Equações Diferenciais

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1 IFBA Equações Diferenciais Versão 1 Allan de Sousa Soares Graduação: Licenciatura em Matemática - UESB Especilização: Matemática Pura - UESB Mestrado: Matemática Pura - UFMG Vitória da Conquista - BA 2013

2 Aula 15 Objetivos - Modelar matemáticamente fenômenos naturais utilizando equações diferenciais. 0.1 Cronologia do Carbono A proporção entre os isótopos 14 C/ 12 C (carbono-12 e carbono-14 respectivamente) na matéria orgânica viva é constante. No entanto, na matéria orgânica morta, a quantidade, Q, de 14 C diminui com o tempo a uma taxa proporcional à quantidade existente. Vejamos um modelo para a datação por utilização da relação 14 C/ 12 C. Indiquemos a taxa de decrescimento do carbono 14 C na matéria orgânica morta por dq. Sendo a taxa de crescimento proporcional à quantidade existente Q, temos o seguinte modelo onde k é a constante de proporcionalidade. Agora vejamos a solução para (1). Arrumando a equação (1), temos dq dq = kq, (1) kq = 0, (2) que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com P (t) = k e q(t) = 0 (notação vista em sala). Assim, sua solução é dada por Q(t) = e k Considerando a condição inicial Q(0) = Q 0, temos e k.0 + ce k Q(t) = ce kt. Q 0 = Q(0) = ce k.0 c = Q 0 Q(t) = Q 0 e kt. Observação 0.1. i) Uma vez que a quantidade Q, de 14 C, decresce com o tempo o valor de k deve ser negativo; ii) Quando t + temos que Q 0; iii) O tempo de meia vida do 14 C, isto é, o tempo que a quantidade de 14 C cai pela metade, é de aproximadamente 5600 anos. Exemplo 0.2. Um osso fossilizado contém 1/1000 da quantidade original de C 14. Determine a idade do fóssil. Solução: Novamente, o modelo é A(t) = A 0 e kt. Temos que, Logo, A 0 2 = A 0e k = e5600k 5600k = ln 0, 5 k = 0, A(t) = A 0 e 0, t. Quando A(t) = A 0 /1000, temos A = A 0e 0, t 0, = ln t = anos. 1

3 0.2 Crescimento Populacional Na biologia, por exemplo, é observado que a taxa de crescimento de certas bactérias é proporcional ao número de bactérias presentes num dado instante. Designando por N o número de bactérias num dado instante t, temos o seguinte modelo: = kn, (3) onde k é a constante de proporcionalidade. Arrumando (3), temos kn = 0, (4) que é uma equação diferencial ordinéria linear de primeira ordem com P (t) = k e q(t) = 0 (notação vista em sala). Sua solução é dada por e k Considerando a condição inicial = N(0), temos e k.0 + ce k ce kt. = N(0) = ce k.0 c = e kt. Exemplo 0.3. Em uma cultura, há inicial mente bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser de 2 Se a taxa de bactérias é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bacttérias quadruplique. Solução: O modelo a ser adotado é dado pela edo = kn. (5) Resolvendo 5, temos ce kt. Usando o fato de que N(0) =, temos = ce k.0 c = e kt. Além disso, temos que N(1) = 2. Assim, 2 = e k.1 e k = 2 k = ln 2. Portanto a expressão para N(t) é dada por e ln 2 t. Por fim, a população quadruplicará em 4 = e ln 2 t e ln 2 t = 4 ln 2 t = ln 4 t = ln 4 /ln 2 = 2 horas. O modelo acima se mostra bastante útil nos casos em que a taxa de morte é nula, o que ocorre, geralmente em pequenos intervalos de tempo. Agora, vejamos um modelo levando-se em conta a taxa de mortalidade. Por exemplo, se considerarmos a população de seres humanos observaremos que a mortalidade é provocada pelos mais diversos fatores, tais como subnutrição, doenças, crimes violentos etc. Esses fatores envolvem uma competição, de modo que poderíamos considerar que a 2

4 componente da taxa de mortalidade é proporcional ao número de iterações duplas. tamanho N, temos C N,2 = N(N 1) 2 dessas iterações possíveis. Assim, temos o seguinte modelo: Organizando (6), temos onde A = k2 2 (A > 0) e = 2k1 k Note que (7) é uma equação diferencial ordinária separável. De fato, cuja solução é obtida da seguinte maneira = A N( ) N N No caso de uma iteração de = k N(N 1) 1N k 2. (6) 2 = A.N(N ) (7) = AN(N N 1) = A (8) N(N ) ( 1/N1 1/ N N ) = At + c 1 1 (ln N ln N ) = At + c 1 1 ln N N = At + c 1 ln N N = At + c 1 N N = e N1At+N1c1 = e N1At e N1c1 N = Nc 2 e N1At N(1 c 2 e N1At ) = Considerando a condição inicial N(0) =, temos Por fim, = N(0) = (1 c 2 e N1A.0 ) = (1 c 2 ) 1 c 2 = c 2 = 1. (1 c 2 e N1At ) = N ( 1 ) = (1 1 N1 e N1At ) = ( ( )e At ) (1 c 2 e N1At ). (+( )e At ). (9) + ( ) e N1At Observação 0.4. i) Note que se = 0, temos 0 para todo t. Neste caso, dizemos que = 0 é um ponto de equilíbrio. Além disso, um outro ponto de equilíbrio é =. De fato, + ( ) e N1AN1 = + 0 =. ii) Diferentemente do modelo populacional anterior, este tende a quando t. De fato, lim t lim t + ( ) e N1At = + ( ) e N1A( ) = + ( ) e = + 0 = Lembre-se de que A > 0. Um pequeno ajuste na equação diferencial (9) produz lim t. = AN(N (P + 1)), que é um modelo razoável para descrever a disseminação de uma epidemia trazida inicialmente pela introdução de um indivíduo infectado em uma população estática saudável P. A solução N(t) representa o número de indivíduos infectados em qualquer tempo t. 3

5 Exemplo 0.5. Suponha que um estudante infectado com vírus da gripe retorne a uma faculdade isolada no campus onde se encomtram 1000 estudantes. Presumindo que a taxa a qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 6 dias se ainda é observado que depois de 4 dias x(4) = 50. Suponhamos que ninguém saia do campus equanto durar a epidemia. Solução: Devemos resolver o seguinte PVI = AN(N ), N(0) = 1. onde = P + 1 = 1000 é o número de estudantes no campus. Assim, Usando a condição inicial N(4) = 50, temos + ( ) e N1At e 1000At Por fim, 50 = e 1000A e 4000A = e 4000A = 19 e 4000A = N(6) = 4000A = ln A = 0, e 0,9906t estudantes e 0, Velocidade de um Corpo em Queda Livre Considerando a Resistência do Ar A 2 a Lei de Newton afirma que o produto da massa pela aceleração de um corpo é igual ao somatório das forças que o corpo está sujeito, isto é ma = i onde m é a massa do corpo, a é a aceleração e os F i são as forças que atuma sobre o corpo. No caso de um corpo em queda livre podemos supor que sobre este atuam apenas duas forças, a força peso e a força de resistência do ar. Admitiremos que a força de resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo. Pois bem, encontremos um modelo que descreva tal situação. Considerando que a aceleração é a derivada da velocidade, que a força peso é dada por P = mg (onde m é a massa do corpo e g a aceleração da gravidade) e que a força de resistência do ar é R = kv (onde k é a constante de proporcionalidade e v é a velocidade do corpo), temos o seguinte modelo: Arrumando (10), temos F i, ma = P R m dv que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com P (t) = k m Neste caso, a solução de (10)é dada por v(t) = e k m = mg kv. (10) dv + kv = g, (11) m e k m g + ce k m e q(t) = g (notação vista em sala). 4

6 Considerando a condição inicial v(0) = v 0, temos v(t) = e k m t e k m t g + ce k m t k m v(t) = gm k + ce k m t. v 0 = v(0) = gm k + ce k m.0 c = v 0 gm k. Portanto, v(t) = gm k + ( v 0 gm k ) e k m t. 0.4 Exercícios Exercício 1: Um osso fossilizado comtém 0, 3% da quantidade original de 14 C. Determine a idade do fossil. Considere a meia-vida do 14 C como sendo de 5600 anos. Resposta: anos Exercício 2: Um pára-quedista, pesando 70 kg, salata de um avião e abre seu pára-quedas passados 10s. Antes da abertura do pára quedas, o seu coeficiente de atrito era de 5 kg/s (valor de k) e depois foi de 100 kg/s. Com base nestas informações determine. a) Qual a velocidade do pára-quedista no isntante em que se abre o pára-quedas? b) Qual a distância percorrida pelo páraquedista em queda livre? c) Qual a velocidade mínima que o pára-quedista poderá atinjir, após a abertura do páraquedas? Adote g = 9, 8 m/s 2. Respostas: a) 70 m/s, b) 392 m, c) 6, 86 m/s Exercício 3: Estudos feitos tomando-se a população dos Estados Unidos mostram que a população em 1790, 1840 e 1890 era de 3, 93, 17, 07 e 62, 98 milhões, respectivamente. Use o modelo logístico (9) para estimar a população no instante t. Resposta: p(t) = 989,50 3,93+247,85e 0,030463t. 5