Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Tarefa n.º 9 1. Considere as funções definidas, em IR, por f ( x) 5 e g( x) x + 1. a. Calcule f '( ) e g' ( 3). A função derivada de uma função f é a função que a cada ponto do domínio de f, onde f é derivável, faz corresponder o valor da derivada nesse ponto. Representa-se por f, Df ou df f : C IR dx x f ( x) b. Conjecture, utilizando a calculadora, sobre a função que a cada ponto do domínio faz corresponder a derivada nesse ponto de cada uma das duas funções dadas. Nota: escreva no editor de funções, usando o comando nderiv do menu MATH c. Represente graficamente as duas funções dadas e conclua sobre a derivada em cada um dos pontos do domínio. d. Considere agora as funções definidas, em IR, por r ( x) k, k IR e m( x) ax + b, a,b IR e usando a definição de derivada de uma função num ponto calcule r '( x ) e m' ( x ).. Considere as funções f ( x) x e ( ) a. Calcule f '( ) e f '( 3 ). g x x + 3 b. Conjecture qual é a função que a cada ponto do domínio faz corresponder a derivada nesse ponto da função f. Utilize o comando nderiv e consulte a tabela das duas funções. c. Mostre, usando a definição de derivada, que a função encontrada na alínea anterior é,. de facto, f ( x) d. Represente f e g num mesmo referencial e justifique que g' ( x) f '( x). Professora: Rosa Canelas 1 Ano Lectivo 010/011

2 3. Considere a família das funções quadráticas definida por s( x) ax + bx + c,a 0 e use a definição de derivada para calcular s' ( x ). 4. Resolva os exercícios 15 e 17 da página 76. Professora: Rosa Canelas Ano Lectivo 010/011

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada Tarefa n.º 9 Proposta de resolução 1. Consideremos as funções definidas, em IR, por f ( x) 5 e g( x) x + 1. a. Comecemos por calcular: f ( ) 5 e ( ) g 3 5. f ( + ) f ( ) 5 5 ( ) e Comecemos por calcular f ( 3) 5 e ( ) f ' lim lim ( ) ( ) ( ) g 3 + g g' ( 3) lim lim lim lim g 3 5. b. A função que a cada ponto do domínio faz corresponder a derivada nesse ponto de f é f '( x) 0 e de g é g' ( x). c. Da representação gráfica da função f resulta que a tangente em cada um dos pontos da recta é a própria recta e por esta ser orizontal o declive é zero. Podemos então dizer que f '( x) 0. Da representação gráfica da função g resulta que a tangente em cada um dos pontos da recta é a própria recta e por esta ter declive podemos então dizer que g' ( x).. d. São dadas as funções definidas, em IR, por r ( x) k, k IR e m( x) ax + b, a,b IR. Usando a definição de derivada de uma função num ponto vamos calcular r '( x ) e m' ( x ). r(x + ) r(x) k k r '( x) lim lim m x + m x a x + + b ax + b ax + a + b ax b a m' ( x) lim lim lim lim a Daqui concluímos duas regras de derivação: ( k )' 0, sendo k uma constante ( ax + b )' a, sendo a e b números reais quaisquer Professora: Rosa Canelas 3 Ano Lectivo 010/011

4 Aqui a professora questionou cada aluno sobre a expressão da função derivada de uma função afim ou de uma função constante de acordo com as seguintes expressões: y 3 y x + 5 y x 5 y x + 5 y x 5 y x + 3 4x + y 3 x y y y x y 3 5 x y x 4x y 5x + y π y 1 3x y 0,5x y 0 y 0 y x y x 1 y 1 3x x y 3. São dadas as funções f ( x) x e ( ) a. ( ) g x x + 3 f f f ' lim lim lim lim lim ( 4 + ) 4 ( ) ( ) ( ) f 3 + f f '( 3) lim lim lim lim lim ( 6 + ) b. A função derivada de f é dada por f (x) x. c. Usando a definição de derivada, provemos que f (x) x. ( ) ( ) ( ) f x f x x x x x x f '( x) lim lim lim x + lim lim ( x + ) x d. Da representação gráfica das funções f e g num mesmo referencial concluímos que g'(x) f '(x) por g se obter de f por uma translação associada ao vector de coordenadas (0,3) as curvas são iguais e para cada valor de x as tangentes são paralelas. Professora: Rosa Canelas 4 Ano Lectivo 010/011

5 3. Consideremos a família das funções quadráticas definida por s( x) ax + bx + c,a 0 e utilizemos a definição de derivada para calcular s' ( x ) : s x + s x a x + + b x + + c ax bx c s ( x) lim lim 0 0 a ( x + x + ) + bx + b + c ax bx c ax + ax + a + b ax lim lim 0 0 lim 0 ax + a + b ( ) lim ax + b + a ax + b 0 Daqui concluímos mais algumas regras: ( x )' x ( ) 4. Exercício 15 da página 76. f x Dada a função ( ) ax + bx + c ' ax + b 3x, para determinarmos a derivada nos pontos pedidos vamos começar por calcular a função derivada usando as regras: f '( x) dado e obter a imagem por f '. a. Para x 5 fica: f '( 5) b. Para x 1 fica: ( ) ( ) f ' c. Para x 0,5 fica: f '( 0,5) 6 0,5 3 Exercício 17 da página 76. Calculemos as derivadas das funções seguintes: Função 6x. Agora é só substituir o x pelo valor Função derivada a( x) 3x 9x 0,7 a' ( x) 6x 9 b ( x) 3,5x + 4x b' ( x) 7x + 4 c ( x) 5 x x c '( x) x 1 Professora: Rosa Canelas 5 Ano Lectivo 010/011