Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme Jahnecke Wemar AULA 03 Equações diferenciais de primeira ordem Equações separáveis Fonte: Material Daniela Buske, Boce, Bronson, Zill, diversos internet 1

2 Equações separáveis As equações diferenciais ordinárias separáveis são equações que podem ser escritas na forma Seja Então d g f d Substituindo-se g por dh/d na equação 1 obtemos h g d dh d g 1 dh d d d f

3 Equações separáveis Mas pela regra da cadeia d d h dh d d d d O que implica que pode ser escrita como: h f 3 d A eq. 3 é do tipo 1.3 d dt qt, vista na aula 0, ou seja, é da forma dy d f Em que Y = h. Assim, integrando-se 3 dos dois lados obtemos que a solução geral de 1 é dada implicitamente por h f d C 3

4 Equações separáveis Também podemos obter a solução anterior da seguinte maneira: Integrando-se em relação a ambos os membros de 1 obtemos d g d f d C d Que pode ser reescrita como g d ' f d C Fazendo a substituição d = d obtemos g d f d C Observação: As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser vistas como curvas de nível da função z F, h f d 4

5 Equações separáveis Eemplo 1: Modo de resolução 1 Encontrar a solução geral da EDO: A EDO pode ser reescrita como: d d d 4 d d 4 d ou pela regra da cadeia: d d 4 Assim a solução geral é dada implicitamente por: 4 d C As soluções são elipses ver fig. 1 que são curvas de nível da função z F, O gráfico da função F, dada é um parabolóide elíptico ver fig. 5

6 Equações separáveis Eemplo 1: Modo de resolução Encontrar a solução geral da EDO: d 4 ou ' 4 d Integrando-se em relação a ambos os membros obtemos: ' d 4d C Fazendo a substituição d = d obtemos: d 4d C Assim a solução geral é dada implicitamente por As soluções são elipses ver fig. 1 que são curvas de nível da função O gráfico da função F, dada é um parabolóide elíptico ver fig. C z F, 6

7 Equações separáveis Figura 1: Soluções da equação diferencial do eemplo 1 7

8 Equações separáveis Figura : Soluções da equação diferencial do eemplo 1 como curvas de nível do parabolóide elíptico z = F, = +. 8

9 Equações separáveis Eemplo : a Encontre a solução do PVI d 1 d b Determine o intervalo de validade da solução, ou seja, o maior intervalo contendo 0 =1 para o qual a solução e sua derivada d/d estão definidas. c Determine os pontos onde a solução tem um máimo local. d Faça um esboço do gráfico da solução. 9

10 Equações separáveis Eercício: Fazer pela primeira metodologia para verificar 10

11 Equações separáveis 11

12 Equações separáveis 1

13 Equações separáveis 13

14 Equações separáveis Figura 3: Solução do PVI do eemplo. 14

15 Equações separáveis Figura 4: Soluções da EDO e do PVI do eemplo. 15

16 Equações separáveis Figura 5: Soluções da EDO do eemplo como curvas de nível de uma função de duas variáveis z=f,=

17 Soluções por Substituições Muitas Equações Diferenciais, o primeiro passo para resolvê-la é transformar em outra E.D. conhecida por meio de uma substituição. Equações Homogêneas; Equações de Bernoulli; Equações de Riccati; 17

18 Equações Homogêneas Definição: Função homogênea Se uma função f satisfaz f, f, n Para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n. 18

19 Equações Homogêneas 19 Eemplo 1: f, =,,, f f f f é homogênea de grau Eemplo : : f, = 3 + 1, 1 3, 1 3, f f f f não é homogênea

20 Equações Homogêneas 0 Eemplo 3: : f, = e sen, / /, /, 0 / / / f sen e sen e f sen e f f é homogênea de grau zero OBS: 1. Nos eemplos e 3 observamos que uma constante adicionada à função destrói a homogeneidade, a menos que a função seja homogênea de grau zero.. Uma função homogênea pode ser reconhecida eaminado o grau de cada termo

21 Equações Homogêneas Definição: Equação homogênea Uma equação diferencial da forma M, d N, d 0 é chamada de homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau. 1

22 Equações Homogêneas Método de solução: Equação homogênea Uma equação diferencial homogênea M, d N, d 0 pode ser resolvida por meio de uma substituição algébrica. Neste caso a substituição: v transformará a equação em uma equação diferencial de 1ª ordem separável. Lembrando: v; d vd dv

23 Equações Homogêneas 3 Eemplo 1: 0 d d d d dv vd d v ; Substituição: fç homog. de mesmo grau c c v v v dv v d v dv v d dv v d v dv v d v dv v d v v v dv vd v vd / v ln 1 ln ln separáveis variáveis

24 Eercícios Resolva as equações diferenciais homogêneas: 1 + = 0 Sol. Geral: ² = C + d + d = 0 Sol. Geral: ln = C 3 cos = cos Sol. Geral: sen = ln C 4 = Sol. Geral: = Ce / 5 = + Sol. Geral: ln ² + ² + arctan/ = C 6 = ; 1 = Sol. Particular: arctan/ = ln + π/4 4

25 Equações Homogêneas Observações: Caso M, e N, sejam funções de trinômios lineares em e, ou seja a b1 c1 d a b c d Teremos de analisar se os coeficientes a 1, a, b 1 e b são proporcionais ou não. 5

26 Equações Homogêneas 6 1º caso: Os coeficientes a 1, a, b 1 e b são proporcionais, ie, Substituindo em 1: A transformação reduz à forma de uma equação de variáveis separáveis. 0 ] [ 1 d c b a d c b a R b a b a e Rb b Ra a R b b a a ; b d a dt d b a t

27 Equações Homogêneas Eemplo 1º caso: + 1 d d = 0 7

28 Equações Homogêneas 8 º caso: Os coeficientes a 1, a, b 1 e b não são proporcionais, ie, A transformação onde h e k são coordenadas da solução do sistema reduz 1 à forma de uma equação homogênea b a b a dy d dx d k Y h X c b a c b a

29 Equações Homogêneas Eemplo º caso: + 4 d + + d = Transformação: X h Y k d dx d dy h e k são coordenadas da solução do sistema h k 0 h k 4 0 reduz à forma de uma equação homogênea. k = 3; h = 1 X Y dy + X Y dx = 0 9

30 Equações Homogêneas Eemplo º caso: X Y dy + X Y dx = 0 Eq. Homogênea de Grau 1 Substituição: Y = vx; dy = vdx + Xdv X vx vdx + Xdv + X vx dx = 0 1 v X dv + vx v X X vx dx = 0 v 1 v +1 dv + dx X = 0 tan 1 v + 1 ln v ln X = C tan 1 Y X + 1 ln Y +X X + ln X = C tan ln = C 30

31 Equações de Bernoulli Seja a equação diferencial: Onde n R d d + P = f n, 1 E.D. Não linear Note que: n = 0 e n = 1 a equação se torna linear. Para n 0 e n 1, a substituição u = 1 n reduz qualquer equação da forma 1 a uma equação diferencial linear. 31

32 Equações de Bernoulli Metodologia para resolver Equações de Bernoulli: Seja a E.D. na forma 1: d d + P = f n, 1 1. Dividir a eq. 1 por n ;. Substituir u = 1 n e du = 1 n nd d d 3. Pelos passos 1 e, obtém-se a seguinte equação: 1 du 1 n d + P u = f Note que a eq. é uma Equação Linear de 1ª Ordem na função incógnita u Pode ser resolvida multiplicando pelo Fator Integrante! 3

33 Equações de Bernoulli Eemplo: d d = e Eercícios: Resolva a equação diferencial dada utilizando uma substituição apropriada. a d d 1 + = b t d dt + = t c d d = 34 33

34 Equações de Riccati Uma E.D. na forma 3: d d = P + Q + R 3 é chamada de uma eq. de Riccati. Obs: Se P = 0 Eq. é Linear! Se não for dada a sol. Particular testar: p = funções simples: cte; funções lineares; funções quadráticas; etc Se P 0 e conseguirmos de alguma forma obter uma solução particular da Equação Diferencial de Riccati E.D.R. p, então fazemos a seguinte troca de variável: = p + 1 z Note que esta troca de variável transforma a E.D.R. em uma equação diferencial linear em e z. 34

35 Equações de Riccati Eemplo: d d = p = 1 = z Obs: Eq. de Bernoulli X Eq. de Riccati d d + P = f n d d = P + Q + R 35