Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 10. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II. O Grupo I inclui cinco questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas.

2 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. Não apresente cálculos nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Considere as proposições: a: A equação x y x y b: A equação x y = 0 define uma circunferência de centro C (, 1) e raio. + = define uma elipse de focos F 1 ( 6,0) e ( 6,0) P x = 1 x. c: 1 é raiz do polinómio ( ) Qual das proposições seguintes é falsa? (A) a ( b c) (B) ( ) a c b (C) ( a b ) c (D) ( ) a c b F. +. Seja a R. A expressão 3 5 3a 0 8 a é igual a: (A) 5 3a (B) 5 3 a (C) 3a (D) 3 a P x = x + x k 3. Para um certo valor real k, sabe-se que o resto da divisão do polinómio ( ) 6 3 pelo polinómio R ( x ) = x 3 é igual a. Qual é o valor de k? (A) (B) (C) 3 (D) 3 Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página

3 . Na figura está representado o paralelogramo dividido em oito paralelogramos iguais. Considere as proposições: p: O segmento orientado [ A, C ] representa o vetor GI 1 q: B MO = A r: AB + EI BM = EF Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) Apenas a proposição r é falsa. (B) Apenas são verdadeiras as proposições p e r. (C) Apenas não é falsa a proposição q. (D) As três proposições são falsas. 5. Num plano munido de um referencial cartesiano, considere os vetores, não nulos: u k k ( 5, + ) Os vetores u e v são colineares se: (A) k = k = 15 (B) (C) 7 k = k = (D). 5 e v k, k +, k R 15 k = k = 8 7 k = k = 8 Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações que entender necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. 1. Na figura está representado, num plano munido de um referencial ortonormado xoy, o losango [ABCD] e a reta r. Sabe-se que: os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e têm, respetivamente, abcissa positiva e negativa; os pontos B e D pertencem ao eixo Oy e têm, respetivamente, ordenada positiva e negativa; a medida da área do losango é igual a 0; o ponto O é o centro do losango [ABCD] e o ponto A tem coordenadas 5,0 ; a reta r é a mediatriz do segmento de reta [AB].

4 1.1. Determine as coordenadas dos pontos B, C e D. 1.. Determine a equação reduzida da reta r Defina, por meio de uma condição, a região a sombreado da figura. 1 3 P x = x x x + 1, n N. n+ n n+. Considere o polinómio ( ).1. Prove que o resto da divisão do polinómio P ( x ) pelo polinómio A( x) x 1.. Considere n = 1. a) Mostre que P ( x) ( x 1)( x 3 x 1) = + +. P x x 1. b) Resolva, em R, a condição ( ) 3 = + depende de n. Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais. 3. Na figura está representada, num plano munido de um referencial ortonormado xoy, uma elipse centrada na origem e eixo maior horizontal, bem como os pontos A, F e P. Sabe-se que: o ponto A é um dos vértices da elipse e tem coordenadas ( 0, ); o ponto F é um dos focos da elipse e tem coordenadas ( 10,0 ); o ponto P pertence à elipse, tem ordenada igual a e situa-se no. o quadrantes Determine a equação reduzida da elipse. 3.. Determine a abcissa do ponto P Mostre que x + y 10x = 3 é uma equação da circunferência de centro F e raio igual à distância do ponto O ao ponto P.

5 . Na figura está representado o paralelogramo [ABCD], tais que os pontos E, F, G e H são pontos médios dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente, e o ponto I é a interseção das respetivas diagonais. Sabe-se, fixado um dado referencial ortonormado, que: o ponto A tem coordenadas ( 1, ); o ponto B tem coordenadas (3,6); 9 7 o ponto I tem coordenadas,..1. Determine as coordenadas dos vértices C e D do paralelogramo [ABCD]... Determine a inequação reduzida do círculo de centro G e raio AH..3. Determine as coordenadas do vetor colinear a AB, de sentido contrário e de norma Na figura estão representadas, num plano munido de um referencial ortonormado xoy, duas circunferências. Sabe-se que: a circunferência de centro A é definida pela equação: x y x y + = 0 a circunferência de centro B é definida pela equação: x y x y = Defina, por meio de uma condição, o segmento de reta [AB]. 5.. Determine uma equação vetorial da reta AB. Grupo I Cotações Grupo II.. Total.1... a) b) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 1

6 1. Equação reduzida da circunferência: Proposta de resoluções Grupo I x + y x + y 3= 0 x x + y + y = 3 ( ) ( ) x x y y x y = = 8 Portanto, a circunferência tem centro (, 1) e raio 8 =. A proposição a é verdadeira. Equação reduzida da elipse: x y 8 x y x + y = 8 + = + = Assim, a = 8 e b =, então 8 = + c c = 6, ou seja, c = 6. Portanto, os focos da elipse são 1 ( 6,0) A proposição b é verdadeira. F e F ( 6,0), pois a > b. P ( 1) = 1 ( 1) = 1 1 =, logo 1 não é raiz do polinómio P ( x ). Portanto, a proposição c é falsa. Por outro lado, temos que: a ( b c ) V ( V V) V V V ( a c) b ( ) V F V V V V ( a b) c ( ) ( ) F V F F F F V ( a c) b ( ) ( ) V F V F V F Resposta: (D). 3 a 3 a 3 a 3 3 3a 3a 3a a a = = 0 = 0 = Resposta: (B) 3. Recorrendo ao teorema do resto temos que o resto da divisão do polinómio P ( x ) pelo polinómio R( x ) é igual a P ( 3 ). ( ) ( ) ( ) P = + k = + k = + = + = = = Resposta: (A) k k k k Página 8

7 . O segmento orientado [A, C] representa o vetor IG, por exemplo. A proposição p é falsa. 1 B MO = B MN = B + NM = B + BA = A A proposição q é verdadeira. AB + EI BM = DE + EI BM = DI BM = DI + MB = DI + IN = DN DN EF A proposição r é falsa. Portanto, apenas não é falsa a proposição q. Resposta: (C) 5. Os vetores u e v são colineares se e somente se as coordenadas correspondentes são diretamente proporcionais. 5 k k + = k + k + = 5 k k 5k 0 k k k 5 ( 5)( ) ( ) k k 0 = k k 5 9 ± k = Resposta: (A) ( ) k + k 15 = 0 k + 7k 30 = k = k = k = k = Grupo II 1.1. O ponto O é o centro do losango [ABCD] e o ponto A tem coordenadas 5, 0, pelo que o ponto C tem coordenadas 5, 0. Por outro lado, sabemos que a medida da área do losango [ABCD] é igual a 0. A [ ABCD] 5 BD AC BD = 0 = 0 = 5 BD BD = 8 Assim, B(0, ) e D(0, ), pois o ponto O é o centro do losango [ABCD]. 5 Portanto, B(0, ), C, 0 e D(0, ). 1.. Seja P(x, y) um ponto qualquer da reta r. 5 AP = BP x + y = x + y ( 0) ( 0) ( ) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 9

8 Elevando ambos os membros ao quadrado: x + y = x + ( y ) x x + + y = x + y 8y y = 5x y = 5x + 39 y = 5 x Logo, y = x + é a equação reduzida da reta r Determinemos a equação reduzida da reta AB. m = 8 AB, porque AB r. 5 Como B(0, ) pertence à reta AB, a ordenada na origem desta reta é igual a. 8 Assim, y = x + é a equação reduzida da reta AB. 5 Condição pedida: x 0 y 0 y x + y x Recorrendo ao teorema do resto, o resto da divisão do polinómio P(x) pelo polinómio A(x) é igual a P( 1). n+ n n+ n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P 1 = = = n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n = = = n ( ) ( ) = = 1 1 n n 1 1 se né ímpar se né ímpar P ( 1) = ( 1) 1 = = 1 1 se né par 0 se né par Logo, o resto da divisão de P(x) por A(x) depende de n, pois é igual a se n é ímpar e é igual a 0 se n é par. P x = x x x a) Sendo n = 1, temos que ( ) 3 Recorrendo à regra de Ruffini e tendo em consideração que 1 é raiz do polinómio P(x): Logo, P( x) = ( x 1)( x x 1), ou seja, P( x) ( x 1)( x 3 x 1) = + +. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 10

9 P x x + 1 x x x + 1 x 1 x x + 0 b) ( ) Determinemos as raízes, caso existam, do polinómio: x x + = 0, e considerando que y = x, vem: x x + ( ) ( ) ( ) 1± y y + = 0 y = y = y = y = y = 1 1 Voltando à variável x : ( ) x x x x x x x = = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 Portanto, 1 e 1 são as raízes do polinómio x x +. Por outro lado: ( ) ( )( ) ( )( )( ) x x + 0 x + x 1 x x + x 1 x Construindo uma tabela de sinais: x x x x x x Logo, ( ) 3 1 [ 1,1] P x x x O ponto A ( 0, ) é um dos vértice da elipse e como esta tem centro na origem e eixo maior horizontal, então b =. Por outro lado, F ( 10, 0) é um dos focos da elipse, logo, c = 10. Como a > b, a = b + c Assim, temos que: ( ) ( ) a = + 10 a = a = 18 Logo, x y + = 1 é a equação reduzida da elipse O ponto P pertence à elipse e tem ordenada igual a, pelo que substituindo y por na equação reduzida da elipse, temos: ( ) x x x 1 x = 1 + = 1 = 1 = x = 9 x = 3 x = 3 Como P se situa no. o quadrante, tem abcissa positiva. Logo, a abcissa do ponto P é 3. Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 11

10 3.3. A circunferência tem centro F ( 10, 0) e raio igual a OP. Determinemos OP : ( ) ( ) OP = = 9+ = 13 Assim, ( ) x y 10 + = 13 é a equação reduzida de circunferência. Por outro lado: ( ) x 10 + y = 13 x 10x y = 13 x + y 10x = 3 Portanto, x + y 10x = 3 é uma equação da circunferência de centro F ( 10, 0) e raio igual a OP..1. C = A+ AI e D = B + BI AI = I A =, ( 1, ) =, Portanto: 7 3 C = + C = + C = BI = I A =, 3, 6 =, e ( ) ( 1, ), ( 1, ) ( 7, 3) ( 8, 5) 3 5 D = + D = + D = ( 3, 6), ( 3, 6) ( 3, 5) ( 6, 1) Logo, C ( 8, 5) e ( 6, 1) D = = = = = =.. AH AD AD D A ( 6, 1) ( 1, ) ( 5, 1) 1 ( ) 1 6 = = 5+ 1 = Logo, o círculo tem raio , pelo que r = = = G é o ponto médio do lado [CD], pelo que G,, ou seja, G ( 7, 3 ) é a inequação reduzida do círculo de centro G e raio AH. Assim, ( x 7) ( y 3).3. AB = B A = ( 3, 6) ( 1, ) = (, ) Seja u um vetor colinear a AB, então λ : u = λab R. R, ou seja, λ : u = λ(, ) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 1

11 Por outro lado, pretende-se o vetor u de norma 5. u = 5 λ, = 5 λ, = 5 λ + λ = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ λ λ + 16 = 5 0 = 5 0 = 5 5 = λ = 1 λ = λ = λ = Como se pretende o vetor u de sentido contrário ao de AB : 1 u =, = 1, ( ) u ( ) 5.1. x y x y x x y y x x y y + = 0 + = = 1+ ( x 1) + ( y ) = 5 ; A ( 1, ) x + y + 6x + y 1 = 0 x + 6x + y + y = 1 ( ) ( ) x x y y x y = = 5; B( 3, ) AB = B A = = ( 3, ) ( 1, ) (, ) Então, o declive da reta AB é = 1. A equação reduzida da reta AB é do tipo y = x + b e como o ponto A pertence à reta AB : = 1+ b b = 1 Assim, AB: y = x + 1. Logo: y = x x 1 ou y = x + 1 y, ou, ainda, ( x, y ) = ( 1, ) + λ (, ), λ [ 0, 1] são condições que definem o segmento de reta [AB]. AB: x, y = 1, + k,, k R. 5.. Por exemplo, ( ) ( ) ( ) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 10. o ano Página 13