculados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação da epidemia, segundo a qual a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de ratos infectados pelo número de ratos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para que a metade da população contraia a doença? 5.2G Sabe-se que a população de certo estado cresce a uma taxa proporcional ao número presente de habitantes. Se após dez anos a população triplicou e se após vinte anos a população é de pessoas, determine o número inicial N 0 de habitantes no estado. 5.2H Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100 miligramas e se, após dois anos, 5% do material decaiu, determine: (a) a expressão para a massa m (t) em um instante t e (b) o tempo necessário para o decaimento de 10% do material. 5.2I Sabe-se que o C 137 s (Césio 137) se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Sua meia-vida, isto é, o tempo necessário para 50% da massa inicialmente presente se desintegrar, é da ordem de 30 anos. Qual a percentagem que se desintegra em 1 ano? 5.2J Danielle depositou R$ 5.000,00 em uma conta que paga juros compostos continuamente. Admitindo que não haja depósitos adicionais ou retiradas, determine o saldo S da conta de Danielle após sete anos, se a taxa de juros é de 8,5% durante os quatro primeiros anos e de 9,25% durante os últimos três anos. 5.2K Um depositante aplica R$ 5.000,00 em uma conta em favor de um recém-nascido. Admitindo que não haja outros depósitos ou retiradas, de quanto a criança disporá ao atingir a idade de 21 anos, se o banco abona juros de 5% ao ano compostos continuamente durante o período? 5.2L Determine a taxa de juros i necessária para triplicar um investimento em dez anos sob capitalização contínua. 5.2M Um corpo à temperatura de 50 0 F é colocado ao ar livre onde a temperatura é F. Se, após 5 minutos, a temperatura do corpo é de 60 0 F, determine: (a) o tempo t necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75 0 F e (b) a temperatura T do corpo após 20 minutos.

3 34 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 5.2N Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um quarto que é mantido à temperatura constante de 30 0 F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0 0 F e após 20 minutos é 15 0 F, determine a temperatura inicial T 0 do corpo. 5.2O Um corpo à temperatura de 50 0 F é colocado em um forno cuja temperatura é mantida em F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 75 0 F, determine o tempo t necessário para que o corpo atinja a temperatura de F. 5.2P Uma barra de ferro, previamente aquecida a C, é resfriada em um tanque de água mantida à temperatura constante de 50 0 C. A barra resfria C no primeiro minuto. Quanto tempo levará até que a barra resfrie outros C? 5.2Q Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10kg de sal. A partir de um dado momento, água pura começa a entrar no tanque à razão de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Qual a quantidade Q (t) de sal no tanque após t minutos? O que ocorre com a quantidade de sal no tanque com o passar do tempo? 5.2R Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 1kg de sal. A partir de um dado momento, outra solução de salmoura com 1kg de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de 10 litros por minuto, enquanto a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Determine: (a) a quantidade Q (t) de sal no tanque no instante t e (b) o instante t em que a mistura no tanque contém exatamente 2kg de sal. 5.2S Um tanque contém 380 litros de salmoura obtida dissolvendo-se 27kg de sal na água. Água salgada com 0; 10kg de sal por litro, entra no tanque à razão de 7,5 litros por minuto, e a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Determine a quantidade Q de sal no tanque após 30 minutos. 5.2T Um tanque contém inicialmente 300 litros de salmoura com 0; 225kg de sal por litro. Em t = 0, começa a entrar no tanque outra solução de salmoura com 0; 120kg de sal por litro, à razão de 15 litros por minuto, enquanto a mistura, bem homogeneizada, sai do tanque à razão de 30 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no tanque quando este contiver exatamente 150 litros de salmoura.

4 CAPÍTULO 5 - EDO DE PRIMEIRA ORDEM U Deixa-se cair de uma altura de 150m um corpo de 15kg de massa, sem velocidade inicial. Desprezando a resistência do ar, determine a expressão da velocidade v (t) e da posição y (t) do corpo num instante t: Qual o tempo necessário para o corpo atingir o solo? 5.2V Deixa-se cair de uma altura de 30m um corpo de 30kg; com uma velocidade inicial de 3 m/s. Admitindo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade e que a velocidade-limite é de 43 m/s, determine a expressão da velocidade v (t) e da posição y (t) do corpo num instante t: 5.2X Deixa-se cair de uma altura de 300 m uma bola de 75 kg. Determine a velocidade limite v da bola, se a força, devido à resistência do ar, é de 0; 5v: Exercícios Complementares A As seguintes EDO s são apresentadas na forma normal e na forma diferencial. Classi que-as em: linear (L), separável (S), exatas (E) ou a coe cientes homogêneos (H): (a) y 0 = xy; xydx dy = 0 (b) y 0 = xy; xdx 1 y dy = 0 (c) y 0 = xy2 x 2 y + y 3 ; xy2 dx x 2 y + y 3 dy = 0 (d) y 0 = xy 2 x 2 y + y 2 ; xy2 dx + x 2 y + y 2 dy = 0: 5.4B Resolva por integração formal, indicando onde a solução está de nida: (a) y 0 = 5y (b) (2x 1) cos 4 ydx + x 2 2x + 2 dy = 0 (c) xdx y 2 dy = 0 (d) p 1 y 2 dx x 2 dy = 0 (e) y ln xdx 2ydy = 0 (f) x dx + y 2 + y dy = 0: 5.4C Encontre a solução geral de cada EDO dada a seguir: (a) y 0 + y = 3 (b) xy 0 + 4y = x 5 (c) xy 0 + y = 2x + e x (d) y 0 7y = sen 2x (e) y 0 3y = 1 (f) x 2 y 0 xy = x (g) y 0 + ay = b; a 6= 0 (h) y 0 = e x y (i) (1 + e x ) yy 0 = e x (j) xy 0 + y = xe x2 (k) y 0 = xy2 y x (l) cos(y 0 ) = 0:

5 36 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 5.4D Usando um fator integrante do tipo I = exp determine a solução geral da EDO não linear: y 0 = 3x2 y x 3 + 2y 4 : R g (y) dy, onde g (y) = 1 P (P y Q x ) ; 5.4E Usando o método do Exemplo encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli: (a) y 0 + xy = 6x p y (b) dx dy = x2 x (c) 3 y 0 + y = (1 2x) y 4 (d) y 0 y = x p y (e) y 0 3 x y = p x4 3 y (f) xy 0 = y + xy 3 (1 + ln x) 5.4F Se y 0 (x) é uma solução da EDO linear y 0 + a (x) y = b (x) ; veri que que: y 1 (x) = y 0 (x) + C exp( R a (x) dx) também é solução, para qualquer valor da constante C. 5.4G Veri que que as EDO s dadas abaixo são exatas, resolvendo-as a seguir: (a) 3x 2 ydx + x 3 y x dy = 0 (b) (x + x 2 )dx + (y + y2 x 2 + y 2 )dy = 0 (c) (x 1) 2 dx 2ydy = 0 (d) (2x y) dx + (2y x) dy = 0: 5.4H Determine um fator integrante I (x; y) e as curvas integrais de cada EDO. (a) y + x 3 y 3 dx + xdy = 0 (b) y xy 2 dx + xdy = 0 (c) y + x 4 y 2 dx + xdy = 0 (d) xydy + x 2 + 2y dy = 0 (e) xy 2 dx + x 2 y 2 + x 2 y dy = 0 (f) x 2 + y dx (xy + y) dy = 0 (g) (2xy 2 + x y 2 )dx + 4x2 ydy = 0 (h) x 2 + y 2 a 2 dx 2xydy = 0 (i) y + x 3 + xy 2 dx xdy = 0 (j) x 3 y 2 y dx + x 2 y 4 x dy = 0 (k) x 2 + y 2 + y dx xdy = 0 (l) 3x 2 y 2 dx + 2x 3 y + x 3 y 4 dy = 0: 5.4I Veri que que a substituição x = u m e y = v n, sendo m e n não nulos tais que 2m = 3n; reduz a EDO: 2x 3 + 4xy 3 dx + 6x 2 y 2 3y 5 dy = 0 a uma EDO com coe cientes homogêneos e em seguida determine a solução geral da equação. 5.4J Imitando o método utilizado no exercício precedente, encontre a solução geral da EDO: xydx + xy 4 2x 2 dy = 0; x > 0; y > 0:

6 CAPÍTULO 5 - EDO DE PRIMEIRA ORDEM K Em cada caso veri que que a EDO tem coe cientes homogêneos e encontre as curvas integrais. (a) x 2 y 2 dx + 2xydy = 0 (b) (x 2 tg(y 2 =x 2 ) 2y 2 )dx + 2xydy = 0 (c) x 2 + y 2 dx + xydy (d) x 4 + 2y 4 dx xy 3 dy = 0 (e) (x tg(y=x) y)dx + xdy = 0 (f) x 3 + 2xy 2 dx + y 3 + 2x 2 y dy = 0: 5.4L Encontre a EDO de primeira ordem com a seguinte família de curvas integrais: (a) y = Cx (b) y 2 = 2Cx (c) x 2 + y 2 = 2Cx (d) xy = C: 5.4M Escreva a EDO na forma exata e em seguida encontre sua solução geral: (a) xdy ydx = x 2 + y 2 dx (b) xdy + ydx + x 4 y 4 (ydx + xdy) = 0 (c) p x 2 + y 2 dx = xdy ydx (d) 3y (ydx + 3xdy) = 2x 2 (3ydx + 2xdy) (e) ydx xdy x 2 y 4 = xdy + ydx (f) 3xydx + 2x 2 dy = 6y 3 dx + 12xy 2 dy: 5.4N Em cada caso use a substituição indicada e determine a solução geral da EDO: (a) y = 4e y sen x; z = e y (b) (y 4x) 2 dx dy = 0; z = y 4x (c) 4(y 0 ) 2 9x = 0; z = y 0 (d) y 0 sen y = cos y (1 x cos y) ; z = sec y (e) tg 2 (x + y) dx dy = 0; z = x + y (f) (x + y) dx + (3x + 3y 4) dy = 0; z = x + y (g) y(y 0 ) 2 + (x y) y 0 = x z = y 0 (h) y 0 sen y = cos x(2 cos y sen 2 x); z = cos y: Exercícios Complementares A O Teorema de Existência e Unicidade é aplicável ao PVI xy 0 2y = 0; y (1) = 1? 5.6B Veri que que as funções y 0 e y (x) = x 2 são soluções do PVI xy 0 2y = 0; y (0) = 0. Por que esse exemplo não viola o Teorema de Existência e Unicidade? 5.6C Quantas soluções da EDO y 0 = 1 y 2 passam pela origem? Quais são essas soluções? 5.6D Utilizando o Teorema de Existência e Unicidade, mostre que a função y (x) 0 é a única solução do PVI: 8 >< y 00 + e x y 0 + (x + 1) y = 0 >: y (1) = 0; y 0 (1) = 0:

7 38 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 5.6E Considere o exercício anterior para y (x) 1 e o PVI: 8 >< >: y x 2 y 00 + p x y 0 = 0 y (0) = 1; y 0 (0) = 0; y 00 (0) = 0: 5.6F No Exemplo encontramos a solução geral da EDO y 00 + y = 0. Mostre que essa EDO não possui solução satisfazendo às condições y (0) = 0 e y () = 1: 8 < y y = 0 5.6G Mostre que y (x) = C cos 2x é a solução geral do sistema : y 0 (0) = 0: 5.6H Seja y (x) ; a x b; uma solução da EDO y xy 0 + 4y = 0; cujo grá co é tangente ao eixo x no ponto de abscissa x 0 do intervalo [a; b] : Mostre que a solução y (x) é identicamente nula. 5.6I Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI). Nos problemas de segunda ordem use a substituição z = y 0 : (a) y 0 y = 1; y (0) = 0 (b) e x y 0 + 2e x y = e x ; y (0) = 1=2 + 1=e (c) xy 0 + 2y = x 2 ; y (1) = 0 (d) (sen x) y 0 + (cos x) y = cos 2x; y( 2 ) = 1 2 (e) xy 0 + y = 2x; y (1) = 1 (f) x 2 + y 2 dx + 2xydy = 0; y (1) = 1 (g) y 0 + 2xy = 2x 3 ; y (0) = 1 (h) y 00 + y 0 = 2; y (0) = 1; y 0 (0) = 1 (i) ydx xdy x 2 + y 2 = 0; y (2) = 2 (j) 2yy 00 = 1 + (y 0 ) 2 ; y (0) = 1; y 0 (0) = 1: 5.6J Use uma série de potências de e x e calcule o valor y (1) com três casas decimais, sendo y a solução do PVI: y 0 + 2xy = 1 y (0) = 1: RESPOSTAS & SUGESTÕES 5.2 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 5.2A (a) V (b) F (c) V (d) V (e) V (f) V (g) F 5.2B r (x) = x 5.2C (a) C 1 = p ; C 2 = p (b) C 1 = 1; C 2 = 1

8 CAPÍTULO 5 - EDO DE PRIMEIRA ORDEM D Se as trajetórias são descritas pela equação F (x; y; ) = 0, então as trajetórias ortogonais são governadas pela EDO F y dx F x dy = 0: Nas respostas, representa-se por C uma constante genérica. (a) x 2 + y 2 = C: (b) 2x 2 + y 2 = C: (c) Neste caso, a EDO resultante é 2xydx + y 2 x 2 dy = 0 e para resolvê-la use a substituição x = yv e dx = ydv + vdy (ou y = xu e dy = xdu + udx) ou determine um fator integrante para a EDO (veja a Seção 5.3). As trejetórias ortogonais são x 2 + y 2 = Cy; x; y > 0: (d) x 2 + y 2 ln x 2 = C: (e) x 2 y 2 = C: (f) 2x + y 2 = C: (g) y = Cx: (h) xy = C: 5.2E (a) N (t) = 694 exp (0; 366t) ; (b) N 0 = N (0) = 694: 5.2F t = ln k 5.2G N (t) = 16:620 exp (0; 11t) ; N 0 = 16:620: 5.2H m (t) = 100 exp ( 0; 026t) ; (b) t = 4; 05 anos. 5.2I 2; 3% da massa original. 5.2J N (t) = k exp (0; 085t) ; 0 t 4; e N (4) = R$ 7:024; 74 N (t) = k exp (0; 0925t) ; 4 t 7; e N (7) = R$ 9:271; K R$14:288; L i = 10; 99% 5.2M (a) t = 15; 4 min; (b) 79; 5 0 F 5.2N T 0 = 30 0 F 5.2O T (t) = 100e 0;029t + 150; T (100) = 23; 9 min 5.2P Mais 1; 24 min : 5.2Q Q (t) = 10 exp ( 0; 057t) ; lim t!1 Q (t) = 0:

9 40 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 5.2R (a) Q (t) = 344e 0;029t + 345; (b) t = (0; 029) 1 ln( ) ' 0; 1 min : 5.2S 31; 74 kg 5.2T 25; 9 kg: 5.2U v (t) = 9; 81t; y (t) = 4; 905t 2 ; 5; 53 s: 5.2V v (t) = 39; 65e 0;23t + 42; 65; y (t) = 172e 0;23t + (42; 65) t X 150 m/s. 5.4 EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 5.4A (a) L; S (b) L; S; E (c) CH (d) E 5.4B (a) Ce 5x (b) ln x 2 2x arctg (x 1) + tg y tg3 y = C (c) 3 2 x2 + C 1=3 (d) arctg x + arcsen y = C (e) x ln x x 2y = C (f) 2x 3 + 6x + 2y 3 + 3y 2 + C 5.4C (a) y = 3 + Ce x (b) y = C=x 4 + x 5 =9 (c) y = x + x 1 e x + Cx 1 (d) y = Ce 7x 1 53 (2 cos 2x + 7 sen 2x) (e) y = Ce 3=x 1=3 (f) y = Cx + x 2 2=x (g) y = b=a + Ce ax (h) y = ln (e x + C) (i) y = y 2 = 2 ln (1 + e x ) + C (j) y = exp x 2 + C =2x (k) y = (x ln Cx) 1 (l) y = (k + =2) x + C; k 2 Z 5.4D x = 2 3 y4 + Cy 1=3 5.4E (a) y = (Ce x2 =4 + 6) 2 (b) x = (1 + Ce y ) 1 (c) y 3 (Ce x 2x 1) = 1 (d) y = (Ce x=2 x 2) 2 (e) y = (Cx x5 ) 3=2 (f) x 2 = y 2 C 2 3 x ln x 5.4G (a) x 3 y = C (b) x 2 + y arctg (x=y) = C (c) 1 3 (x 1)3 y 2 = C (d) x 2 xy + y 2 = C: 5.4H (a) 1 y 2 = 2x2 (x + C). (I(x; y) = x 3 y 3 ) (b) ln jxj + 1 xy = C: (I(x; y) = x 2 y 2 ) (c) y = x 4 =3 Cx 1 : (I(x; y) = x 2 y 2 ) (d) x 2 y 2 + y 4 + 2y 2 = C: (I(x; y) = y) (e) ln jxyj = C y: (I(x; y) = x 2 y 3 )

10 CAPÍTULO 5 - EDO DE PRIMEIRA ORDEM 41 (f) ln jx + 1j + 4 (x + 1) y2 2 2 (x + 1) = C: (I(x; y) = (x + 1) 3 ) (g) 2x 2 y 4 + x 2 = C: (I(x; y) = y 2 ) (h) x 2 y 2 + a 2 = Cx: (I(x; y) = x 2 ) (i) y = x tg(c + x2 2 ): (I(x; y) = x 2 y 2 ) (j) 3x 3 y + 2xy 4 + Cxy = 6: (I(x; y) = x 2 y 2 ) (k) y = x tg (x + C) : (I(x; y) = x 2 y 2 ) (l) jxj 3 y 2 exp y 3 =3 = C: (I(x; y) = x 3 y 2 ) 5.4I x 4 + 8x 2 y 3 2y 6 = C 5.4J y 4 + 2xy 2 = Cy 2 : 5.4K (a) x 2 + y 2 x 3 = C (b) x sen y 2 =x 2 = C (c) x 4 + 2x 2 y 2 = C (d) y 4 = Cx 8 x 4 (e) ln jx sen (y=x)j = C (f) x 4 + 4x 2 y 2 + y 4 = C 5.4L (a) xdy ydx = 0 (b) ydx 2xdy = 0 (c) x 2 y 2 dx + 2xydy = 0 (d) xdy + ydx = 0 5.4M (a) y = x tg (x + C) (b) 3x 4 y 4 + Cx 3 y 3 = 1 (c) x 2 = C(y + p x 2 + y 2 ) (d) 2x 3 y 2 3xy 3 = C (e) x 3 y 4 3x = Cy (f) x 3 y 2 3x 2 y 4 = C: (g) y = arcsec (Ce x + x + 1) (h) cos y = 1 2 sen2 x sen x Ce sen x 5.4N (a) e y = Ce x + 2 (sen x cos x) (b) ln y 4x 2 y 4x + 2 (c) y = x 3=2 + C; C > 0 (d) y = arcsec (1 + x + Ce x ) 4 (x C) = 0 (e) 2x 2y sen (2x + 2y) = C (f) 2 ln j2 x yj + x + 3y = C (g) x 2 + y 2 = C; x + y < 0 (h) cos y = Ce 2 sen x sen x sen2 x EXERCÍCIOS ::::::::::::: ::::::::::::::::::::::: COMPLEMENTARES :::: 5.6A Sim. Neste caso y 0 = f (x; y), sendo f (x; y) = 2y=x contínua, juntamente com a derivada parcial f y ; em um pequeno retângulo contendo o ponto A (1; 1) :

11 42 SÉRIES E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS MPMATOS 5.6B O Teorema de Existência e Unicidade não é violado porque ele não se aplica neste caso. 5.6C A função y = exp (2x) 1 exp (2x) + 1 é a única solução da EDO y0 = 1 5.6I (a) y = e x 1 (b) y = exp e2x (c) y = 1 4 x2 x 2 (d) y = cos x + 1=2 sen x (e) y = x (f) y = p (4 x 3 ) =3x y 2 que passa pela origem. (g) y = 2e x2 + x 2 1 (h) y = 2x + e x (j) y = 1 2 (x + 1)2 + 1=2 (i) y = x 5.6J y (1) ' 0:867: