Instituto de Matemática - IM/UFRJ Gabarito da Primeira Prova Unificada de Cálculo I Politécnica e Engenharia Química

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Moisés Palmeira Alcaide
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Página de 5 Questão : (3.5 pontos) Calcule: + Instituto de Matemática - IM/UFRJ Politécnica e Engenharia Química 3 2 + (a) 3 + 2 + + ; + (b) ; + (c) 0 +(sen )sen ; (d) f (), onde f() = e sen(3 + +).

1 Página de 5 Questão : (3.5 pontos) Calcule: + Instituto de Matemática - IM/UFRJ Politécnica e Engenharia Química (a) ; + (b) ; + (c) 0 +(sen )sen ; (d) f (), onde f() = e sen(3 + +). (a) Como f() = é contínua em =, temos que = f() = 0. (b) Dividindo o numerador e o denominador por, obtemos + = (c) Para sair da indeterminação 0 0, reescrevemos + + =. (sen ) sen = e ln(sen )sen = e sen ln(sen ). Assim, como e é uma função contínua, temos que 0 +(sen )sen = e 0 + sen ln(sen ). Como em 0 + sen ln(sen ) temos uma indeterminação do tipo 0, reescrevemos a função sob a forma de quociente: ln(sen ) sen ln(sen ) = sen = 0 + ln(sen ) cosec, obtendo agora uma indeterminação do tipo 0/0. Assim, pela Regra de l Hôpital, obtemos ln(sen ) 0 + cosec = cos sen 0 + cosec cotg = 0 + cosec = sen = Portanto, 0 +(sen )sen = e 0 =.

2 Página 2 de 5 (d) Pela Regra da Cadeia, temos que f () = e sen(3 + +) (sen( )) = e sen(3 + +) cos( )( ) = e sen(3 + +) cos( 3 + ( + ) ) 2. Questão 2: (.5 ponto) Encontre a equação da reta tangente à curva 4 + y 4 = 2y 2 7 no ponto (2, ). Derivando implicitamente a equação da curva em relação a, obtemos Portanto, em cada ponto (, y) temos que y 3 y = 2y yy. y = 2y y 3 24y. Em particular, substituindo (, y) = (2, ) na equação acima, obtemos o coeficiente angular m da reta tangente à curva passando pelo ponto (2, ): m = 2()2 4(2) 3 4() 3 24(2)() = 5. Assim, a equação da reta tangente à curva dada passando pelo ponto (2, ) é y = 5 ( 2) y = 5 +. Questão 3: (2.0 pontos) Dois caminhos retilíneos paralelos distam de 5 metros. Os objetos A e B deslocam-se sobre os caminhos com velocidades v A (t) e v B (t), respectivamente. Em um certo instante t 0, a distância d entre eles é de 3 m, A tem velocidade v A (t 0 ) = 5 m/s e B tem velocidade v B (t 0 ) = 2 m/s, conforme a figura. Determine d (t 0 ), a velocidade com que eles estão se aproimando. 5m d B v B A v A

3 Página 3 de 5 Denotamos por A (t) e B (t) as abscissas dos pontos A e B ao longo do tempo, conforme indicado na figura abaio. B v B A A d v A 5 B Pelo Teorema de Pitágoras, d 2 (t) = ( B (t) A (t)) m 2. () Em particular, para t = t 0, substituindo d(t 0 ) = 3, obtemos que Derivando () em relação ao tempo, temos e portanto B (t 0 ) A (t 0 ) = 2 m. 2d(t)d (t) = 2( B (t) A (t))( B(t) A(t)) d (t 0 ) = ( B(t 0 ) A (t 0 ))( B(t 0 ) A(t 0 )). d(t 0 ) Finalmente, usando que B(t 0 ) = v B (t 0 ) = 2 m/s e A(t 0 ) = v A (t 0 ) = 5 m/s, concluímos que d (t 0 ) = (2 m)( 3 m/s) 3 m = 36 3 m/s, isto é, os objetos se aproimam com velocidade igual a 36 3 m/s. Questão 4: (3.0 pontos) Considere a função f() = (a) Calcule:, definida para > 0 e. ln (i) f(); 0 + (ii) f(); (iii) f(); (iv) f(); + (b) Determine, se eistirem: (i) As assíntotas verticais e horizontais de f; (ii) Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente; (iii) Os pontos de máimo e mínimo locais e/ou globais de f (abscissa e ordenada); (iv) Os intervalos onde f tem concavidade para cima (convea), concavidade para baio (côncava) e os pontos de infleão de f;

4 Página 4 de 5 (c) Faça um esboço do gráfico de f. (a) (i) Como 0 + = 0 e 0 + ln =, então 0 + ln = 0. (ii) Como = e ln =, aplicando a Regra de l Hôpital, obtemos que ln = () (ln ) = = =. (iii) Quando, ln tende a zero por valores negativos. Assim, ln =. (iv) Por outro lado, quando +, ln tende a zero por valores positivos. Portanto, + ln =. (b) (i) De acordo com os resultados obtidos nos itens (i), (iii) e (iv) de (a), concluímos que f possui apenas uma assíntota vertical: =. Já o resultado do item (ii) nos diz que f não possui assíntotas horizontais. (ii) Calculando a derivada de f pela Regra do Quociente, obtemos: f () = ln (ln ) 2 = ln (ln ) 2. Assim, f () > 0 se ln > 0, ou seja, para (e, ); f () < 0 se ln < 0, ou seja, para (0, ) (, e). Portanto, concluímos que a função f é crescente no intervalo (e, ) e decrescente nos intervalos (0, ) e (, e). (iii) Como f (e) = 0 e f () eiste para todo no domínio de f, então o único ponto crítico de f é (e, f(e)) = (e, e). Além disso, como f () < 0 para < e, e f () > 0 para > e, então (e, e) é um ponto de mínimo local de f. Sendo este o único ponto crítico, então f não possui pontos de máimo local. Por fim, do item (a), sabemos que f() = e + f() =. Portanto, f não possui pontos de máimo ou mínimo globais. (iv) Derivando a função f () = (ln )(ln ) 2, obtemos f () = (ln ) 2 2(ln )(ln ) 3

5 Página 5 de 5 f () = ( ) 2 (ln ) 2 ln. Como /((ln ) 2 ) é sempre positivo no domínio de f, o sinal de f é determinado pelo sinal do termo ((2/ ln ) ). Assim, f () > 0 se ((2/ ln ) ) > 0, ou seja, para (, e 2 ); f () < 0 se ((2/ ln ) ) < 0, ou seja, para (0, ) (e 2, ). Com isto, concluímos que f tem concavidade para cima (convea) no intervalo (, e 2 ), e tem concavidade para baio (côncava) nos intervalos (0, ) e (e 2, ). Além disso, como = e 2 é o único ponto do domínio de f onde f muda de sinal, então f tem um único ponto de infleão: (e 2, f(e 2 )) = (e 2, e 2 /2). (c) Esboço do gráfico de f:

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