Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

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1 Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial soluções).teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Seja f) = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f) = +, f0) = conclui-se do Teorema do Valor Intermédio que f tem um zero em ], 0[. Por outro lado, f) = 3 e > 0, f) = logo, de novo pelo Teorema do Valor Intermédio, f tem um zero em ]0, [ e também terá um zero em ], + [. Conclui-se que f tem pelo menos 3 zeros. Para vermos que não pode ter mais do que 3 zeros, calculamos as suas derivadas: f ) = 6 e, f ) = 6 e. Como e é injectiva, f tem um único zero. Logo, do Teorema de Rolle, f terá no máimo três zeros.. Note-se primeiro que o gráfico de f cruza a recta y = em três pontos sse a equação f) = tem três soluções. Seja g : R R dada por g) = f). Então, g tem três zeros. Logo, do Teorema de Rolle, g tem pelo menos dois zeros e g tem pelo menos um zero. Mas Logo f tem pelo menos um zero. g ) = f ) g ) = f ). 3. a) Verdadeira, [ uma vez ] que f sendo diferenciável em ]0, [ será também contínua em qualquer intervalo n+, n, para n. Logo, pelo Teorema de Weierstrass tem máimo e mínimo [ ] no intervalo fechado n+, n. ) b) Falsa: por eemplo, a função f) = sen π verifica f = 0 e f não é itada justifique!). ] c) Verdadeira: para n, f é contínua em [ n+, n ) ] e diferenciável ] em f. Logo, do Teorema de Rolle, f tem um zero em n+ n+ n+, n n+, n 4. a) Aplicando o Teorema Lagrange a em [, ], temos =, c < c < vem que < <, logo uma vez que > 0), c < < < <. b) Lagrange a e em [0, ], se > 0, ou [, 0], se < 0. c) Lagrange a sen e a tg em [0, ]. [ π ] d) Lagrange a arctg em 4,. [, com f n) = [, para cada n N. < c <. De 5. Sejam, y [a, b], com < y, por e. Aplicando o teorema de Lagrange no intervalo [, y], f) fy) temos = f c), para algum c ], y[. Como f é contínua em ]a, b[ e tem ites y laterais em a e b, é itada em [a, b], logo f) fy) y = f c) C f) fy) C y.

2 6. Se fn) = ) n, então fn + ) fn) = ) n+ ) n = ) n+. Agora, como f é diferenciável em R +, é contínua em [n, n + ] e diferenciável em ]n, n + [, para cada n N. Do Teorema de Lagrange temos então que eiste c n ]n, n + [ tal que fn + ) fn) n + ) n = f c n ) f c n ) = ) n+ e concluimos que f c n ) é uma sucessão divergente tem dois subites, e ). Como n < c n < n +, temos que c n +, logo f não tem ite no infinito se tivesse, f c n ) seria convergente). 9. A função g será diferenciável em R \ {0} e portanto será crescente em R + se g ) 0 para > 0. Temos g ) = f ) f) 0 f ) f) f) f ) note-se que > 0). Agora, aplicando o Teorema de Lagrange à função f no intervalo [0, ], temos que, como f0) = 0, f) = f c) para algum c ]0, [. Como f é crescente, c < f c) f ). 0. Se a < 0 e b > 0 são as soluções não-nulas de f) =, temos fb) = b, fa) = a e também f0) = 0. Aplicando o Teorema de Lagrange nos intervalos [a, 0] e [0, b], temos que eistem c ]a, 0[, c ]0, b[ tais que fa) a = f c ), fb) b = f c ), ou seja, f c ) = a < 0 e f c ) = b > 0. Como f é contínua f é de classe C ), temos do Teorema do Valor Intermédio que eiste d ]c, c [ tal que f d) = 0.. a) 0 a b b) ln+e ) é uma indeterminação do tipo 0 0. Pela Regra de Cauchy: a b = ln a a ln b b = ln a ln b = ln a 0 0 b. ) é uma indeterminação do tipo. Pela Regra de Cauchy duas vezes): ln + e ) + e = + e = e + e =. arcsen) c), é uma indeterminação do tipo Usando a Regra de Cauchy: arcsen) = 0 0 =. arctg ) d) 0 4 Cauchy: é uma indeterminação do tipo 0 0. Fazendo y = e usando a Regra de arctg ) arctgy) 0 4 = y 0 + y = y y y = +.

3 arctg e) sen Cauchy: é uma indeterminação do tipo 0 0. Fazendo y = / e usando a Regra de arctg sen arctg y = y 0 sen y = y 0 + y cos y =. f) ln ) é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo ln ln = temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, ln = ln = = 0. g) 0 + e / é uma indeterminação do tipo 0 0. Escrevendo e / = e, / temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, 0 + = e/ = e/ = 0. e/ Nota: a Regra de Cauchy aplicada directamente a 0 + h) 0 e / = 0 e / = + =. Note que a Regra de Cauchy não é aplicável!) i) 0 + sen sen = 0 + sen sen = 0 = 0. Note que não eiste 0 + j) = ln. sen ) sen ) e / não simplifica a questão... ) logo a Regra de Cauchy não é aplicável.) sh sen k) 0 3 é uma indeterminação do tipo 0 0. Aplicando a Regra de Cauchy três vezes): l) sh sen ch + cos = = é uma indeterminação do tipo. Aplicando a Regra de Cauchy duas vezes): = ln ln ) = = +. m) = = 0 0 = 0. ) n) ) cos = 0, por enquadramento, já que ) 0, e 0 < cos <, logo 0 < ) cos A Regra de Cauchy não é aplicável.) ) < ). 3

4 o) ) cos y =, ), é uma indeterminação do tipo 0. Temos, fazendo ) cos y sen y ) cos = y 0 y = y 0 y =. p) sen é uma indeterminação do tipo 0. Temos, fazendo y = sen = ln y sen y = + já que y 0 sen y y y 0 =. y 0 + ln y sen y = y y 0 + cos y sen y = sen y y 0 + y cos y = 0 q) 0 + sen é uma indeterminação do tipo 0. Temos fazendo y =, como aĺınea anterior). sen = ln y sen y = ln y sen y = y 0 + y 0 +. a) + ln é uma indeterminação do tipo. Temos ln = e ln ln ) = e ln = e + ln Agora, de.f), + ln = 0 logo b) ln = e 0 =. + é uma indeterminação do tipo 0. Temos = eln «= e = e. Agora, = é uma indeterminação do tipo e aplicando a Regra de Cauchy, = = 0. Logo, = e 0 =. c) 0 + sen ) sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos sen )sen = e 0+ sen ln sen. 0 + Temos que 0 + sen ln sen = 0 + Aplicando a Regra de Cauchy Logo ln sen 0 + sen = 0 + cos sen cos sen ln sen sen sen ) sen = e 0 =. 0 + é uma indeterminação do tipo. = 0 + sen = 0. 4

5 d) ) é uma indeterminação do tipo 0. Temos Agora ln = ln logo ) =. e) cos ) 0 ) = e ln. é uma indeterminação do tipo e temos ln = = 0 é uma indeterminação do tipo 0. Temos cos ) 0 = e ln cos 0 = e = e f) já que sen ) ln cos 0 = 0 sen cos =. é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos ln sen ) sen ) = e = e já que, fazendo y = /, e pela Regra de Cauchy, sen ) ln g) π tg )tg = e. 4 π ) / h) + arctg) =. i) 0 +sen )/ = e. ln sen y) = = y 0 + ln y y sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos que cos y sen y y 0 sen = e sen = e 0 sen. 0 y cos y = =. y 0 + sen y Vamos calcular 0 sen, que é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo sen = ficamos com uma indeterminação do tipo e podemos usar a Regra de Cauchy: sen 0 sen = 0 cos sen = sen 0 cos = sen 0 sen = 0 = 0. cos 5

6 Logo, 0 sen = e 0 =. Pela definição de ite, como n 0, temos agora 3.Estudo de funções ) sen n =. n. a) + : estritamente) crescente em [, ], estritamente) decrescente em ], ] e em [, + [, ponto de mínimo em, ponto de máimo em, que são absolutos uma vez que ± + = 0, f ) = / e f) = /; b) + : crescente em [, 0[, decrescente em ], ] e em ]0, + [, ponto de mínimo em, que é absoluto, uma vez que + = 0 e + 4 = 4 < 0. c) 5+6 : crescente em [, 5 ] e em [3, + [, decrescente em ], ] e em [ 5, 3], pontos de mínimo em, 3, absolutos uma vez que > 0, para, 3, e ponto de máimo em 5, local uma vez que ± = +. Nota: não é diferenciável em e 3.) d) : crescente em [e, + [, decrescente ]0, e ], ponto de mínimo em e, absoluto. e) e : crescente em ], 0], decrescente em [0, + [, ponto de máimo em 0, absoluto. f) e : crescente em [, + [, decrescente em ], 0[ e em ]0, ], ponto de mínimo em, relativo uma vez que 0 e =. g) e : crescente em ], ], decrescente em [, + [, ponto de máimo em que é absoluto. h) arctg ln + : crescente em ], ], decrescente em [, + [, ponto de máimo em, que é absoluto. z. f : R R definida por f) = e. a) f) = e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = e Regra de Cauchy:, ficamos com uma indeterminação do tipo, a que podemos aplicar a e = ) e ) = e = 0. Como a função é par, f) = f) = 0. b) A função e é diferenciável em R e é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, f é dada pelo produto de duas funções diferenciáveis, sendo portanto diferenciável. Para = 0: e 0 + e = 0 + e 0 + = =, e 0 e = 0 0 e + = =. Neste e noutros esboços de solução dos eercícios aplica-se, geralmente sem eplicações adicionais, o seguinte raciocínio muito útil: se f é uma função diferenciável num intervalo aberto, com derivada positiva resp. negativa), e contínua no respectivo intervalo fechado então f é estritamente crescente resp. decrescente) no intervalo fechado. Além disso o advérbio estritamente será omitido pois do conteto tal é geralmente óbvio. 6

7 Logo, f d 0) f e0) e f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade de f é R \ {0} e neste caso ) e f = e ), se > 0, ) = ) e = e ) se < 0. c) Usamos a aĺınea anterior. Para > 0: f ) > 0 e ) > 0 < < > 0 0 < <, f ) = 0 =, logo f é crescente em [0, ] e decrescente em [, + [. Para < 0: f ) > 0 e ) > 0 < > ) < 0 < f ) = 0 logo f é crescente em ], ] e decrescente em [, 0]. Conclui-se que e são pontos de máimo, absolutos uma vez que f ) = f). Como f é decrescente em [, 0] e crescente em [0, ], temos também que 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f0) = 0 e f) > 0, para 0. d) Temos da aĺınea anterior que f tem um máimo absoluto em, com f) = e e um mínimo absoluto em 0 com f0) = 0, logo fr) [0, e ]. Como f é contínua em [0, ], temos também, do Teorema do Valor Intermédio, que [0, e ] fr). Logo o contradomínio de f é fr) = [0, e ]. 3. g : R R definida por: g) = { e + α + β se 0, arctg e + e ) se > 0, onde α e β são constantes reais. a) Se g tem derivada finita em 0, será contínua em 0, logo g0) = g0 + ) = g0 ), ou seja, g0) = + β = 0 + arctg e + e ) = arctg = π 4, logo β = π 4. Por outro lado, g é diferenciável em 0 logo g e0) = g d 0) e temos b) g e0) = 0 e + α + π 4 π 4 g d0) = 0 + arctg e + e ) π 4 e = + α = α +, 0 e e = e + e ) = 0 onde se usou a Regra de Cauchy na indeterminação 0 0 ) logo α =. g) = e + π 4 = + g) = arctg e + e ) = π Justifique!). 7

8 c) g é diferenciável em R justifique) e { e g se 0, ) = e e se > 0. +e +e ) d) Temos para 0: g ) = e < 0 para qualquer < 0 e g 0) = 0. Logo g é decrescente em ], 0]. e e Para > 0: g ) = > 0 e > e e > > 0. Logo +e +e ) g é crescente em ]0, + [. Conclui-se que 0 é um ponto de mínimo, absoluto usando a continuidade de g em 0. e) Da aĺınea anterior temos que g0) = π 4 é um mínimo absoluto, logo g) π 4 para qualquer e gr) [ π 4, + [. Por outro lado, g) = + e g é contínua em ], 0]. Conclui-se do Teorema do Valor Intermédio que [ π 4, + [ gr). Logo o contradomínio de g é gr) = [ π 4, + [. 4. f) = e. a) f) = e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = e temos uma indeterminação do tipo a que podemos aplicar a Regra de Cauchy: e = = 0. e Da mesma forma, f) = e + = e = = 0. e b) A função é diferenciável em R \ {0, } por ser dada nesse conjunto pelo produto de duas funções diferenciáveis: diferenciável em R \ {0} e e diferenciável em R \ {} por ser a composta de duas funções: eponencial diferenciável em R e diferenciável em R \ {}). Em = : e e + = = + + e + ) = 0 + onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação 0 0 ) e da mesma forma, e e = = e + ) =. Logo, f d ) = 0 f e) = e f não é diferenciável em. No ponto 0, pode ver-se justifique!) que f d 0) = e f e0) = e, logo f não é diferenciável em 0, e o seu domínio de diferenciabilidade é R \ {0, }. e + ) = e + ), se >, f ) = e ) = e + ), se 0 < <, e ) = e + ), se < 0. c) Temos justifique): f 0) = 0 =, estudando o sinal de f e usando a continuidade de f, f crescente em ], ] e em [0, ], f decrescente em [, 0] e em [, + [. 8

9 Logo, é ponto de máimo, 0 é ponto de mínimo e é ponto de máimo. Como f0) = 0 e f) > 0 para 0, 0 é mínimo absoluto. Por outro lado, f) = e f ) = e <, logo é ponto de máimo absoluto, e consequentemente, é ponto de máimo relativo. d) Da aĺınea anterior, temos que 0 = f0) é mínimo absoluto de f e = f) é máimo absoluto de f. Logo fr) [0, ]. Como f é contínua em [0, ], do Teorema do Valor Intermédio, [0, ] fr). Logo o contradomínio de f é fr) = [0, ]. 5. f) = + arctg. a) f) = f) = + arctg = + arctg = + π =. + π = +. b) A função arctg é diferenciável em R e a função é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, arctg é dada pela composição de funções diferenciáveis, e é portanto diferenciável em R \ {0}, e também o será f). Quanto a = 0: f d0) + arctg = = + arctg = = 3 onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação do tipo ) Por outro lado, arctg resultante de f e0) + arctg = = 0 + arctg ) = =. Logo, como f d 0) f e0), f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade é R \ {0}. Temos { f + ) = +, se > 0, +, se < 0. c) Para > 0, f ) = + + > 0 para qualquer, logo f é crescente em ]0, + [. Para < 0, f ) = + = +. Temos f ) = 0 = 0 < 0 =, e, como + > 0, f ) > 0 para <, ou seja, f é crescente em ], ], e f ) < 0 para < < 0, ou seja f é decrescente em ], 0[. Conclui-se assim que é ponto de máimo, relativo uma vez que f) = +. Por outro lado, como f é contínua e decrescente em ], 0[, crescente em ]0, + [, temos que 0 é ponto de mínimo, de novo relativo uma vez que f) =. d) Temos f) = e f0) = 0, e temos um máimo relativo em com f ) = + arctg = + π > 0. Como f é crescente e contínua em, ] temos que, pelo Teorema do Valor Intermédio, f], ]) = ] ], + π. Por outro lado, como f é decrescente e contínua em [, 0] temos que f[, 0]) = [ ] 0, + π. Logo f], 0]) = ] ], + π. 6. Do teorema de derivação da função composta, ϕ)) = tg g)) g)) = + tg g)))g ) g ) = g ) tg g)) + ). 9

10 Logo ϕ 0) = 0. Como g 0) = 0 e g é estritamente monótona, temos que g muda de sinal numa vizinhança de 0 se g é crescente, g ) < g 0) = 0, para < 0 e g ) > 0 para > 0) e portanto, como tg g)) + > 0 para qualquer, ϕ também muda de sinal numa vizinhança de 0. Conclui-se que ϕ0) é etremo de ϕ mínimo, se g for crescente). 8. a) Como f ) > 0 para 0, temos que para > 0, f ) > 0, ou seja f é crescente em ]0, ε[, e para < 0, f ) < 0, ou seja f é decrescente em ] ε, 0[. Como f é contínua em 0, 0 é um ponto de mínimo local. Se f é diferenciável em 0 então f 0) = 0, uma vez que 0 é ponto de etremo. b) Por eemplo, a função f : ], [ R tal que { + se 0, f) = se > 0. é diferenciável em R \ {0}, com f ) =, e satisfaz f ) > 0 para 0. Mas 0 não é ponto de etremo, uma vez que para < 0, f) > f0) e para > 0, f) < f0). 9. Em + : y = m + b é assíntota ao gráfico de f se m = f) = + arctg arctg = + =, b = f) m = arctg = π. Logo y = + π é assíntota à direita. Da mesma forma se vê que y = + π é assíntota à esquerda. A função é crescente em R, com f ) = + > 0, e não tem pontos de etremo Dado que f C R) temos f ) = arctg ) = + 4, f ) = + 4 ) = 34 ) + 4 ) f ) = ) 3. Sendo 0 o único ponto crítico de f, ou seja solução de f ) = 0, a segunda derivada f 0) = > 0 mostra que f tem um mínimo no ponto 0. Atendendo a que f0) = 0 e f é não negativa 0 é um mínimo absoluto. Os pontos de infleão de f são as soluções da equação f ) = 0, neste caso em ± 4 3. Tal facto decorre de f ± 4 3 ) 0.. Dado que f C R) temos f ) = 4 e ) = 3 4 ) e, f ) = 8 + ) e, f ) = ) e, f 4) ) = ) e. Os pontos críticos de f, i.e. as solução de f ) = 0, são 0 e 4. A função é estritamente crescente no intervalo ]0, 4[ e estritamente decrescente nos intervalos ], 0[ e ]4, + [ porque, em tais intervalos, a função f é positiva e negativa, respectivamente. A segunda derivada f 4) = 64 e 4 < 0 mostra que f tem um máimo local no ponto 4, enquanto que as derivadas de ordem 3 e 4, f 3) 0) = 0, f 4) 0) = 4 > 0 revelam que f tem um mínimo local no ponto 0 ou f0) = 0 e f é não negativa - mostra que é mínimo absoluto). 0

11 Os pontos de infleão de f são soluções da equação f ) = 0, neste caso em e 6. Tal facto decorre de f 3) ) = 6e 0 e f 3) 6) = 48e 6 0. Os ites de f em ± eistem, em R, e são dados por f) = 4.Fórmula de Taylor 4 e = + e f) = 4 e = 0.. a) f) = e : f ) = e, f ) = 4e, f ) = 8e. Logo a fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto 0 será f0) + f 0) + f 0) + f ξ) 3 = ! 3 eξ 3, em que ξ está entre 0 e. A fórmula de Taylor, de ordem, relativa ao ponto será f) + f ) ) + f ) em que ξ está entre e. ) + f ξ) ) 3 3! = e + e ) + e ) eξ ) 3, f) = ln + ): f ) = +, f ) = +), f ) = +) 3. Logo a fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto 0 será f0) + f 0) + f 0) + f ξ) 3! 3 = ξ) 3 3, em que ξ está entre 0 e. A fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto será em que ξ está entre e. f) + f ) ) + f ) ) + f ξ) ) 3 3! = ln + ) 4 ) + )3 3 + ξ) 3 f) = cosπ): f ) = π senπ), f ) = π cosπ), f ) = π 3 senπ). Logo a fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto 0 será f0) + f 0) + f 0) + f ξ) 3 = π 3! + π3 6 senπξ)3, em que ξ ]0, [ ou ξ ], 0[. A fórmula de Taylor de ordem relativa ao ponto será em que ξ está entre e. f) + f ) ) + f ) b) f) = e : para ]0, [, temos também ξ ]0, [ e 4 3 eξ 3 4e 3. ) + f ξ) ) 3 3! = + π ) + π3 senπξ) )3 6

12 f) = ln + ): para ]0, [, temos também ξ ]0, [ e 3 + ξ) f) = cosπ): para ]0, [, temos também ξ ]0, [ e π 3 6 senπξ)3 π Escrevendo a fórmula de Taylor para e em a = 0, com resto de Lagrange, temos em que r n+ ) = e = n n! + r n+) e ξ n + )! n+, com ξ entre 0 e. Para estimar o erro em = 0., temos r n+ 0.) = para algum ξ entre 0 e 0.. Tomando n = 3, temos e ξ n + )! 0 n, r 4 0.) = eξ 4! 0 4 < 0 4 já que eξ 4! < ). Logo, o polinómio de Taylor de ordem 3 aproima e 0. com erro inferior 0 4, ou seja, um)a aproimação pedida é p 3 0.) = A fórmula de MacLaurin da função eponencial, de ordem é dada por e = r ), R, em que r ) = eξ 3! 3, com ξ entre 0 e. Então, para [0, ] temos ) e + = r ) = e ξ 3 3! 3! = Como acima, tomando o polinómio de Taylor de ordem 4 de f) = sen em a = 0 notando que 5! = 0 < 0.0). 7. Temos p 4 ) = fa) + f a) a) + f a)! a) + f a) 3! a) 3 + f 4) a) a) 4. Logo: 4! a) f 0) 0) = f0) =, f k) 0) = 0, k =,, 3, f 4) 0) = 4! > 0 tem um mínimo em a = 0. b) f 0) 0) = f0) =, f k) 0) = 0, k =,,, f 3) 0) =, f 4) 0) = 3! não tem etremo em a a primeira derivada não nula é de ordem ímpar). c) p 4 ) = +, = + ) + = ). Logo, f 0) ) = f) =, f k) 0) = 0, k =, 3, 4, f ) ) = < 0 tem um máimo em.

13 9. Sendo a eponencial uma função indefinidamente diferenciável, em R, temos que g é uma função de classe C num vizinhança de 0 com g) = fe ), g ) = f e ) e, g ) = f e ) e + f e ) e. Em particular temos g0) = f), g 0) = f ), g 0) = f ) + f ). Atendendo ao polinómio de Taylor de f, de ordem, relativo ao ponto obtemos f) =, f ) =, f ) = 4 e consequentemente g0) + g 0) + g 0) é o polinómio de Maclaurin de g, de ordem. = Nas condições dadas, f C n R). A fórmula de MacLaurin de f, de ordem n é dada por f) = f0) + f 0) + f 0) + + f n ) 0) n + r n ), R.! n )! Sendo f n) ) = 0, para qualquer R, a fórmula do resto de Lagrange permite concluir que r n ) = f n) ξ) n = 0, para qualquer R, n! em particular que f é um polinómio de grau menor que n.. Dado que f C I) a fórmula de Taylor de f, de ordem, relativa a um ponto a I é f) = fa) + f a) a) + f ξ) a), I, em que ξ está entre a e. Tomando h > 0 temos, para = a + h, e para = a h fa + h) fa) h fa h) fa) h = f a) + f ξ ) = f a) + f ξ ) em que ξ, ξ ]a h, a + h[\{a}. Resulta da igualdade fa + h) fa) + fa h) h = f ξ ) + f ξ ), do facto de ξ, ξ a, quando h 0, e da continuidade de f no ponto a, o ite fa + h) fa) + fa h) h 0 h = f a). h h 3