Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 11 O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 CADERNO I (60 minutos com calculadora) 1 Em R, a equação ( π) cos x = π : (A) admite a solução x = π ; (B) admite a solução x = π ; (C) admite a solução x = 0 ; (D) não admite solução Num referencial ortonormado Oxy, uma reta r admite a equação x y + = 0 A inclinação, em radianos, dessa reta é: (A) (B) (C) (D) π 6 π Seja α o plano de equação: x mz = 0 e t a reta de equação: x = 4 + λ y =, λ R z = λ O valor de m para o qual o plano α é paralelo à reta t é: (A) (B) (C) (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página

3 4 Na figura está representada, em referencial ortonormado Oxy, a circunferência trigonométrica Seja α a amplitude do ângulo AOB, em radianos 41 Mostre que a área sombreada, para cada valor de α, é dada por: 4 Calcule 1 A α α α 4 ( ) = ( π 4 + tan ) A π Apresente o resultado arredondado às décimas 4 Seja d a medida da distância de O a C, para cada valor de α π 0, 1 41 Mostre que d = cosα 4 Determine o valor exato de α para d = Apresente o resultado com denominador racional 5 Considere um referencial ortonormado Oxyz e seja β o plano de equação x y + z = 5 e o ponto M de coordenadas (,, 1) Determine: 51 um ponto do plano β e um vetor normal a esse plano; 5 uma equação vetorial da reta r que passa em M e é perpendicular a β ; 5 uma equação do plano γ, paralelo a β que contém o ponto M ; 54 a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto M que é tangente ao plano β 6 Considere a figura ao lado, onde: [ ABCD ] é um quadrado de área x; CDE é um triângulo isósceles e retângulo em E Calcule DB DC DB CE [ ] Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página

4 Caderno II (0 min sem calculadora) 1 Na figura abaixo está a representação gráfica da função g definida por g ( x) sin x, x [ 0, [ Tal como a figura sugere, g ( k ) O valor de k é: π (A) 5 (B) 9 5 π (C) 7 10 π (D) π 6 = g π 5 = π Uma equação do plano α que passa no ponto A(, 4, 6) e é perpendicular à reta r definida pela condição x = z = 0 é: (A) x = (B) y = 4 (C) z = 6 (D) z = 0 Na figura abaixo está representado, num referencial ortonormado xoy, um octógono regular inscrito numa circunferência de raio 1 Determine: 11 as coordenadas dos vértices do octógono; 1 a equação reduzida da reta EF ; 1 uma equação vetorial de uma reta s perpendicular a AC que passe no ponto A ; 14 cosα, sendo α o ângulo formado pelos vetores OF e OC Calcule o valor exato da área da zona sombreada 4 Resolva a seguinte equação trigonométrica π tan x =, x, π FIM Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página 4

5 Cotações Caderno I Total Caderno II Total cos x π = π cos x = π cos x = π 1 ( ) 1 cos x 1, x R Propostas de resolução Caderno I Logo, cos x = π não admite solução uma vez que π > 1 Resposta: (D) x y + = 0 y = x y = x + m = m = tanθ tanθ = θ = π rad 6 Resposta: (C) Um vetor normal ao plano α tem de coordenadas nα (, 0, m) e um vetor diretor da reta t é u ( 1, 0, ) t α // t n u n u = 0, 0, m 1, 0, = 0 + m = 0 m = m = α Resposta: (D) t α t ( ) ( ) 41 Área de um círculo: A Neste caso, A = π ua π π rad A α rad πα α A = = π = πr π α A área do setor circular BOD é 4 A área do triângulo [ ] OAC é 1 tan α tan α = Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página 5

6 A sombreada π α tanα α π tanα 1 = + = α + = α + α = α ( π 4 tan ) A( ) π 1 4 π 1 π π A = π π + tan = + = + 0,6 ua OA 1 1 = cosα = cosα OC = OC OC cosα 1 1 = cosα = cosα = α = π cosα 4 π α 0, 51 P β ( 1, 0, ), por exemplo n β = ( 1,, ) 5 u = = ( 1,, ) r n β, por exemplo ( ) ( ) ( ) r : x, y, z =,, 1 + k 1,,, k R 5 β // λ n = k n Para 1 β γ k = : n = n = ( 1,, ) β λ x y + z + d = 0 M λ : d = 0 d = 1 λ : x y + z 1 = 0 54 Seja T o ponto de tangente do plano com a superfície esférica Vamos determinar as coordenadas de um ponto de tangência O ponto T é o ponto de interseção com o plano β da reta que passa em M e é perpendicular ao plano β Uma equação da reta MT é: ( ) ( ) ( ) x, y, z =,, 1 + k 1,,, k R x = + k y = k, k R z = 1 + k Como o ponto T pertence ao plano β : 4 + k ( k ) + ( 1+ k ) = 5 + k k + + 4k = 5 14k = 8 k = T, +, , ou seja, T,, r = MT =? MT = T M =,, (,, 1 ) =,, r = MT = = 7 7 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página 6

7 6 4 A equação da superfície esférica é ( x ) ( y ) ( z 1) =, ou seja: 49 ( x ) ( y ) ( z 1) DB DC = x x cos 45 = x x = x = DB = AB + AB DB = AB DB = x DB = x 7 x x CE + ED = CD CE + CE = x CE = x CE = CE = x DB CE = x cos180 = x DB DC DB CE = x x = x Portanto, ( ) CE > π π = π 5 5 π 9 π k = k = π 5 5 Resposta: (B) Caderno II Um vetor normal ao plano α é colinear com o vetor diretor da reta dada Então, n = u r = ( 0, 1, 0) A equação do plano α é y + d = 0 Como o ponto A pertence ao plano α, então: 4 + d = 0 d = 4 Então, a equação do plano α é: y + 4 = 0 y = 4 Resposta: (B) : 8 = 45 OM OM cos 45 = = OM = MF sin 45 = = MF = A(, 0), B(, ), ( 0, ) E (, 0), F (, ), ( 0, ) C, (, ) D, G e H (, ) 1 EF = F E = (, ) m EF ( ) + + = = = = 1 4 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página 7

8 ( 1 ) y = x + b E (, 0) ( ) ( ) 0 = 1 + b b = + EF : y = 1 x AC = C A = (, ) 14 m AC = 1 1 m = = 1 m AC u ( 1, 1), por exemplo ( ) ( ) ( ) s : x, y =, 0 + k 1, 1, k R OF OC cosα = = = OF OC OF = F O = (, ) OF = + = ; OC = A OF OC = = πr A = 4π ua A = = ua ; OC = C O = ( 0, ) Área sombreada: A 8 A = ( 4π 8 ) ua 4 π x = x = ± x = ± + kπ com k Z tan tan k = 1 x = π x = 4π π π k = 0 x = x = 4 k = 1 x = π x = π 7 k = x = π x = 5π O conjunto-solução é: π π π S =,, Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página 8