Capítulo 1 Funções reais de uma variável 1.3 Derivadas de funções definidas implicitamente

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1 Derivadas de funções definidas implicitamente Uma equação do tipo f(,y) = nem sempre permite obter eplicitamente y como função de. Por eemplo, y 1 y 1 não é uma função y 1 y 1 y 1 y Derivadas de funções definidas implicitamente A equação y 1 define implicitamente y como função de em torno do ponto (,1), mas não define implicitamente y como função de em torno do ponto (1,). Suponhamos que uma dada equação f(,y) = define implicitamente y como função de (eiste tal que y = ()), em torno do ponto (a,b). Pode-se determinar a derivada de y, y, sem conhecer y, bastando para tal derivar ambos os membros da equação f(,y) = em ordem a (considerando que y é função de ), e resolver em seguida a equação obtida em ordem a y. 31 1

2 Derivadas de funções definidas implicitamente Eemplo 1.1: (E - 1ª chamada da Comp. A - 1/13) y Suponha que a equação e y define implicitamente y como função de, em torno do ponto (,1). Determine a equação da recta tangente à curva no ponto (,1) Derivada da função inversa Seja f uma função injetiva e derivável em. Se f () então f 1 é derivável em y = f() e f y f 1 1 Eemplo 1.13: Mostre que 1 arctg, IR 1 usando a regra de derivação da função inversa. 33

3 Derivada de ordem superior à primeira A derivada de uma f.r.v.r. f no ponto a, b D f é dada por se o limite eiste. Neste caso, diz-se que f é derivável em. Notação: f f f h f f lim ou f lim h h f d f d Chama-se função derivada de f à função f (), definida para D f e tal que f é derivável em. Em intervalos abertos pode calcular-se a função derivada utilizando as regras de derivação Derivada de ordem superior à primeira Se f for derivável em a, b D f e se f também for derivável em, a f chama-se a ª derivada de f em e representa-se por A função f diz-se derivável n vezes em a, b D f sse f e todas as derivadas até à ordem n 1 admitem derivada em. Assim, definese derivada de ordem n de f em do seguinte modo n n1 f f com f f ou, de forma equivalente d df ou d d d f f ou d n n1 d f d d f n d d d n1 35 3

4 Derivada de ordem superior à primeira Diz-se que uma função é de classe C k (k IN ) em a, b D f sse f e todas as suas derivadas até à ordem k (inclusive) forem contínuas em a, b, e escreve-se f C k (a, b). Eemplo 1.14: Determine a epressão da derivada de ordem n da função f() = ln( + 1). 36 Teorema de Rolle (1) f é contínua em a, b () f é derivável em a, b c a, b : f (c) = (3) f(a) = f(b) Corolário I (1) f é contínua em a, b () f é derivável em a, b c a, b : f (c) = (3) f(a) = f(b) = Corolário II (1) f é contínua em a, b Eiste no máimo () f é derivável em a, b um zero de f em (3) f (a) = f (b) = e f () a, b a, b 37 4

5 Corolário III (1) f é contínua em a, b () f é derivável em a, b (3) f () a, b Eiste no máimo um zero de f em a, b Teorema dos valores intermédios (1) f é contínua em a, b () f(a) < d < f(b) ou f(b) < d < f(a) c a, b : f(c) = d Nota: Para o caso particular de d = a condição () pode ser substituída por f(a).f(b) < 38 Eemplo 1.15: (E 1 - Eame da Época Normal da Comp. A - 1/13) Dada a função real de variável real definida por f arctg, determine: c) o nº eato de zeros da função g f no intervalo 1 1,. Indeterminações:,,, 39 5

6 Regra de L Hôpital I Sejam f e g funções deriváveis em a, b, c a, b, com a possível ecepção de c. Suponhamos que g () c. Se o limite de então f g c c eista (ou seja infinito). a, b, com a possível ecepção de quando c + produz a forma indeterminada f f lim lim g g desde que o limite no lado direito seja A mesma afirmação é válida para o limite à esquerda, para limites bilaterais e também para + ou. 4 Regra de L Hôpital II Sejam f e g funções deriváveis em a, b, c a, b, com a possível ecepção de c. Suponhamos que g () c. Se o limite de então f g c c eista (ou seja infinito). a, b, com a possível ecepção de quando c + produz a forma indeterminada f f lim lim g g desde que o limite no lado direito seja A mesma afirmação é válida para o limite à esquerda, para limites bilaterais e também para + ou. 41 6

7 As formas indeterminadas, podem ser tratadas através de manipulações que permitem reduzir o limite dado a uma forma indeterminada do tipo, Indicam-se de seguida alguns dos possíveis caminhos que conduzem a uma indeterminação deste tipo. f g lim f g lim ou lim f g lim 1/ g 1/ f 1 1 lim f g f g g f 4 Eemplo 1.16: Calcule: a) (E.b) do Eame da Época de Recurso da Comp. A do ano letivo 11/1) b) (E 1.34 c)) c) d) 1 e 3 lim ln 1 lim e lim e 1/ (E 3-1ª chamada da Comp. A - 1/13) lim