7. Diferenciação Implícita

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1 7. Diferenciação Implícita ` Sempre que temos uma função escrita na forma = f(), dizemos que é uma função eplícita de, pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a epressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que é uma função implícita de. Vejamos, por eemplo, a equação =. Observamos que é uma função eplícita de, pois podemos escrever = f (), onde f () =. Entretanto, a equação 4 = 6 define a mesma função, pois isolando obtemos =. Quando escrita na forma 4 = 6, dizemos que é uma função implícita de. Observação: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em e pode definir mais de uma função implícita. Eemplo: A equação + = pode definir várias funções implícitas, tais como =, =,, =, 0, 0, <, dentre outras. Vejamos os seus gráficos: Derivação: Para derivar uma função dada na forma implícita, basta lembrar que é função de e usar a regra da cadeia. Eemplos: a) Dada a equação 4 = 6, determine (). Para não esquecermos que é função de, podemos escrever a equação como 4 () = 6. Assim, derivando ambos os lados em relação à, obtemos 8 () = 0 ou () = 4, que coincide com a derivada de =. 77

2 b) Faça o mesmo para + = + ou () + [()] = + () Derivando ambos os lados em relação à, temos: () + () + 6[()] () = + () () [ + 6[()] ] = () () = + 6 c) Mostre que a reta tangente à circunferência dada por + = r, em um ponto qualquer sobre ela, é perpendicular à reta que passa por este ponto e a origem (reta que contém o raio neste ponto). Seja (, ) um ponto qualquer sobre a circunferência. Como o coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto, então, derivando a equação da circunferência em relação à, temos: + () = 0, o que é equivalente à () = =. Assim, o coeficiente angular da reta tangente à circunferência + = r no ponto (, ) é dado por m t = /. Por outro lado, geometricamente é fácil ver que o coeficiente angular da reta que contém o raio passando por (, ), é dado por m r = /. Assim, fazendo o produto, temos: m m t r = =, o que implica que a reta que contém o raio passando por (, ) é perpendicular à reta tangente à curva neste ponto. Como tomamos um ponto qualquer sobre a circunferência, o resultado vale para todos os pontos sobre ela. Vejamos o gráfico: 78

3 d) Utilize derivação implícita para mostrar que se = arc sen, então () = Sabemos que = arc sen ñ sen =. Assim, derivando a última equação em relação à, obtemos: cos µ () =, ou () = = =. Portanto, () = cos sen.. e) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, o fabricante tem interesse em produzir mil unidades, onde a oferta e o preço estão relacionados pela equação: p p =. Qual é a taa de variação da oferta quando o preço unitário é R$ 9,00 e está aumentando à taa de 0 centavos por semana? Sabemos que para p = 9, dp/dt = 0,0. Queremos saber qual o valor de d/dt. Inicialmente observamos que para p = 9, temos: 9 9 = 6 = 0 ( + 8)( 4) = 0 = 4, já que = 8 não tem significado físico para o problema. Agora, derivando implicitamente os dois membros da equação de oferta em relação ao tempo, obtemos: d d dp dp p + p = 0. dt dt p dt dt Fazendo = 4, p = 9 e dp/dt = 0,0 nesta equação, obtemos d d (4) 9 (4) (0,0) (9) (0,0) = 0. dt dt 9 d Isolando d/dt e fazendo os cálculos necessários, encontramos = 0, 06. dt Como a oferta é dada em milhares de unidades, concluímos que a oferta está aumentando à taa de 06 unidades por semana. 79

4 EXERCÍCIOS ) Calcule d/d por derivação implícita: a) + = 5 b) + = c) + = d) ( + ) = e) 5 = f) ln + tg = ) Determine a equação das retas tangente e normal à curva dada, no ponto especificado. Usando um programa gráfico, construa os gráficos da curva, das duas retas e marque o ponto P, no mesmo sistema de eios. a) = ; P(8,4) b) = ; P(,) c) = ; P(0, ) d) = ; P(, ) 4 ) Mostre, utilizando derivação implícita, que se = arc cos, então () = 4) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda é de centenas de unidades, onde + p + p = 79. Qual é a taa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário é R$ 5,00 e está diminuindo à razão de 0 centavos por mês?. 5) Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0,00 π mm / min. Qual é a taa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm? 6) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que haverá Q(p) = p + 4p unidades de um perigoso poluente no ar quando a população for de p mil habitantes. Se a população atual é de habitantes e está aumentando à taa de.500 habitantes por ano, qual é a taa de aumento da poluição causada pelo produto? 7) Nos processos adiabáticos não eiste troca de calor com o ambiente. Suponha que um balão de oigênio seja submetido a um processo adiabático. Nesse caso, se a pressão do gás é P e o volume é V, pode-se demonstrar que PV,4 = C, onde C é uma constante. Em certo instante, V = 5 m, P = 0,6 Kg/m e P está aumentando à razão de 0, Kg/m /s. Qual é a taa de variação do volume neste instante? O volume está aumentando ou diminuindo? 80

5 8. Diferenciais Seja = f() uma função diferenciável. Já vimos que se e pertencem ao domínio da f, então a diferença é chamada incremento de e denotada por D. Assim, D =. De modo análogo, o incremento correspondente a é dado por D = f( ) f( ) = f( + D) f( ). Definição: Seja = f() uma função diferenciável em e seja D um incremento de. (i) A diferencial de é dada por d = D. (ii) A diferencial de em 0 é dada por d = f ( 0 ) d. f ( + ) f ( ) Observe que f ( ) = lim = lim. 0 0 Assim, quando D º 0, f ( 0 ) º e, conseqüentemente, D º f (0 ) D, ou seja, d º D, sempre que D º 0. Isso significa que, para pequenas variações em, podemos usar a diferencial para avaliar a correspondente variação ocorrida em. Por outro lado, D = f( + D) f( ). Logo, d º f( + D) f( ), ou seja, f( + d) º f( ) + f ( ) d, sempre que d = D º 0. Esta epressão é denominada aproimação linear de f em torno de, pois, como podemos observar, se = + d, então f( ) + f ( ) d = f( ) + f ( ) ( ) é a epressão da reta tangente ao gráfico de f em. Isso significa que em uma vizinhança muito pequena de, podemos representar a função f por sua reta tangente neste ponto, ou seja, f satisfaz f() º f( ) + f ( ) ( ). Interpretação geométrica da diferencial: 8

6 Eemplos: ) (a) Use a diferencial para aproimar a variação de sen q, quando q varia de 60 o para 6 0. (b) Calcule sen 6 0 através da aproimação linear da função seno. (a) Seja = f (q) = sen q. Então, d = f (q) dq = cos q dq. No problema, temos: q = 60 o = π π π Logo, d = (cos ) = π 0, e dq = o π =. 80 Assim, quando q varia de 60 o para 6 0, provoca uma variação de 0,0087 em sen q. (b) A aproimação linear para f (q) = sen q é dada por: f (q) = f(q + Dq) º f (q ) + df (q ) = sen q + (cos q )dq. Substituindo os respectivos valores, temos: sen 6 0 º sen π π π + (cos ) (80 ) º + 0, 0087 º 0,8747. Observação: Usando uma calculadora obtemos sen 6 0 = 0,8746, ou seja, um erro da ordem de 0,000, pelo fato de que a calculadora usa uma aproimação melhor que a linear. ) Use a diferencial para aproimar o valor de 50. Sejam f ( ) =, = 49 e d =. Então temos: f() = f( +D) º f( ) + df( ) = + d = 7 + º 7, Observação: Calculado por uma calculadora obtemos 7,0706. ) Mede-se como cm o raio de um balão esférico, com erro máimo de 0,06 cm. Aproime o erro máimo no cálculo do volume do balão. 8

7 Sejam r a medida do raio do balão e dr a medida do erro máimo cometido na medida de r. Então, quando r = cm, temos dr = 0,06 cm. Queremos determinar o erro cometido no cálculo do volume, o qual pode ser aproimado por dv, onde V(r) = 4π dv = V (r ) dr = 4 π r dr = 4 π () ( 0,06) º 08,57. r é o volume da esfera. Porém, Portanto, o erro máimo no cálculo do volume, devido a um erro na medida do raio de 0,06 cm, será de aproimadamente 08,57 cm. Observação: Embora o erro possa parecer muito grande, uma idéia melhor dele é dada pelo erro relativo, que é calculado dividindo-se o erro pelo volume total: V V dv V 4π r dr 4π r dr = r 0,06 = 0,005 = 0,05. Assim, um erro de 0,5% no raio provoca um erro de,5% no volume (para mais ou para menos). 4) Uma baleia é avistada pela tripulação de um navio, que estima seu comprimento L em 0 m, com um erro máimo possível de 60 cm. Sabe-se que o peso W (em toneladas métricas) está relacionado com L pela fórmula W = 0,0058 L,8. Use diferenciais para aproimar o erro absoluto e o erro relativo na estimativa do peso da baleia. dw = (,8) (0,0058) L,8 dl. Como L = 0 e dl = 0,6, temos dw = (,8) (0,0058) 0,8 (0,6) º,68 tons. métricas. Portanto, o erro absoluto é de aproimadamente,68 tons. métricas. O erro relativo é dado por dw W = (,8)(0,0058) L,8 0,0058L,8 dl,8 dl 0,6 = =,8 =,8 0,06 0,9. L 0 Assim, um erro de aproimadamente 6% na estimativa do comprimento acarreta um erro de aproimadamente 9% na estimativa do peso. 8

8 EXERCÍCIOS: ) Encontre a aproimação linear das funções abaio, nos pontos dados: a) f ) =, = b) f ( ) = ln, = 0 ( 0 c) ) = f e, = 0 ( 0 d) f ) =, = 8 ( 0 ) Use diferenciais para estimar os valores solicitados: a) 6, b) 0, c) cos 59 o d) ln,07 ) A aresta de um cubo tem 0 cm, com um possível erro de medida de 0, cm. Use diferenciais para estimar o erro máimo possível em calcular o volume do cubo e a área de sua superfície. 4) O raio de um disco circular é 4 cm, com um possível erro de 0, cm. Use diferenciais para estimar o erro máimo na área do disco. Qual o erro relativo? 5) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguíneo, o fluo F (volume de sangue passando, por unidade de tempo, por um ponto dado) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso, ou seja, F = kr 4 (isso é conhecido como a Lei de Poiseuille). Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma operação chamada angioplastia, na qual um cateter do tipo balão é inflado dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluo normal do sangue. Mostre que a variação relativa em F é cerca de quatro vezes a variação relativa em R. Como um aumento de 5% no raio afeta o fluo de sangue? 84