Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente.

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1 Análise Matemática - 007/ Derivada da função composta, derivada da função inversa, derivada da função implícita e derivada de funções definidas parametricamente. Teorema.31 Derivada da Função Composta Suponha-se que g: A R é diferenciável no ponto a e que f: D Ré diferenciável no ponto b=g(a). Então fog é diferenciável no ponto a e tem-se: ( g( a) ) g ( ) ( fog ) ( a) = f a Utilizando outra notação: h = fog e z=f(y) e y=g() então dh = d dz dy dy d Eemplos: Utilizando o conceito de derivada da função composta calcule as seguintes derivadas. (1) Sendo z = sen(y) e y= 4 4, calcule a derivada de h= sen( ) dh () h = ln( u( )) calcule? d O teorema anterior permite estabelecer as fórmulas das derivadas das funções elementares: Seja: u=u() se n (u) = u cos(u) co s (u) = u sen(u) tg (u) = u sec (u) cotg (u) = u cosec (u) α α 1 ( u ) = α u u, α ( constante R ) u u u ( a ) =u a ln(a) a u (log ) = u ln a 4ª aula teórica Pág. 9

2 Análise Matemática - 007/008 Função implícita e sua derivada Seja F(,y)=0 uma condição e y=f() uma função definida implicitamente pela condição. Então a derivada y = f () da função implícita obtém-se derivando em ordem a ambos os membros da condição. Eemplo: Derive a função implícita: + y = 4 Teorema.3 Derivada da Função Inversa Seja f: I D uma função injectiva e contínua, e g: J=f(I) a sua inversa. Então se f é diferenciável no ponto a com f ( a) 0 e g 1 1 diferenciável em b=f(a): g ( b) = = f ( a) f ( g( b)) y=arctg() y ( arctg ) =tg(y) 1 cos ( y ) = = y = = ( ) cos ( ) ( tg( y )) cos ( y ) 1 1 = = = cos ( y ) + sen ( y ) 1+ tg ( y ) 1+ 1 ( arccotg() ) 1 = ( arccos() ) = ( arcsen() ) = 1 1 4ª aula teórica Pág. 30

3 Análise Matemática - 007/008 Derivada de uma função dada sob a forma paramétrica - A circunferência pode definir-se por duas epressões com o auílio de um parâmetro t: = r cost y = rsent, 0 t < π equações paramétricas da circunferência - A elipse pode definir-se por duas epressões com o auílio de um parâmetro t: = acost y = bsent, 0 t < π equações paramétricas da elipse Por serem duas equações num parâmetro dizem-se equações paramétricas. De notar que t é a variável e a, b, e r são constantes arbitrárias. Como se calcula a derivada de uma função dada sob a forma paramétrica? Seja y =f() uma função definida pelas equações paramétricas. = ϕ( t) y = ψ ( t), t0 t t1 Se ϕ e ψ são diferenciáveis em cada t 0 < t < t1 e para além dy dy disso ϕ admite inversa diferenciável, então: = dt d d dt Eemplo: Seja y=f() dada pelas equações paramétricas = a cos t, 0 t π calcule y. y = a sent 4ª aula teórica Pág. 31

4 Análise Matemática - 007/008.6 Estudo do gráfico de uma função Para fazer o estudo completo da função e conseguir desenhar o gráfico, deve: (1) Determinar o domínio da função; () Determinar os zeros da função; (3) Estudar a função quanto à continuidade e identificar os pontos de descontinuidade; (4) Procurar assimptotas; (5) Com a primeira derivada de f(), determinar : - Pontos de estacionaridade e pontos de descontinuidade da 1ª derivada; - Máimos e mínimos; - Monotonia (crescimento e decrescimento de f()). (6) Com a segunda derivada de f(), determinar : - Os pontos de infleão; - Concavidades, convea e côncava (7) Esboçar o gráfico tendo em consideração os pontos "notáveis", nomeadamente: - zeros da função; - etremos; - pontos de infleão; - e as assimptotas. 4ª aula teórica Pág. 3

5 Análise Matemática - 007/008 Algumas definições e teoremas úteis no estudo do gráfico de funções reais de variável real. Def..33 Zeros de uma função Seja f: D R uma função, as soluções da equação f()=0 chamam-se zeros da função. Def..34 Assimptotas Seja f: D R uma função; (1) Se a D e a D e lim f ( ) = a assimptota vertical de equação =a. então a função tem uma Eemplo: y y = /(1-4^) =0.5-4 y= ª aula teórica Pág. 33

6 Análise Matemática - 007/008 () Se lim f ( ) = b ou lim f ( ) = b, f tem uma + assimptota horizontal de equação y=b. Eemplo: y = ln(1-3/) 6 y =0 4 y= (3) Se lim f ( ) = -6 =3 f tem uma assimptota oblíqua y=m+b se eistir e for finito f ( ) f ( ) lim ; neste caso: m = lim e b = lim ( f ( ) m) Eemplo: 6 y 4 y = ^/(1-) y=--1 = ª aula teórica Pág. 34

7 Análise Matemática - 007/008 Algumas definições e teoremas importantes para o cálculo de etremos e da monotonia. Def..35 Seja f: D R uma função e a D um ponto, diz-se que: (1) f() tem máimo local em a se eistir ε > o tal que V ε ( a) f ( ) f ( a) () f() tem mínimo local em a se eistir ε > o tal que V ε ( a) f ( ) f ( a) (3) f() tem um etremo local em a se f() tiver um máimo ou um mínimo em a - Os máimos e mínimos locais procuram-se nos pontos de estacionaridade ( f ()=0) e nos pontos onde a função está definida e a derivada não. Teorema de Rolle.36 Seja f: I D, (I=[ a, b] ) uma função contínua e diferenciável em ] a, b[ ; se f(a)=f(b), eiste c ] a,b[ tal que f ( c) = 0. Corolário.37 Entre dois zeros de uma função eiste um zero da sua derivada. Corolário.38 Entre dois zeros consecutivos da derivada não pode haver mais de um zero da função. Teorema.39 Se para I, f ( ) > 0, f é crescente em I e se f ( ) < 0, f é decrescente em I. Pontos de infleão e das concavidades. Pontos de infleão são os pontos onde a função muda de concavidade e obtêm-se igualando a zero a segunda derivada. 4ª aula teórica Pág. 35

8 Análise Matemática - 007/008 f ( ) < 0, a a Teorema.40 Seja f uma função. Se ] a b[ função é convea nesse intervalo e se f ( ) > 0 ] a, b[ função é côncava nesse intervalo..7 - Diferencial e diferenças finitas Consideremos uma função f: D R, e a um ponto interior ao domínio D, e h um n.º real tal que (a+h) D. - Chama-se acréscimo da função f, correspondente ao incremento de h da variável (dado a partir do ponto a), à diferença: f(a+h)-f(a) a f ( h) = f ( a + h) f ( a) acréscimo da função f - Chama-se diferencial da função f no ponto a ao produto f ( a) h e designaremos por d a f (h) ou simplesmente por: d a f = f ( a) h ou se y = f(), dy = f ( ) h - Note que d f f (h) a a Eercício: Determine o acréscimo e o diferencial da função: y = para =1, e h=0.01 Geometricamente f(a+h) f(a) h d a f a f ( h ) a a+h 4ª aula teórica Pág. 36