Capítulo Regra da cadeia

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1 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 1 Capítulo 28 - Regra da cadeia Introdução Generalização Regra da cadeia Este capítulo trata da chamada regra da cadeia para funções de duas ou mais variáveis reais Ele generaliza conceitos aprendidos em Cálculo 1 que têm muita utilidade em disciplinas como Microeconomia Avançada e Macroeconomia Introdução Começamos esta seção relembrando a derivação de uma função composta, também chamada de regra da cadeia, um assunto já visto no curso de Cálculo 1 e que já foi utilizado intensamente neste curso de Cálculo 2 A derivada de uma função f (g()) com relação à variável é dada por (g()) = (g) dg dg Eemplo 1: calcule a derivada da função f() = 4 2 Solução: chamando g = 4 2, temos f(g) = g = g 1/2, de modo que = dg dg = 1 2 g 1/2 ( 2) = = g 4 2 É claro que, a esta altura, o aluno médio já realiza essa conta sem a necessidade de fazer a substituição de parte da função por uma outra (g()) Para mostrar uma aplicação prática dessa regra, consideramos agora um problema em que a quantidade demandada de um certo produto depende do seu preço de venda Se considerarmos uma relação linear entre essas duas grandezas, podemos escrever Q d (P) = a bp, onde Q d é a quantidade demandada do produto e P é o seu preço, medido em alguma unidade adequada de dinheiro Caso o preço do produto seja constante no tempo, esta é uma relação bastante simples, mas suponhamos, como é o caso com diversos produtos, que o preço é uma função do tempo Se isto for verdade, a função quantidade demandada depende do preço, mas, em última análise, acaba por ser dependente do tempo: Q d (P(t)) = a bp(t) Se quisermos saber a taa de variação da quantidade demandada do produto com relação ao tempo, podemos calcular uma aproimação razoável se computarmos a derivada de Q d com relação a t Como Q d (P(t)) é uma composição das funções Q d (P) e P(t), podemos fazê-lo usando a regra da cadeia: Aplicamos isto no eemplo a seguir dq d = dq d

2 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 2 Eemplo 2: considere uma função demanda Q d (P) = P, onde P(t) = 3 2e t, onde P é o preço do produto medido em reais e t é o tempo medido em dias A empresa fabricante desse produto deseja saber a que instante de tempo a sua receita é máima Resolva esse problema considerando que a empresa consiga atender a toda a demanda pelo produto que fabrica Solução: nós precisamos calcular a derivada da receita do produto, dada pelo produto do preço pela quantidade vendida, que assumimos ser a mesma quantidade vendida do produto: r(p) = P Q d (P) Substituindo a função para Q d (P), obtemos r(p) = P( P) = 500P 100P 2 Lembrando agora que P é uma função do tempo, a receita será, em última análise, também função do tempo Podemos resolver esse problema de duas formas, desenvolvidas a seguir Primeiro modo: substituimos P(t) na equação da receita e derivamos com relação a t: [ r(p(t)) = 500(3 2 e t ) 100(3 2 e t ) 2 = e t e t + ( 2 e t) ] 2 = = e t 100 ( 9 12 e t + 4 e 2t) = e t e t 400 e 2t = = e t 400 e 2t Desse modo, temos uma função r = r(t) Derivando essa função e igualando essa derivada a zero, temos dr(t) = e t e 2t = e 2t = 200 e t e t = 1 4 Usando o logaritmo natural em ambos os lados da epressão acima, ficamos com ln e t = ln 0, 25 t = ln 0, 25 t = ln0, 5 t 1, 386, de modo que a receita com o produto vendido será máima no segundo dia de venda do produto Segundo modo: pela regra da cadeia, podemos escrever dr(p(t)) Igualando essa epressão a zero, temos = dr(p) = ( P) 2 e t dr(p(t)) Substituindo P, obtemos = 0 ( P) 2 e t = P = 0 200P = 500 P = 2, 5 P = 2, e t = 2, 5 2 e t = 0, 5 e t = 0, 25 t = ln 0, 25 1, 386 Note, dos gráficos a seguir, que tanto a função preço quanto a função receita tendem a se estabilizar após alguns dias O segundo gráfico também mostra o ponto de receita máima P (reais) Q (unidades) t (dias) t (dias) Consideremos agora um outro problema: a produção de um país é modelada pela função de produção de Cobb-Douglas, só que agora os investimentos K em infra-estrututa e L em mão-de-obra são funções do tempo: P(K,L) = AK(t) α L(t) 1 α Por isso, a produção é, em última análise, uma função do tempo Como faremos para derivar P (K(t),L(t)) em função de t? A resposta é dada a seguir

3 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia Regra da cadeia A regra da cadeia para uma função f(,), onde = (t) e = (t) é análoga à regra da cadeia para funções de uma variável real A sua forma é dada pelo teorema a seguir, que é provado na Leitura Complementar 281 (a ser feita em uma versão futura deste capítulo) Teorema 1 - Regra da cadeia para funções de duas variáveis e um parâmetro Dada uma função f(,), onde = (t) e = (t), sendo t um parâmetro, temos = + d Usando outro tipo de notação, podemos escrever = f + f d Eemplo 1: considere a função f(,) = 2 2, onde = e t e = 1 + t 2 Calcule a derivada de f com relação a t Solução: usando a regra da cadeia dada, temos = f + f d = (2 2) e t + 2 2t = [ (1 + t 2 ) 2 2 ] e t + 2 e t (1 + t 2 ) 2t = = (1 + 2t 2 + t t + 4t 3 )e t = ( 1 + 4t + 2t 2 + 4t 3 + t 4 )e t Eemplo 2: considere a função f(,) = sen, onde = 1 2t e = t 3 Calcule a derivada de f com relação a t Solução: usando a regra da cadeia dada, temos = f + f d = sen ( 2) + cos 3t2 = 2 sen + 3t 2 cos = 2 sent 3 + 3t 2 (1 2t)cost 3 Vamos aplicar o mesmo conceito para uma função de produção de Cobb-Douglas Eemplo 3: considere a função de produção dada por P(K,L) = K 0,6 L 0,4, onde K e L são funções do tempo t, sendo elas dadas por K(t) = t 2 e L(t) = 1 + t Calcule a derivada da produção com relação ao tempo Utilizando esse resultado, calcule, aproimadamente, a produção marginal para t = 1 Solução: temos dk = P K + P dl L = 0, 6K 0,4 L 0,4 2t + 0, 4K 0,6 L 0,6 1 = ( ) 0,4 ( ) 1 + t t = 0, 6(t 2 ) 0,4 (1 + t) 0,4 2t + 0, 4(t 2 ) 0,6 (1 + t) 0,6 2 0,6 = 1, 2t t 2 + 0, t A produção marginal para t = 1 pode ser aproimada se tomarmos P mg (1) P (1) = 1, 2 ( ) 0,4 ( ) 0, , 4 1, A regra da cadeia pode ser facilmente generalizada para funções de mais de duas variáveis cujas variáveis dependem de um parâmetro t: f = f( 1, 2,, n ), onde 1 = 1 (t), 2 = 2 (t),, n = n (t)

4 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 4 Teorema 2 - Regra da cadeia para funções de n variáveis e um parâmetro Dada uma função f( 1, 2,, n ), onde i = i (t), i = 1,,n, sendo t um parâmetro, temos = n n Usando uma notação vetorial, podemos escrever X = ( 1, 2,, n ), f(x) = ( 1, 2,, ) n, de modo que a regra da cadeia fica dx = = f(x), dx (,,, ) 1 2 n e Eemplo 4: considere a função f(,,z) = z 2, onde = cos t, = 1 + 2t e z = t 2 Calcule a derivada de f com relação a t Solução: usando a regra da cadeia dada, temos = f + f d + f z dz = 1( sent) z2 2 2z 2t = sent 2t 4 2(1 + 2t)t 2 2t = = sent 2t 4 4t 3 (1 + 2t) = sent 2t 4 4t 3 8t 4 = sent 10t 4 4t Generalização Certas vezes, pode ocorrer que uma função f(,) dependa de variáveis que são, por sua vez, funções de outras duas variáveis: = (u,v) e = (u,v) Nesses casos, podemos derivar f com relação a u ou a v (derivadas parciais) e a regra da cadeia fica da seguinte forma: u = u + u, v = v + v Todos os resultados vistos aqui podem ser facilmente generalizados para funções de n variáveis, onde essas variáveis podem depender de m parâmetros Para o caso mais geral, temos o teorema a seguir Teorema 3 - Regra da cadeia para funções de n variáveis reais e m parâmetros Dada uma função f( 1, 2,, n ), onde i = i (t 1,t 2,,t m ) (i = 1,2,,n), sendo t j m parâmetros, temos t j = Em forma vetorial, temos = f(x), dx j j n i=1 i i t j Eemplo 1: dada f(,) =, onde = usenv e = ucos v, calcule as derivadas parciais de f com relação a u e a v Solução: usando a regra da cadeia, temos u = u + = sen v + cos v = u cosv senv + u senv cosv = 2u senv cosv, u v = v + v = u cosv + u( senv) = u cosv u cosv u senv u senv = u2 (cos 2 v sen 2 v)

5 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 5 Resumo Teorema 1 - Regra da cadeia para funções de duas variáveis e um parâmetro Dada uma função f(,), onde = (t) e = (t), sendo t um parâmetro, temos = + d Teorema 2 - Regra da cadeia para funções de n variáveis e um parâmetro Dada uma função f( 1, 2,, n ), onde i = i (t), i = 1,,n, sendo t um parâmetro, temos = n n Teorema 3 - Regra da cadeia para funções de n variáveis reais e m parâmetros Dada uma função f( 1, 2,, n ), onde i = i (t 1,t 2,,t m ) (i = 1,2,,n), sendo t j m parâmetros, temos t j = n i=1 i i t j

6 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 6 Eercícios - Capítulo 28 Nível 1 Regra da cadeia Eemplo 1: dada a função f(,) = ln( 2 ), onde = sen t e = t 2 1, calcule Solução: pela regra da cadeia, temos = f + f d = cost t = 2 cost cost 2t = sent + 2t t 2 1 E1) Dadas as funções a seguir, calcule a) f(,) = 2, = 2t, = t 3 1; b) f(,) = 2 + 2, = cos t, = sen t; c) f(,,z) = 2 3z, = 2cos t, = 2 t, z = ln t Eemplo 2: dada a função f(,) = 3 +, onde = u 2 4 e = uv 2 + 1, calcule u e v Solução: pela regra da cadeia, temos u = f u + f u = f u + f u = ( 3 + 1) 2u v 2 = [ (uv 2 + 1) ] 2u + 3(u 2 4)(uv 2 + 1) 2 v 2, v = f v + f v = f v + f v = ( 3 + 1) uv = 3(u 2 4)(uv 2 + 1) 2 2uv E2) Dadas as funções a seguir, calcule u e v a) f(,) =, = 2cos u, = 3sen v; b) f(,) = ln 2, = uv, = u v Nível 2 E1) Considere que a produção de um país possa ser modelada pela função de Cobb-Douglas P(K,L) = = AK α L 1 α, que o capital investido pelo país em infra-estrutura cresça linearmente e que a força de trabalho cresça eponencialmente, isto é, K = α 0 + α 1 t + α 2 t 2 e L = β 0 e β1t, onde α 0, α 1, α 2, β 0 e β 1 são constantes positivas Calcule 1 P E2) Uma função de produção para a agricultura semelhante à de Cobb-Douglas pode ser definida como P(K,L,T) = = AK α L β T γ, onde P é a produção agrícola, A é uma constante tecnológica, K é o investimento em infra-estrutura e maquinária, L são os gastos em mão-de-obra, T é a quantidade de terra alocada,, que é uma aproimação da variação percentual da produção α, β e γ são constantes positivas Calcule 1 P agrícola no tempo E3) Dada uma f(,,z), onde = () e z = z(), calcule a diferença entre a derivada de f com relação a e a derivada parcial de f com relação a

7 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 7 E4) Em um dado instante, a produtividade marginal do trabalho é 2 e a produtividade marginal do capital é 4 A quantidade de capital está crescendo a 2 unidades por unidade de tempo e a quantidade de trabalho está crescendo a 3 unidades por unidade de tempo Qual é a taa de variação no tempo do produto? Nível 3 E1) O custo de produzir Q 1 unidades de um produto 1 e Q 2 unidades de um produto 2 é C = aq 1 +bq 2 cq 1 Q 2, onde a, b e c são constantes positivas As demandas desses dois produtos, consideradas iguais às quantidades produzidas destes, são dadas por Q 1 = AP α 1 1 P β 1 2 e Q 2 = BP α 2 1 P β 2 2, onde P 1 e P 2 são os preços dos dois produtos, respectivamente, A, B, α 1, α 2, β 1 e β 2 são constantes positivas Calcule C P 1 e C P 2 E2) a) Considere uma função demanda D(p,), onde p é o preço da mercadoria demandada e é a renda de quem a compra Considere que p = p(t) e = (t) a) Calcule 1 D dd b) Podemos definir a elasticidade de demanda pelo preço como ǫ Dp = p D renda como ǫ D = D D Mostre que 1 dd D = ǫ D p dp p + ǫ D d D p e a elasticidade de demanda pela E3) Suponha que o bem estar de uma população seja dado por uma função U(,) onde é o número total de bens consumidos e é a poluição causada pela produção desses bens Uma variação positiva no consumo de bens leva a uma melhora no bem estar da população, o que pode ser descrito como U (,) > 0 De modo semelhante, mma variação positiva na poluição leva a uma piora no bem estar da população, o que pode ser descrito como U (,) < 0 No entanto, a poluição é uma função direta do número de bens produzidos e aumenta conforme a quantidade de bens produzidos aumenta, o que pode ser escrito como = () e d () > 0 a) Encontre uma condição necessária para que o bem estar da população tenha um máimo b) Dê uma interpretação econômica para a condição encontrada no item anterior E4) Considere uma função f(,) duplamente diferenciável em e em tal que = (t) e = (t) são duplamente diferenciáveis em t Calcule d2 f 2 Respostas Nível 1 E1) a) = 8t 3t2, b) = cost + sen t, c) d = 8 sent cost 3 lnt2t ln 2 3 2t t E2) a) u = 6 senu senv, v Nível 2 E1) 1 P = α K (α 1 + 2α 2 t) + 1 α L β 0β 1 e β1t = 6 cosu cosv; b) u = 2 u + 1 u v, v = 2 v 1 u v

8 Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 8 E2) 1 P = α dk K + β L E3) = E4) P t Nível 3 dl + γ T d + z dt = 14 unidades por unidade de tempo E1) C P 1 = (a cq 2 )α 1 AP α1 1 1 P β1 2 + (b cq 1 )α 2 BP α2 1 1 P β2 2, C P 2 = (a cq 2 )β 1 AP α1 1 P β1 1 2 (b cq 1 )β 2 BP α2 1 P β2 1 2 E2) a) 1 dd D = D p dp D + D d D b) 1 dd D = p D p dp p D + D d D = p D p dp D p + D d D = ǫ D p dp p + ǫ D d E3) a) A condição necessária para isso é U = U d b) A condição obtida no item a significa que um aumento no bem estar devido a um aumento na quantidade de bens consumidos (lado esquerdo da equação) leva a uma diminuição do bem estar devido ao consequente aumento na poluição A derivada d quantifica o aumento na poluição causado por uma aumento no consumo de bens E4) d2 f 2 = d d f 2 ( ) f d + 2 f 2 ( ) 2 d