11º ANO DE ESCOLARIDADE ANO LETIVO

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1 11º ANO DE ESCOLARIDADE ANO LETIVO Considere, num referencial o. n. ( O,e 1,e ) Ficha de revisão nº 3 o vector u (, 1) Um outro vector v de coordenadas (-3, k+1) será perpendicular a u se o valor de k for: (A) 0 (B) 5 (C) 7 (D) 5. Relativamente à figura junta, sabe-se que: o triângulo [ABD] é retângulo o ponto C pertence ao cateto [BD] x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD AB = e BC = 1.1. Mostre que a área do triângulo [ACD] é dada por A ( x) = tg(x) 1.. Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é igual a 1.3. Sabendo que π 5 sen + α = 13 π e que α 0,, determine o valor de A ( α ). 3. A altura da maré numa marina, desde as zero horas da manhã de um certo dia pode ser dada aproximadamente, em metros, por: t = cos ( t ) com [ 0, 4[ h( ) 9 0,6 t, expresso em horas Ás 6 horas da tarde, qual era a altura da água? Indique o resultado com uma aproximação às décimas. 3.. Em que momento do dia, em horas e minutos, a maré atingiu o seu valor máximo? Qual a altura da água nesse momento? 3.3. Qual é o período desta função? Como explicaria esse facto a alguém que não saiba matemática. 4. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, a circunferência de equação ( ) ( ) x 3 + y 1 = 5 O ponto C é o centro da circunferência O ponto A, de coordenadas ( 0, 3), pertence à circunferência. A reta t é tangente à circunferência no ponto A Determine a equação reduzida da reta t Rosa Canelas

2 4.. R e S são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é 5. 6π Determine o valor do produto escalar CR CS Formulário: αr α amplitude,em radianos, Área de um sector circular do ângulo ao centro;r raio 5. Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 160 hectares. Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho. Sabe-se que o custo de produção de um hectare de trigo é 1500 euros, o custo de produção de um hectare de milho é 1000 euros, e que cada hectare de trigo dá um lucro de 600 euros, cada hectare de milho dá um lucro de 500 euros. Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que euros nesta produção, quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro máximo? 6. Seja g a função racional definida por g( x) 3x + 1 = x Determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de g com os eixos coordenados. 6.. Escreva g( x ) na forma ( ) b g x = a +,a,b R. x Escreva equações das assíntotas do gráfico de g Indique o domínio e o contradomínio de g. 7. Efetue as operações indicadas, simplifique o resultado e indique os valores de x para os quais são válidas, em IR, as operações efetuadas. 3 3 x 1 : x x 3 x 3x Rosa Canelas

3 11º ANO DE ESCOLARIDADE ANO LETIVO Ficha de revisão nº 3 Proposta de resolução 1. (C) Consideremos, num referencial o. n. ( O,e 1,e ) o vector u (, 1) Um outro vector v de coordenadas (-3, k+1) será perpendicular a u se o valor de k for -7 porque: (, 1) ( 3,k + 1) = 0 6 k 1= 0 k = 7. Relativamente à figura junta, sabe-se que: o triângulo [ABD] é retângulo o ponto C pertence ao cateto [BD] x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD AB = e BC = 1.1. Mostremos que a área do triângulo [ACD] é dada por A ( x) = tg(x) 1 Comecemos por ver que A[ACD] = A[ABD] A[ ABC] Atendendo a que BD tgx BD tgx = = a área de [ABD] é tgx A[ABD] = = tgx e de 1 acordo com os dados da figura A[ ABC] = = 1 Então A[ACD] = tgx 1 como queríamos provar... Determinemos o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é igual a 1 resolvendo a equação π A[ACD] = 1 tgx 1= 1 tgx = 1 x = rad = 45º 4 π 5 π.3. Sabendo que sen + α = e que α 0, 13, determinemos o valor de A ( α ). Se π 5 sen + α = 13 e π α 0,, é porque 5 cos α = 13 1 De 1+ tg α = cos α podemos tirar que tg α = tg 1 tg 5 α = 5 α = 5 e concluir A α = 1= 1= que ( ) 3. A altura da maré numa marina, desde as zero horas da manhã de um certo dia pode ser dada aproximadamente, em metros, por: Rosa Canelas

4 t = cos ( t ) com [ 0, 4[ h( ) 9 0,6 t, expresso em horas Ás 6 horas da tarde, a altura da água era h( 6) = 9 cos(0,6 6) 9,0m, resultado com uma aproximação às décimas. Graficamente: 3.. Em que momento do dia, em horas e minutos, a maré atingiu o seu valor máximo? Qual a altura da água nesse momento? Utilizando a calculadora podemos encontrar o máximo da função no intervalo [0, 4[ e depois passar a valor a horas e minutos. Assim a maré atingiu o seu valor máximo às 1 horas e 5 minutos e nesse momento a altura da água era 11 m O período desta função é 4 horas. Isso significa que de 4 em 4 horas a altura da maré se repete. 4. Na figura, está representada, num referencial o.n. xoy, a circunferência de equação ( ) ( ) x 3 + y 1 = 5 O ponto C é o centro da circunferência O ponto A, de coordenadas ( 0, 3), pertence à circunferência. A reta t é tangente à circunferência no ponto A Determinemos a equação reduzida da reta t. O centro C tem coordenadas ( ) CA = A C = 0, 3 3,1 = 3, 4 ( ) ( ) ( ) 3,1. Determinemos as coordenadas do vetor uma equação da tangente à circunferência em A é 3 CA AP = 0 ( 3, 4) ( x, y + 3) = 0 3x 4y 1 = 0 4y = 3x 1 y = x R e S são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é 5 6π. Determine o valor do produto escalar r = CA = = 5 CR CS. Rosa Canelas

5 αr 5π 5α 5π π = = α = π 5 Então CR CS = 5 5 cos = 3 5. Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 160 hectares. Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho. Sabe-se que e que o custo de produção de um hectare de trigo é 1500 euros, o custo de produção de um hectare de milho é 1000 euros, cada hectare de trigo dá um lucro de 600 euros, cada hectare de milho dá um lucro de 500 euros. Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que euros nesta produção, quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear de modo que tenha um lucro máximo? Variáveis: x número de hectares de trigo e y número de hectares de milho Restrições: x 50 y 30 x + y x y objetivo: L = 600x + 500y Função 00 Ora x 50 x 50 y 30 y 30 y x x + y x y y x Resolução gráfica: Obtemos como solução ótima 80 hectares de trigo e 80 hectares de milho B: (50.0, 110.0) Resolução analítica: 80 C: (80.0, 80.0) Analiticamente depois de calculados os pontos de interseção das retas, podemos calcular o lucro em 60 cada vértice: 40 A: (50.0, 30.0) D: (113.3, 30.0) 0-6 x) = ( 5 ) x Rosa Canelas

6 E concluir que o lucro máximo é obtido quando se cultivam 80 hectares de trigo e 80 hectares de milho. 6. Seja g a função racional definida por g( x) 3x + 1 = x Determinemos as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de g com os eixos coordenados. ( ) g 0 1 = o gráfico interseta o eixo Oy no ponto de coordenadas 3x g( x) = 0 = 0 x = x + 3 1, Vamos escrever g( x ) na forma ( ) x + Então ( ) 5 g x = 3 x + 1 0, o gráfico interseta o eixo Ox no ponto de coordenadas b g x = a +,a,b x + 3x+1 x+ -3x R começando por dividir 3x + 1 por 6.3. Vamos escrever equações das assíntotas do gráfico de g: a assíntota vertical é a reta de equação x = e a assíntota horizontal é a reta de equação y = O domínio é IR \ { } e o contradomínio de g é IR \ { 3 }. 7. Efetuemos as operações indicadas, simplifiquemos o resultado e indiquemos os valores de x para os quais são válidas, em IR, as operações efetuadas. ( ) ( ) 3 3 x 1 3x 9 3x x x 3 9 : = = x 3x x x 3 x x 3 x 1 x 1, válido em IR \ { 0,1,3 } Rosa Canelas